应用m序列及逆重复m序列辨识非线性动态系统

D0I:10.13374/j.issm1001-053x.1981.02.016 北京钢铁学院学报 1981年第2期 应用m序列及逆重复m序列辨识 非线性动态系统 电工教研室幸白男钟延焖 摘 要 本文提出了辨识非线性动态系统的两个方法。非线性系统近似由线性动态系统 和非线性部件组成。在所提出的二个方法中，序列和逆重复m序列用于输入信号 或相关信号，这些方法可用于估算高阶多项式非线性部件的全部系数，并有足钩多 的脉冲响应栅点值。此外，所提出的方法还适于存在缓慢随机漂移干扰时的在线辨 识。由辨识试验的数字模拟可以证实所提方法的正确性。 引 言 本文提出了应用m序列及逆重复m序列辨识非线性动态系统的二个方法。非线性系统近 似由线性动态系统和单值非线性特性部件组成，即所谓维纳模型(W-模型)或Ham mer- stein模型(H模型)。方法一，利用逆重复m序列作被测系统的输入试验信号。对于W- 模型的辨识分二步，第一步，输入不同电平的逆重复序列信号，计算系统输入与输出的互 相关函数，解线性方程组后得到非线性系数a1,脉冲响应函数g(τ)和一组中间函数，第二 步，利用电平相同但偏置不同的逆重复序列信号作输入信号，计算互相关函数并解一组简 单的非线性方程组，最后得到全部非线性系数。对于H-模型的辨识，与上述第二步大致相 同。在上述方法一中，计算互相关函数时都采用了二项式加权平均，所以辨识结果能消除缓 慢漂移的影响。 方法二，输入信号仍采用逆重复m序列信号，不同的是利用与逆重复m序列同步的m序 列信号与被测系统的输出信号进行相关计算。 上述二方法都可用于估算系统中非线性部件的高阶多项式之系数。 辨识试验的数字模拟结果证实了所提出的方法的正确性。 方法 一 1.wiener模型辨识 在图一所示维纳模型中，AL(t)是电平为A的逆重复m序列。L是线性动态系统，NL ◆本文1980年8月4日收到。 142

北 京 铜 铁 学 院 学 报 年 第 期 应用 序列及逆重复 序列辨识 非 线 性 动 态 系 统 ’ 电工 教研 室 李白男 钟延 炯 摘 要 本文提 出了辨识 非线性动 态系统 的两个 方法 。 非线性系统 近 似 由线性动态系统 和 非线性部件组 成 。 在 所提 出的二 个 方法 中 ， 序 列和逆重 复 序 列用 于 输入 信 号 或相关信 号 ， 这 些 方法 可 用 于估 算高阶 多项 式非线性部件 的全 部 系数 ， 并有足 豹 多 的脉 冲响应栅 点值 。 此 外 ， 所提 出的方法还 适 于存在 缓 慢随机漂 移干扰 时的在线辨 识 。 由辨识 试 验 的数 字模 拟可 以证 实所提 方法 的正 确性 。 引 言 本 文 提出 了应用 序 列 及逆重 复 序列 辨识 非线性 动态 系统 的二个方法 。 非线性 系统近 似 由线性动态 系统 和 单值 非线性特性 部件组 成 ， 即所 谓维 纳模 型 一模 型 或 模 型 模 型 。 方法一 ， 利用 逆重 复 序列 作被测 系统 的输入 试验信号 。 对于 模 型 的辨识分二 步 ， 第一 步 ， 输入不 同 电平 的逆重 复 序 列 信号 ， 计 算系统输入 与输 出的互 相 关函数 ， 解线性方程组后得 到非线性 系数 ， 脉 冲响应 函数 幼 和一组 中间函 数 ， 第二 步 ， 利用 电平相同 但偏 置不同 的逆重 复 序列 信号作输入 信号 ， 计 算互相 关函数 并解一组简 单的非线性方程 组 ， 最 后得 到全部非 线性 系数 。 对 于 一模 型 的辨 识 ， 与上述 第二 步大致 相 同 。 在上述 方法一 中 ， 计 算互相 关 函数 时都 采用 了二项 式加 权 平均 ， 所 以 辨 识结果 能消除缓 慢 漂移 的影 响 。 方法二 ， 输入信号仍 采用逆重 复 序列 信号 ， 不同 的是利 用 与逆重复 序列 同步的 序 列 信号与被测 系统 的输 出信号进行相 关计算 。 上述 二方法都可用 于估 算系统 中非线性部件 的高阶多项 式之 系数 。 辨 识 试验的数 字模 拟结果证 实了所提 出的方 法 的正 确性 。 方 法 一 棋型辨识 在图一所示维 纳 模 型 中 ， 是 电平为 的逆 重 复 序 列 。 是线性 动态 系统 ， 本文 年 月 日 收到 。 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1981．02．016

