实变函数 一、说明 课程性质：该课程是数学与应用数学专业云亭班专业平台必修课程之一，第 5学期开设。周4学时。 实变函数是数学与应用数学专业本科生必修的专业标志性课程，是数学分析 课程的深化和发展，其目是克服经典微积分的理论缺陷，建立新的积分理论。其 核心内容是Lebesgue测度与Lebesgue积分理论。实变函数论的建立扩大了人们 对实函数的认识，增加了积分运算过程中极限交换的灵活性，其结果在概率论、 微分方程、泛函分析及其他动态系统理论中有广泛的应用，是现代分析数学的基 础理论之一。 教学目的：正确理解实变函数基本概念，掌握Lebesgue测度与Lebesgue 积分基本理论，能够应用新的积分理论处理相关的理论与应用问题。此外，从数 学教有的角度来讲，实变函数论是从经典数学（微积分及相关体系）向现代数学 过渡的入口，学习实变函数论的目的在于培养学生整体观察和抽象问题的能力 提高学生整体观察和抽象问题的层次，有助于了解现代数学的发展，有助于发展 学生分析论证和逻辑思维的能力，培养学生自己分析和解决问题的能力，体现素 质教有的要求。 教学内容：本课程教学内容主要有：集合与基数，欧氏空间点集理论， Lebesgue测度理论，可测函数，Lebesgue积分理论，微分与不定积分。 教学时数：72学时。 教学方式：本课程教学以讲授为主，学生参与讨论为辅组织教学，并积极鼓 励学生参与教学的全过程。 二、大纲正文 第一章集合与基数 教学要点：集合的代数运算和极限运算，集合1-1对应的概念、集合的对等 与基数，基数大小的比较，可数集的概念、性质与判断，典型可数集（如有理数 集，整系数多项式之集等)的判断，不可数集的概念，[0,1]区问的不可数性， 不可数集的判断，最大基数的不存在性
实变函数 一、说明 课程性质：该课程是数学与应用数学专业云亭班专业平台必修课程之一，第 5 学期开设。周 4 学时。 实变函数是数学与应用数学专业本科生必修的专业标志性课程，是数学分析 课程的深化和发展，其目是克服经典微积分的理论缺陷，建立新的积分理论。其 核心内容是 Lebesgue 测度与 Lebesgue 积分理论。实变函数论的建立扩大了人们 对实函数的认识，增加了积分运算过程中极限交换的灵活性，其结果在概率论、 微分方程、泛函分析及其他动态系统理论中有广泛的应用，是现代分析数学的基 础理论之一。 教学目的：正确理解实变函数基本概念，掌握 Lebesgue 测度与 Lebesgue 积分基本理论，能够应用新的积分理论处理相关的理论与应用问题。此外，从数 学教育的角度来讲，实变函数论是从经典数学（微积分及相关体系）向现代数学 过渡的入口，学习实变函数论的目的在于培养学生整体观察和抽象问题的能力， 提高学生整体观察和抽象问题的层次，有助于了解现代数学的发展，有助于发展 学生分析论证和逻辑思维的能力，培养学生自己分析和解决问题的能力，体现素 质教育的要求。 教学内容：本课程教学内容主要有：集合与基数，欧氏空间点集理论， Lebesgue 测度理论，可测函数，Lebesgue 积分理论，微分与不定积分。 教学时数：72 学时。 教学方式：本课程教学以讲授为主，学生参与讨论为辅组织教学，并积极鼓 励学生参与教学的全过程。 二、大纲正文 第一章 集合与基数 教学要点：集合的代数运算和极限运算，集合 1-1 对应的概念、集合的对等 与基数，基数大小的比较，可数集的概念、性质与判断，典型可数集（如有理数 集，整系数多项式之集等）的判断，不可数集的概念， [0，1]区间的不可数性， 不可数集的判断，最大基数的不存在性
