数学与统计学院数学与应用数学专业 专业平台必修课程教学大纲 数学与统计学院数学与应用数学专业专业平台必修课程包括以下1山门课 程：常微分方程、复变函数、概率论与数理统计、实变函数、近世代数、泛函分 析、拓扑学、C语言、运筹学、微分几何、大学物理。 常微分方程 一、说明 课程性质：该课程是数学与应用专业专业平台必修课程之一，第4学期开设， 周3学时。 分析数学研究的基本对象是函数（泛函、算子）和方程。在大量的实际问题 中通到比较复杂的运动过程时，反映运动规律的量与量之问的关系（即函数）往 往不能直接写出来，却比较容易建立这些量和它们的导数（或微分）间的关系式， 即微分方程。从数学发展史看，微分方程不仅是分析数学联系实际问题的重要桥 梁，而且是体现分析数学的众多重要思想的窗口。 微分方程研究的主要内容是如何求解微分方程和解的适定性问题（各种属 性)，它是分析数学系列课程以及数学专业与应用数学专业其他后继课程的重要 基础。 教学目的：掌握微分方程的基本概念、基本理论和基本方法：初步具有分析 问题和解决问题（包括可化为微分方程问题的数学理论问题和以微分方程为模型 的应用问题)的能力：为分析数学的后继课程和数值分析等相关课程备好必要的 基础知识。 教学内容：分5部分。(1)微分方程的基本概念和初等积分法；(2)微分方 程的基本理论的建立；(3)线性微分方程的一般理论和关于常系数线性微分方程 的特征根法、比较系数法、常数变易法及Laplace变换：(4)一阶线性方程组的 一般理论和常系数线性微分方程组的解法，主要是特征根法和常数变易法；(5) 定性理论和稳定性理论的初步知识
数学与统计学院 数学与应用数学专业 专业平台必修课程教学大纲 数学与统计学院数学与应用数学专业专业平台必修课程包括以下 11 门课 程：常微分方程、复变函数、概率论与数理统计、实变函数、近世代数、泛函分 析、拓扑学、C 语言、运筹学、微分几何、大学物理。 常微分方程 一、 说明 课程性质：该课程是数学与应用专业专业平台必修课程之一，第 4 学期开设， 周 3 学时。 分析数学研究的基本对象是函数（泛函、算子）和方程。在大量的实际问题 中遇到比较复杂的运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系（即函数）往 往不能直接写出来，却比较容易建立这些量和它们的导数（或微分）间的关系式， 即微分方程。从数学发展史看，微分方程不仅是分析数学联系实际问题的重要桥 梁，而且是体现分析数学的众多重要思想的窗口。 微分方程研究的主要内容是如何求解微分方程和解的适定性问题（各种属 性），它是分析数学系列课程以及数学专业与应用数学专业其他后继课程的重要 基础。 教学目的：掌握微分方程的基本概念、基本理论和基本方法；初步具有分析 问题和解决问题（包括可化为微分方程问题的数学理论问题和以微分方程为模型 的应用问题）的能力；为分析数学的后继课程和数值分析等相关课程备好必要的 基础知识。 教学内容：分 5 部分。（1）微分方程的基本概念和初等积分法；（2）微分方 程的基本理论的建立；（3）线性微分方程的一般理论和关于常系数线性微分方程 的特征根法、比较系数法、常数变易法及 Laplace 变换；（4）一阶线性方程组的 一般理论和常系数线性微分方程组的解法，主要是特征根法和常数变易法；（5） 定性理论和稳定性理论的初步知识
教学时数：54学时。 教学方式：讲授法，同时注重课程基本理论和数学物理问题的密切结合。 二、大纲正文 第一章初等积分法 教学要点：准确理解微分方程的一些最基本的概念；按如下两条主线掌握一 阶方程的初等积分法：变量分离方程和通过变换可化为变量分离方程的方程，全 微分方程和通过积分因子法或分项组合法可化为全微分方程的方程：掌握隐式微 分方程的微分消参法和可降阶的高阶微分方程的解法。 教学时数：13学时。 教学内容： §1.1微分方程与解(2学时)：基本概念：微分方程、阶、解与积分（通 解与通积分，特解与积分)、定解问题，通过单摆方程和人口模型等介绍微分方 程的背景和建立微分方程求解应用问题的基本方法。 §1.2变量可分离方程(1学时)：变量分离法。 S1.3齐次方程(2学时)：齐次方程和一些齐次方程的变形的解法。 §1.4一阶线性方程(2学时)：Bernoulli方程的解法与一阶线性方程求方 法一常数变易法与；通过解的一般表达式讨论解的性质。 §1.5全微分方程及积分因子(2学时)：全微分方程的解法和积分因子法 分项组合法。 §1.6一阶隐式微分方程(2学时)：一阶隐式微分方程的微分消参法，特 别是Clairaut方程的解法。 §1.7几种可降阶的高阶方程(1学时)：几种可降阶的高阶微分方程的解法。 §1.8一阶微分方程应用举例(1学时) 考核要求：掌握微分方程的基本概念-一徽分方程、阶、解与积分（通解与通 积分，特解与积分)等：掌握变量分离方程和通过变换可化为变量分离方程的方 程、全微分方程和通过积分因子法或分项组合法可化为全微分方程的一阶微分方 程的解法：掌握隐式微分方程的微分消参法和可降阶的高阶微分方程的解法：能 够通过解的一般表达式讨论解的性质，理解和应用奇解概念；通过建立微分方程 求解一些应用问题
教学时数：54 学时。 教学方式：讲授法，同时注重课程基本理论和数学物理问题的密切结合。 二、 大纲正文 第一章 初等积分法 教学要点：准确理解微分方程的一些最基本的概念；按如下两条主线掌握一 阶方程的初等积分法：变量分离方程和通过变换可化为变量分离方程的方程，全 微分方程和通过积分因子法或分项组合法可化为全微分方程的方程；掌握隐式微 分方程的微分消参法和可降阶的高阶微分方程的解法。 教学时数：13 学时。 教学内容： §1.1 微分方程与解 （2 学时）：基本概念：微分方程、阶、解与积分（通 解与通积分，特解与积分）、定解问题，通过单摆方程和人口模型等介绍微分方 程的背景和建立微分方程求解应用问题的基本方法。 §1.2 变量可分离方程（1 学时）：变量分离法。 §1.3 齐次方程（2 学时）：齐次方程和一些齐次方程的变形的解法。 §1.4 一阶线性方程（2 学时）：Bernoulli 方程的解法与一阶线性方程求方 法---常数变易法与；通过解的一般表达式讨论解的性质。 §1.5 全微分方程及积分因子（2 学时）：全微分方程的解法和积分因子法、 分项组合法。 §1.6 一阶隐式微分方程（2 学时）： 一阶隐式微分方程的微分消参法，特 别是 Clairaut 方程的解法。 §1.7 几种可降阶的高阶方程（1 学时）：几种可降阶的高阶微分方程的解法。 §1.8 一阶微分方程应用举例（1 学时） 考核要求：掌握微分方程的基本概念--微分方程、阶、解与积分（通解与通 积分，特解与积分）等；掌握变量分离方程和通过变换可化为变量分离方程的方 程、全微分方程和通过积分因子法或分项组合法可化为全微分方程的一阶微分方 程的解法；掌握隐式微分方程的微分消参法和可降阶的高阶微分方程的解法；能 够通过解的一般表达式讨论解的性质，理解和应用奇解概念；通过建立微分方程 求解一些应用问题
第二章基本定理 教学要点：解的存在唯一性定理、延拓定理、解对初值的连续依赖性和可微 性定理以及所涉及概念的准确理解，解的存在唯一性定理的详细证明 教学时数：9学时。 教学内容： §2.1常微分方程的几何解释(1学时)：线素场、欧拉折线以及初值间题 解的存在性。 §2.2解的存在性与唯一性定理(3学时)：引进并详细证明解的存在唯一 性定理；依据具体例子对定理的条件做详细说明。 §2.3解的延展(2学时)：介绍并证明解的延展定理，示例说明该定理的 条件；介绍第一比较定理。 §2.4奇解和包络(2学时)：奇解的定义，不存在奇解的判别法，包络线 的定义以及奇解的求法 §2.5解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性(1学时)：介绍并证明 解对初值的连续依赖性定理；掌握解对初值的可微性定理。 考核要求：重点掌握解的存在唯一性定理、廷拓定理的内容以及解的存在唯 一性定理的证明思想；熟练掌握Picard逼近列、Lipschits条件和延拓概念。 第三章一阶线性微分方程组 教学要点：准确理解线性微分方程组的一般理论；能够熟练掌握Liouvi11e 公式、常数变易法、常系数线性微分方程的特征根法和筒单的非齐次方程的解法。 教学时数：10学时。 教学内容： §3.1一阶微分方程组(1学时)：一阶微分方程组初值问题解的存在唯一 性定理 §3.2一阶线性微分方程组的一般概念(1学时)：一阶线性微分方程组 初值问题解的存在唯一性定理。 §3.3一阶线性齐次方程组的一般理论(2学时)：建立线性齐次微分方程 组的一般理论，得到通解结构定理，证明Liouville公式