是有2n阶多项式的非线性特性，即 n(t》+d(t) A1(t) y(t) z(t) 图一W-模型 2n y=∑au (1) !=1 n(t)是白噪声，d(I)是多项式型缓慢随机漂移。r是偶数。 d(t)= dt 2) 1-0 辨识上述非线性动态系统方法分成两步 第一步： 输入信号是AL(t),系统响应是y(t),有 y(t)=yi(t)+y2(t) (3) 其中： n y(I)= a=A1-6…f0gs-gs1-L(t-5 1=1 L(t-s21-1)dsi.ds21-1 (4) y(=∑A66 ()(-s L(t-s2i)ds1…ds21 (5) AL(t)与z(t)在0至(r+2)T区间权重平均互相关函数可以写成为： r+1(I+1)T $2(t)=1 (6) r+1 (∑K,)T ∑，AK:ztL1-)at 然而： 中Lz(t)=φLy1(T)+中Ly2(t)+中Ld(T)+中Ln(T) (7) 其中， 中Ln(T)=0 (8) +1 (r+1) (∑K)r 143

是有 阶多项 式 的非线性特性 ， 即 图一 一模 型 ， 艺 是 白噪声 ， 是 多项 式 型缓慢 随 机漂移 。 是 偶数 。 幻 。， ‘ ， 艺 ， 辨 识 上述 非线性动 态 系统 方法分 成 两 步 第一 步 输 入 信 号是 ， 系统 响应 是 ， 有 其 中 艺一 二 一 了 … 一 歹 ” ’ 卜 一 … 一 一 … ， ， ‘ 乏一 了 … 了 … 卜 … 一 一 … 与 在 。 至 区 间权 重 平均互相 关函数可 以 写 成为 几 击 ， ， 二 一 皿－ 兮 一 丫 艺 然而 小 小 ， ， 小 ， 小 中 。 丫 其 中 小 小 了 乏 ’ ‘ ’ 了 “ ， ‘ ’ 一 ‘ ’ “ ‘ 乏 ”

K!若按二项式系数选择，可使 φL4(T)=0 注意到 y(t)=-y:(t+T) (11) y2(t)=y2(t+T) (12) 我们有 中Lr2(T)=0 (13) (1+1)T ,()= ∑Ay:(t)L(t-t)dt (14) 最后有 中Lz(t)=中Ly,(t) (15) 代入(4)和(14)到(15)，(15)式可写成下列形式 中L:(t)=∑a-iA中L-(T) (16) 1=1 其中： 4.-(r)=00g(Sg(5,g(521-L (t-51,t-s2,…t-s21-1)ds1…ds21-1 (17) 取A=A,相应有中L(t)=中Lz1(t),i=1,2,…n,这时(16)可写成矩阵形式 a中L,=Aa中Ln (18) 或 a中L=A-中z (19) 从(19)式，我们可找到一组中间函数F,(τ) F,(t)=a21-:中Ln(21-1)(t)i=1,2,…n (20) 当i=1 F(t)=aisg(T) (21) 其中S是AL(t)的自相关函数面积。又假设 · 6g)dA=-1 (22) 从(21)式得到 a-号r(e)dr (23) g(t)=F1(T)/aIs (24) 第二步 输入信号为A。L(t)+B,B是一常偏置量，系统响应是y(t),我们假定 y(t)=y,(t)+y2(t) (25) 144