教学时数：12学时。 教学内容： §1.1集合及其运算(2学时)：集合的概念，集合的代数运算（并、交 差、补)和集合的极限运算（上限集、下限集、极限集）。 §1.2对等与基数(4学时)：映射与对等，集合的对等，集合的基数比较， Bernstein定理。 §1.3可数集合(2学时)：可数集的概念、性质，一些典型的可数集。 §1.4不可数集合(4学时)：不可数集的概念，[0,1]区间与实数集的不可 数性，常见的实数基数集合，Cantor定理与最大基数的不存在性。 考核要求：掌握集合1-1对应的概念、集合的对等，基数的大小比较，重点 掌握定可数集与不可数集的概念，典型可数集与不可数集的判断，理解最大基数 的不存在性。 第二章欧氏空间中的点集 教学要点：欧氏空间中的线性结构与距离结构，点列的极限，有界集的概念 点集的内点、聚点与边界点，开集与闭集及其运算性质，R”中的有界点集的性 质，Bolzano-Weierstrass定理，Borel有限覆盖定理，直线上的开集、闭集 与完备集的构造，Cantor集的构造与性质，点集之问的距离及性质，不相交闭 集的隔离定理，连续函数延拓定理。 教学时数：10学时。 教学内容： §2.1n维欧氏空间(2学时)：N维欧氏空间中的线性结构与距离结构，点 列的极限，邻域与有界集的概念。 S2.2聚点、内点、边界点(2学时)：n维欧氏空间点集的聚点、内点、 边界点的定义及性质，Bolzano-Weierstrass定理。 §2.3开集与闭集(2学时)：开集与闭集的定义及性质，Cantor闭集套定 理，Borel有限覆盖定理。 §2.4直线上的开集与闭集的构造(2学时)：直线上的开集的构成区间与区 问表示，直线上闭集与完备集的构造，Cantor集的构造与性质。 §2.5连续函数廷拓定理(2学时)：点集之间的距离及性质，不相交闭集的
教学时数：12 学时。 教学内容： §1.1 集合及其运算 （2 学时）：集合的概念，集合的代数运算（并、交、 差、补）和集合的极限运算（上限集、下限集、极限集）。 §1.2 对等与基数（4 学时）：映射与对等，集合的对等，集合的基数比较， Bernstein 定理。 §1.3 可数集合（2 学时）：可数集的概念、性质，一些典型的可数集。 §1.4 不可数集合（4 学时）：不可数集的概念，[0，1]区间与实数集的不可 数性，常见的实数基数集合，Cantor 定理与最大基数的不存在性。 考核要求：掌握集合 1-1 对应的概念、集合的对等，基数的大小比较，重点 掌握定可数集与不可数集的概念，典型可数集与不可数集的判断，理解最大基数 的不存在性。 第二章 欧氏空间中的点集 教学要点：欧氏空间中的线性结构与距离结构，点列的极限，有界集的概念， 点集的内点、聚点与边界点，开集与闭集及其运算性质， n R 中的有界点集的性 质，Bolzano-Weierstrass 定理， Borel 有限覆盖定理，直线上的开集、闭集 与完备集的构造，Cantor 集的构造与性质，点集之间的距离及性质，不相交闭 集的隔离定理，连续函数延拓定理。 教学时数：10 学时。 教学内容： §2.1 n 维欧氏空间（2 学时）：N 维欧氏空间中的线性结构与距离结构，点 列的极限，邻域与有界集的概念。 §2.2 聚点、内点、边界点（2 学时）： n 维欧氏空间点集的聚点、内点、 边界点的定义及性质，Bolzano-Weierstrass 定理。 §2.3 开集与闭集（2 学时）：开集与闭集的定义及性质，Cantor 闭集套定 理，Borel 有限覆盖定理。 §2.4 直线上的开集与闭集的构造（2 学时）：直线上的开集的构成区间与区 间表示，直线上闭集与完备集的构造，Cantor 集的构造与性质。 §2.5 连续函数延拓定理（2 学时）：点集之间的距离及性质，不相交闭集的