第二章 基本定理 教学要点：解的存在唯一性定理、延拓定理、解对初值的连续依赖性和可微 性定理以及所涉及概念的准确理解，解的存在唯一性定理的详细证明。 教学时数：9 学时。 教学内容： §2.1 常微分方程的几何解释（1 学时）：线素场、欧拉折线以及初值问题 解的存在性。 §2.2 解的存在性与唯一性定理（3 学时）：引进并详细证明解的存在唯一 性定理；依据具体例子对定理的条件做详细说明。 §2.3 解的延展（2 学时）：介绍并证明解的延展定理，示例说明该定理的 条件；介绍第一比较定理。 §2.4 奇解和包络（2 学时）：奇解的定义，不存在奇解的判别法，包络线 的定义以及奇解的求法 §2.5 解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性（1 学时）：介绍并证明 解对初值的连续依赖性定理；掌握解对初值的可微性定理。 考核要求：重点掌握解的存在唯一性定理、延拓定理的内容以及解的存在唯 一性定理的证明思想；熟练掌握 Picard 逼近列、Lipschits 条件和延拓概念。 第三章 一阶线性微分方程组 教学要点：准确理解线性微分方程组的一般理论；能够熟练掌握 Liouville 公式、常数变易法、常系数线性微分方程的特征根法和简单的非齐次方程的解法。 教学时数：10 学时。 教学内容： §3.1 一阶微分方程组（1 学时）： 一阶微分方程组初值问题解的存在唯一 性定理。 §3.2 一阶线性微分方程组的一般概念（1 学时） ：一阶线性微分方程组 初值问题解的存在唯一性定理。 §3.3 一阶线性齐次方程组的一般理论（2 学时）：建立线性齐次微分方程 组的一般理论，得到通解结构定理，证明 Liouville 公式
§3.4一阶线性非齐次方程组的一般理论(1学时)：线性非齐次微分方程 组的一般理论和常数变易法。 §3.5常系数线性微分方程组的解法(5学时)：特征根法一理论证明与方 法的熟练应用；简单的非齐次方程的解法。 考核要求：准确理解线性微分方程组的一般理论：熟练掌握Liouvi1le公 式、常数变易法和特征根法；能够依据解的一般表示讨论解的一些属性。 第四章n阶线性微分方程 教学要点：准确理解线性微分方程的一般理论：熟练学握Liouville公式、 常数变易法和常系数线性微分方程的特征根法、比较系数法、Laplace变换；理 解振动现象。 教学时数：14学时。 教学内容： §4.1n阶线性齐次微分方程的一般理论(3学时)：线性微分方程的解的存 在唯一性定理及线性微分算子的性质：建立阶齐次线性微分方程的一般理论， 得到通解结构定理，证明Liouville公式并应用到2阶微分方程；n阶线性非齐 次方程的通解结构定理与常数变易法。 §4.2阶常系数线性齐次微分方程解法(3学时)：用特征根法解常系数线 性齐次微分方程的基本步骤、理论证明、典型示例。 §4.3阶常系数线性非齐次微分方程解法(3学时)：比较系数法的建立、 理论证明、典型示例。 §4.4二阶常系数线性方程与振动现象(2学时)：依据线性微分方程的解 的表示解释振动现象。 §4.5 Laplace变换(2学时)：介绍Laplace变换以及如何应用Laplace变换 求解一些常系数线性非齐次微分方程的Cauchy问题。 §4.6幂级数解法大意（筒介）(1学时) 考核要求：准确理解线性微分方程的一般理论；熟练掌握Liouville公式、 常数变易法、特征根法、比较系数法和Laplace变换；能够依据解的一般表示 讨论解的一些属性
