以分析一力偶作用于一无限长梁上的情形（图a).如当趋于零 时P。趋于M,則力偶的作用就相当于图b所示的两个力P。运 用方程粗(7)的第一式，求得离原点x处的挠度为 y-PB((B)-I8(x +) 2k =M3.p(Bx)一plB(x+e] =-M3型 2克 2k dx 由式(7)得 9=-28狱， dx 而由力偶M。所产生的挠度曲线变成 MaB (Bx). (10) 将上式微分，得 y=M33 (Bx), dx M=一EIg PyMo0(Bx), (10) dx2 2 V=一EI =-M p(Bx) dx 2 运用上列諾式和表1，就能很快地算出粱在任意截面处的挠度、斜 挚、弯矩及剪力。 现在我們来研究多个載荷作用在一无限长梁土的情形.以前 論鋼軌由于机車車輪压力引起的弯曲作为一例。下面所远的分析 鋼軌应力的方法是基于钢軌下有一連繳弹性基础这一假嗀的。这 一假設与实际很为接近”，因为枕木的間距比式(5)所表示的挠度 曲钱波长4要小得多。为丁求得燕融系数的大小，須将使一根 枕木沉陷一单位距离所需的载荷除以枕木間距。霰相应于鋼軌压 1)参看作老的粉文“Strength of Rails'”,Memoir5lns,Engr,#ays时Com- s#ication(St.Petersburg)1915:及作者发長在Proc.2d1 aternat.Congr.. Appl.Mech.,Zurich,1926中的脸文.并参看本节第二个螂注， 8
力的两个载荷对枕木是对称作用的.例知，假設在两个10000游 截荷之下枕木沉陷了0.3时，而枕木間距为22时；则 =10000。=1500磅/时 0.3×22 对子单个車輪截荷P的情形，式(8)和式(9)可用来求最大挠度和 最大弯矩由于鋼軌弯曲面产生的最大应力为 P () 4BZ 式中Z表示钢軌的载面模量” 为了比较藏面儿何相以的钢勒内的应力，式()可写成： 4Z (i) 式中A为翻轨的截面积.由于式()右面第二个因子对几何形状 相拟的截面而会为常数而第三个因子与铜軌的尺寸芜关，所以最 大应力与截面积成反比，削与鋼軌单位长度的重量成反比： -一根枕木上最大压力Rmax的近以值为最大沉陷与枕木間距 !及基础茶数的乘积.因此，运用式(8)可得 Rmx=P曌=P8=卫四 2k 2 () 2V4EIs 由此可見，枕木上的压力主要与枕本觀距1有关.还应指出，系在 式()和式()中均以四次根出現. 闼此，确定及时产生的哭差对 可x和Rmax的影响是非常小的. 当有多个载荷同时作用在钢轨上时，必須运用迭加法。我們 来射前一数字例子以說明这一計算方法。研究一慣性矩I.一44 时的100磅翔軌，枕大間距根据=1500磅/吋2而定：丁是由 式(2)得 B= 1500 。1时， 4EI 4×30×106×44 43.3 1)写()式时假设了初等的粱公式可用于靴荷所作用的截面，由更群細的研究知， 出于同部应力的#在，可以预料与初等方租式()有很大的循离
而由式(5)得 a =2n =272时。 8 例如，有一粗相距66时的四个相等車輪截荷.如以第一个輪子的 接触点作为坐标原点，則其他儿个輪子的Bx位将如表2所示.表 中还給出了取自表1的函数P和华的相应数值， 表2 酸荷 1 2 3 4 Bx 0 1.52 3.05 4.57 中 1 -0.207 -0.051 0.008 p 0.230 -0.042 -0.012 将鋼軌上所有这四个栽荷的作用迭加后，由式(4)得，第个 输子下的弯矩为 M=B(1-0.207-0.051+0.008)=0.75 48 48 鲫弯矩比单个截荷P所产生的要小25%，对于第二个输子的接触 点，同样得 M:=1-2×0.207-0.051)=0.535 48 8 可以看出，由于相邻輪子的作用，第二个輪子下的弯矩比第一个输 子下的要小得多，这一事实巳为軌道应力的多次实驗量所証 实 运用式(3)和表2最居一行的数值，求得第一个輪子下的挠度 如下： d=22(1+0,230-0.042-0.012)=1.183 2k 2% 其他各点的挠度可用同样方祛求得 可以看出，迭加法便于用来确定鋼軌由任意配匱及任意間距 的载荷粗引起的弯曲 上面的分析是基于辆軌支承反力可为負值这个假設的。因为 100
狂剃虬与道钉之閒通常有閒隙，对鋼轨向上移动的阻力很小，这 使铜執在第一个和最后一个輪子下的弯矩增加.但是，一般而 管，上面关于鋼欧因受等载荷而弯曲的理論与巴作的就骏是足够 符合的. 习 通 1.运用表2的数据作到軌的弯矩图，設車鲶压力为40000磅， 此弯矩图表阴在車輪之閒中点 截面处的弯矩为负值，即表示 出在机車駛过时鋼軌承受反复 弯曲应力的作用、这在最后可 以引起疲劳裂縫， 2.僦求图3所示的染上受 载部分中点处的弯矩及同部分 左端的挠度曲钱斜李 图5 3.武求弹性基础上的无限长梁在三角形载荷作用下任意点A 的挠度，图5. 签.按照第7頁式(g)的雉导过程，得 y=-1I(Bc)-(Bb)一2B0(Bb)+48c]. 4B1 $2。牛无限长的梁，設一弹性基础上的长梁为作用在其一 端的力P及弯矩M所弯曲，知图6所示，則我們仍能应用上节式 (b)的通解.由于茨度及弯矩随著离藏荷端 w】 的距离戈的增加而趋于零，所以在通解中必 須取A=B=0。我們得 y=e8(CcosBx +DsinBx).(a) 图 6 为了确定积分常数C和D，取原点即戴荷P 处的两条件如下： =-Ma, 。11 1103
EI =一V=P. dx3/s 将式(a)代入上列两式，得两个镜性方程式，从而解出C和D,得 C 1—(P-B84);D= Mo 28EI 28 EI 代回式(a),得 y⊙eB -[P cosBx -BMo(cos Bx -sin Bx)1, (11) 28 EI 或运用記号(6)，得 2BF0(Bx)-BM[0(B)--C(B)1). 为了求载荷处的挠度，須将￥=0代入式(11).于是 仑=(y)m=1(P-BM. (11) 28EI 将式(11)微分，得斜率的表达式。在端点(x=0)处，此斜牵变成 dy 1 （P一2P40). (12) dx 2B EI: 运用式(11)和(12)并特合迭加原理，就能解更复杂的間题. 例如，在弹性基础上有一受均布鞍荷的长梁，其一一端簡支，如图7a 所示，由支点挠度为露这一件 可求得端点的反力R。考虑到在 离支点很远之处梁的弯曲可忽略 不舒，而梁陷入基础的深度可取 为g/,我們以M。=0及8=g/及 代入式(11')来計算R.結果得 R=2BEI.·号-g.(13) 将梁的均匀不陷深度q/?减去式 图 (11)对应于P=R及M=0 时的挠度，即可求得挠度曲钱为 ·12·