隔离定理，连续函数延拓定理。 考核要求：掌握R”中开集与闭集的性质及其判断，重点掌握有界闭集的性质， 理解并会应用Bolzano--Weierstrass定理及Borel有限覆盖定理。掌握直线上 的开集与闭集的构造，Cantor集的构造与性质。理解不相交闭集的隔离定理及 连续函数廷拓定理。 第三章测度理论 教学要点：Lebesgue外测度的定义与性质，Caratheodory条件，可测集的 定义、性质及判断，可测集与测度的运算性质，测度的极限定理。典型可测集： 区间、开集、闭集、零测集、F。型集、G,型集、Borel集。可测集与开集、闭 集的关系，可测集的结构，不可测集的存在性，测度的乘积定理。 教学时数：12学时。 教学内容： §3.1外测度(2学时)：Lebesgue外测度的引入，定义及特征性质。 §3.2可测集(4学时)：内测度与外测度，可测集的定义与Caratheodory条 件，可测集的运算性质，Lebesgue测度的有限可加性、可数可加性，测度的极 限定理。 §3.3可测集类(2学时)：区问的可测性定理，开集、闭集与Borel集的 可测性，可测集的结构与等价描述：开集逼近、闭集逼近、内外测描述。 §3.4不可测集(2学时)：Lebesgue不可测集的存在性，Vitali不可测集 的构造。 §3.5乘积定理(2学时)：可测集乘积的可测性，乘积定理。 考核要求：掌握外测度的概念及性质，掌握可测集的概念、性质与结构，能 熟练判断典型的可测集，重点掌握测度的完全可加性及测度的极限定理。了解不 可测集，理解测度的乘积定理。 第四章可测函数 教学要点：可测函数的定义及其等价形式，典型的可测函数（连续函数、单 调函数、简单函数等)，可测函数关于四则运算及极限运算的封闭性，可测函数 与简单函数的关系，可测函数的几何意义：函数列的几乎处处收敛，叶果洛夫定
隔离定理，连续函数延拓定理。 考核要求：掌握 n R 中开集与闭集的性质及其判断，重点掌握有界闭集的性质， 理解并会应用 Bolzano- Weierstrass 定理及 Borel 有限覆盖定理。掌握直线上 的开集与闭集的构造，Cantor 集的构造与性质。理解不相交闭集的隔离定理及 连续函数延拓定理。 第三章 测度理论 教学要点：Lebesgue 外测度的定义与性质，Caratheodory 条件，可测集的 定义、性质及判断，可测集与测度的运算性质，测度的极限定理。典型可测集： 区间、开集、闭集、零测集、 F 型集、G 型集、Borel 集。可测集与开集、闭 集的关系，可测集的结构，不可测集的存在性，测度的乘积定理。 教学时数：12 学时。 教学内容： §3.1 外测度（2 学时）：Lebesgue 外测度的引入，定义及特征性质。 §3.2 可测集（4 学时）：内测度与外测度，可测集的定义与 Caratheodory 条 件，可测集的运算性质，Lebesgue 测度的有限可加性、可数可加性，测度的极 限定理。 §3.3 可测集类（2 学时）：区间的可测性定理，开集、闭集与 Borel 集的 可测性，可测集的结构与等价描述: 开集逼近、闭集逼近、内外测描述。 §3.4 不可测集（2 学时）：Lebesgue 不可测集的存在性，Vitali 不可测集 的构造。 §3.5 乘积定理（2 学时）：可测集乘积的可测性，乘积定理。 考核要求：掌握外测度的概念及性质，掌握可测集的概念、性质与结构，能 熟练判断典型的可测集，重点掌握测度的完全可加性及测度的极限定理。了解不 可测集，理解测度的乘积定理。 第四章 可测函数 教学要点：可测函数的定义及其等价形式，典型的可测函数（连续函数、单 调函数、简单函数等），可测函数关于四则运算及极限运算的封闭性，可测函数 与简单函数的关系，可测函数的几何意义；函数列的几乎处处收敛，叶果洛夫定
理；可测函数结构，鲁津定理，可测函数与连续函数的关系按测度收敛及与几 平处处收敛的关系，Riesz收敛定理，Lebesgue收敛定理，按测度收敛极限的四 则运算法则。 教学时数：12学时。 教学内容： §4.1可测函数及其性质(4学时)：可测函数的定义与等价描述，可测函数 的四则运算与极限运算，可测函数与简单函数的关系，可测函数的几何意义。 §42叶果洛夫定理(2学时)：叶果洛夫定理及证明。 §4.3可测函数的结构(2学时)：鲁津定理，可测函数与连续函数的关系。 §4.4按测度收敛(4学时)：按测度收敛的概念，按测度收敛与几乎处处 收敛的关系，Riesz收敛定理与Lebesgue收敛定理，按测度收敛极限的四则运 算法则。 