§3.4 一阶线性非齐次方程组的一般理论（1 学时）：线性非齐次微分方程 组的一般理论和常数变易法。 §3.5 常系数线性微分方程组的解法（5 学时）： 特征根法—理论证明与方 法的熟练应用；简单的非齐次方程的解法。 考核要求：准确理解线性微分方程组的一般理论；熟练掌握 Liouville 公 式、常数变易法和特征根法；能够依据解的一般表示讨论解的一些属性。 第四章 n 阶线性微分方程 教学要点：准确理解线性微分方程的一般理论；熟练掌握 Liouville 公式、 常数变易法和常系数线性微分方程的特征根法、比较系数法、Laplace 变换；理 解振动现象。 教学时数：14 学时。 教学内容： §4.1 n 阶线性齐次微分方程的一般理论（3 学时）：线性微分方程的解的存 在唯一性定理及线性微分算子的性质；建立 n 阶齐次线性微分方程的一般理论， 得到通解结构定理，证明 Liouville 公式并应用到 2 阶微分方程；n 阶线性非齐 次方程的通解结构定理与常数变易法。 §4.2 n 阶常系数线性齐次微分方程解法（3 学时）：用特征根法解常系数线 性齐次微分方程的基本步骤、理论证明、典型示例。 §4.3 n 阶常系数线性非齐次微分方程解法（3 学时）：比较系数法的建立、 理论证明、典型示例。 §4.4 二阶常系数线性方程与振动现象（2 学时）：依据线性微分方程的解 的表示解释振动现象。 §4.5 Laplace 变换（2 学时）：介绍 Laplace 变换以及如何应用 Laplace 变换 求解一些常系数线性非齐次微分方程的 Cauchy 问题。 §4.6 幂级数解法大意 （简介）（1 学时） 考核要求：准确理解线性微分方程的一般理论；熟练掌握 Liouville 公式、 常数变易法、特征根法、比较系数法和 Laplace 变换；能够依据解的一般表示 讨论解的一些属性
第五章定性与稳定性理论简介 教学要点：二维自治系统初等奇点的分类及其附近的轨线分布：极限环的定 义与示例；稳定性概念及其判定定理，分别应用稳定性概念、线性化系统的特征 值、Liapunov第二方法讨论自治系统的解的稳定性。 教学时数：8学时。 教学内容： §5.1稳定性概念(1学时)：稳定性、渐近稳定性的概念以及相关例题。 §5.2李雅普诺夫第二方法(2学时)：运用李雅普诺夫第二方法对零解的 稳定性以及渐近稳定性的判定。 §5.3平面自治系统的基本概念(1学时)：相平面、相轨线以及相图：平 面自治系统的基本性质；常点、奇点与闭轨 §5.4平面定性理论简介(4学时)：线性系统初等奇点附近的轨线分布一 结点、鞍点、焦点、中心及其附近的轨线分布：平面非线性自治系统奇点附近的 轨线分布：极限环的概念与举例。 考核要求：重点掌握二维自治系统初等奇点的分类及其附近的轨线分布：理 解稳定性概念及其判定定理，会应用稳定性概念、线性化系统的特征值，Liapunov 第二方法讨论自治系统的解的稳定性。 三、参考书目 东北师范大学数学系，《常微分方程，高等教有出版社，192年。 叶严谦，《常微分方程》，高等教育出版社，1982年（第二版） [3】中山大学数学系，《常微分方程》，高等教有出版社，1983年（第二版）。 [4国家教有委员会师范教有司，《普通高度师范学校数学教有专业（本科）教有教学 基本要求（试行）》，首都师范大学出版社，1994
第五章 定性与稳定性理论简介 教学要点：二维自治系统初等奇点的分类及其附近的轨线分布；极限环的定 义与示例；稳定性概念及其判定定理，分别应用稳定性概念、线性化系统的特征 值、Liapunov 第二方法讨论自治系统的解的稳定性。 教学时数：8 学时。 教学内容： §5.1 稳定性概念 (1 学时)：稳定性、渐近稳定性的概念以及相关例题。 §5.2 李雅普诺夫第二方法（2 学时）：运用李雅普诺夫第二方法对零解的 稳定性以及渐近稳定性的判定。 §5.3 平面自治系统的基本概念（1 学时）：相平面、相轨线以及相图；平 面自治系统的基本性质；常点、奇点与闭轨 §5.4 平面定性理论简介（4 学时）：线性系统初等奇点附近的轨线分布— 结点、鞍点、焦点、中心及其附近的轨线分布；平面非线性自治系统奇点附近的 轨线分布；极限环的概念与举例。 考核要求：重点掌握二维自治系统初等奇点的分类及其附近的轨线分布；理 解稳定性概念及其判定定理，会应用稳定性概念、线性化系统的特征值、Liapunov 第二方法讨论自治系统的解的稳定性。 三、参考书目 [1] 东北师范大学数学系，《常微分方程》，高等教育出版社，1982 年。 [2] 叶严谦，《常微分方程》，高等教育出版社，1982 年（第二版）。 [3] 中山大学数学系，《常微分方程》，高等教育出版社，1983 年（第二版）。 [4] 国家教育委员会师范教育司，《普通高度师范学校数学教育专业（本科）教育教学 基本要求（试行）》，首都师范大学出版社，1994