考核要求：掌握可测函数的概念及其等价描述，熟悉典型的可测函数，掌握 可测函数的四则运算及极限运算的性质，理解可测函数的几何意义。常我可测函 数的结构，清楚可测函数与筒单函数及连续函数的关系，理解按测度收敛与几乎 处处收敛的概念，清楚它们之间的关系。 第五章积分理论 教学要点：Riemann的特征与局限性，Lebesgue积分的建立过程，Lebesgue 积分的性质及可积的判定，Lebesgue积分的极限定理(Levi定理、Fatou引理， Lebesgue逐项积分定理、Lebesgue控制收敛定理、Vitali极限定理)及其应用， Lebesgue积分几何意义，Lebesgue积分与Riemann积分的关系，测度的截面定 理与Fubini定理 教学时数：18学时。 教学内容： S5.1 Riemann积分的特征与局限性(2学时)：Riemann可积的本质特征： 几乎处处连续，Riemann积分的局限性。 §5.2非负筒单函数的Lebesgue积分(2学时)：非负简单函数的Lebesgue 积分的定义及性质。 §5.3非负可测函数的Lebesgue积分(4学时)：非负可测函数的Lebesgue
理；可测函数结构，鲁津定理，可测函数与连续函数的关系；按测度收敛及与几 乎处处收敛的关系，Riesz 收敛定理，Lebesgue 收敛定理，按测度收敛极限的四 则运算法则。 教学时数：12 学时。 教学内容： §4.1 可测函数及其性质（4 学时）：可测函数的定义与等价描述，可测函数 的四则运算与极限运算，可测函数与简单函数的关系，可测函数的几何意义。 §4.2 叶果洛夫定理（2 学时）：叶果洛夫定理及证明。 §4.3 可测函数的结构（2 学时）：鲁津定理，可测函数与连续函数的关系。 §4.4 按测度收敛（4 学时）： 按测度收敛的概念，按测度收敛与几乎处处 收敛的关系，Riesz 收敛定理与 Lebesgue 收敛定理，按测度收敛极限的四则运 算法则。 考核要求：掌握可测函数的概念及其等价描述，熟悉典型的可测函数，掌握 可测函数的四则运算及极限运算的性质，理解可测函数的几何意义。常我可测函 数的结构，清楚可测函数与简单函数及连续函数的关系，理解按测度收敛与几乎 处处收敛的概念，清楚它们之间的关系。 第五章 积分理论 教学要点：Riemann 的特征与局限性，Lebesgue 积分的建立过程，Lebesgue 积分的性质及可积的判定，Lebesgue 积分的极限定理（Levi 定理、Fatou 引理、 Lebesgue 逐项积分定理、Lebesgue 控制收敛定理、Vitali 极限定理）及其应用， Lebesgue 积分几何意义，Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系，测度的截面定 理与 Fubini 定理。 教学时数：18 学时。 教学内容： §5.1 Riemann 积分的特征与局限性（2 学时）：Riemann 可积的本质特征： 几乎处处连续，Riemann 积分的局限性。 §5.2 非负简单函数的 Lebesgue 积分（2 学时）：非负简单函数的 Lebesgue 积分的定义及性质。 §5.3 非负可测函数的 Lebesgue 积分（4 学时）：非负可测函数的 Lebesgue
积分的定义及基本性质，Levi极限定理、Fatou引理及Lebesgue逐项积分定理。 §5.4一般可积函数(2学时)：一般可测函数Lebesgue积分的定义与基本 性质，可积的比较判别法，Lebesgue积分的绝对连续性。 §5.5积分的极限定理(2学时)：Lebesgue控制收敛定理，逐项积分定理 与积分的可数可加性，Vitali极限定理。 §5.6 Lebesgue积分与Riemann积分的关系(2学时)：Lebesgue积分几何 意义，Lebesgue积分与Riemann积分的关系。 §5.7 Fubini定理(4学时)：测度的截面定理，Fubini定理。 考核要求：理解Riemann可积的本质条件与局限性，了解Lebesgue积分的 建立过程，掌握Lebesgue积分的基本性质，熟练掌握Lebesgue可积的判别方法。 掌握Lebesgue积分5大极限定理的条件与结论，并能熟练应用于积分的计算。 了解Lebesgue积分与Riemann积分的关系，掌握Fubini定理，会应用其计算重 积分。 第六章徽分与不定积分 散学要点：有界变差函数、绝对连续函数的概念、判断、运算性质，Lebesgue 微分定理，绝对连续函数与Lebesgue积分的关系，Lebesgue积分的N-L公式， 分部积分法与变量替换公式。 教学时数：8学时。 教学内容： §6.1有界变差函数(2学时)：有界变差函数与其全变差，有界变差函数的 性质，Jordan分解。 S6.2 Lebesgue微分定理(2学时)：有界变差的可微性，Lebesgue微分定 理，导函数的可积性。 §6.3不定积分(2学时)：Lebesgue不定积分，绝对连续函数，Lebesgue 积分与绝对连续函数的关系(N-L公式)，分部积分法。 §6.4 Lebesgue积分的分部积分和变量替换(2时)：Lebesgue分部积分公 式，Lebesgue积分的变量替换公式。 考核要求：掌握有界变差函数与绝对连续函数的概念及运算性质，理解有界 变差函数的Lebesgue微分定理，了解绝对连续函数与Lebesgue积分的关系，掌
积分的定义及基本性质，Levi 极限定理、Fatou 引理及 Lebesgue 逐项积分定理。 §5.4 一般可积函数（2 学时）：一般可测函数 Lebesgue 积分的定义与基本 性质，可积的比较判别法，Lebesgue 积分的绝对连续性。 §5.5 积分的极限定理（2 学时）：Lebesgue 控制收敛定理，逐项积分定理 与积分的可数可加性，Vitali 极限定理。 §5.6 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系（2 学时）：Lebesgue 积分几何 意义，Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系。 §5.7 Fubini 定理（4 学时）：测度的截面定理，Fubini 定理。 考核要求：理解 Riemann 可积的本质条件与局限性，了解 Lebesgue 积分的 建立过程，掌握 Lebesgue 积分的基本性质，熟练掌握 Lebesgue 可积的判别方法。 掌握 Lebesgue 积分 5 大极限定理的条件与结论，并能熟练应用于积分的计算。 了解 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系，掌握 Fubini 定理，会应用其计算重 积分。 第六章 微分与不定积分 教学要点：有界变差函数、绝对连续函数的概念、判断、运算性质，Lebesgue 微分定理，绝对连续函数与 Lebesgue 积分的关系，Lebesgue 积分的 N-L 公式， 分部积分法与变量替换公式。 教学时数：8 学时。 教学内容： §6.1 有界变差函数（2 学时）：有界变差函数与其全变差，有界变差函数的 性质，Jordan 分解。 §6.2 Lebesgue 微分定理（2 学时）：有界变差的可微性，Lebesgue 微分定 理，导函数的可积性。 §6.3 不定积分（2 学时）：Lebesgue 不定积分，绝对连续函数，Lebesgue 积分与绝对连续函数的关系（N-L 公式），分部积分法。 §6.4 Lebesgue 积分的分部积分和变量替换（2 时）：Lebesgue 分部积分公 式，Lebesgue 积分的变量替换公式。 考核要求：掌握有界变差函数与绝对连续函数的概念及运算性质，理解有界 变差函数的 Lebesgue 微分定理，了解绝对连续函数与 Lebesgue 积分的关系，掌