，若按二项 式 系数选择 ， 可使 小 ， 注 意到 ， 一 我们有 勺 了 ‘汗 小 ， ， 小 ， 丫 级一 一 ” 、 ‘ ， 一 丫 最后 有 小 ， 小 ， 代入 和 到 ， 式可写 成下列形式 小 ‘ ，二 艺 ，一 ” 小 。 卜 ‘ 一 小 。 ‘ 卜 ， · 卜 厂 … 歹了 … 卜 ，小 · · … 丫 一 ， ， ， 丫 一 ， … 一 一 ， ，… 一 相应 有小 ， 丫 小 。 二 ， ， ， 一 ， 这 时 可 写 成矩 阵形 式 小 ， 小 或 从 式 “ 呀， 一 ’ 小 我们可 找 到一组 中间函数 一 小 ， ’ 一 ’ ， ， … 当 ， ， 丫 其 中 是 的 自相 关函数面积 。 又假设 。 入 入 一 从 式得 到 。 ， 、 ， 一 认 丫 第二 步 输入 信号为 。 ， 是一常偏 置 量 ， 系统 响应 是 ， 我们假定 一

其中： y(t)A.fog(s)L(t-s)ds-2a:BA.fog(s)L(t-s)ds+ A.(s:)g(s.)g(5a)L(t-5:)L(t-s2)L(t-5a)dsids:dsa 十… (26) y:(t)--aB+a:A.-(5(52)L(I-5)L(t-5.)dsidsa+ aB-3m,A.BB(S.)E(Sa)L(t-S)L(t-S.)dS:dS. 十… (27) 从以上两式可以得出： y(t)=-y:(t+T) (28) y2(t)=y2(t+T) (29) A。L(t)与Z(t)在0至(r+2)T区间具有权重平均的互相关函数仍然得到 e)=∫rAy,(L-dt (30) 代入(26)到(30)，在0至T区间积分以上公式的两边，给出： n-I -M-CB ·(31) 其中 C1=2aS-4A,F:e)dt-6AF,(t)dr+… C=-a,5+10AF,tat+21AFedt+ C,=4a,5-20;AF.(r)dt-… C4=-5aS+35 A.:()+… (32) a3 Cs=6aaS-… C。=-7a,S+… Ca-1=(-1)"anS M=A,fF()dt+A.fF:()dt+A.F(d 当B=B。=0,相应有中Lz（t)=中Lz。(t),M可从(31)式得到，有： M=中or)dr (33) 145

其中 。 。 户 一 、 、 一 。 少 八 一 、 ， 一 ， 一 一 。 一 产 · … ’ 一 。 · ， 一 一 一 。 。 么 一 一 十 。 。 。 二 从 以 上 两式 可 以得出 ， 一 二 。 与 在 。 至 十 区 间具有权重平均 的互相 关函数仍然得到 小 · · 书 ‘ ’ ‘ ” ’ 。 卜 · 代入 到 ， 在 。 至 区 间积 分 以 上公 式的 两边 ， 给 出 小一 · 一 艺 其 中 、，、于吸 一 吐竺丝一 。 歹 卜 红 。 丫 … ‘ ， 一 一 ‘ 竺一 。 七 一 。 舀 五 。 丫 。 二 一 一 丫 一 … ‘ 一 。 里 互 。 。 厂 “ ， … 。 声 一 … 一 … 一 ， 一 “ 。 。 ’ · · · · 。 。 · · … 当 。 ， 相 应 有 小 小 · 。 ， 可 从 式得 到 ， 有 。 中 ‘ 气 少

当B=B:,相应有中Lz(t)=中Lz1(x),i=1,2,…n-1,(31)式可写成为矩阵形式，有 L:(d+-M)=BC (34) 解以上矩阵方程，我们得到 C=B-'(中a(r)dr-M) (35) 代入中间函数F:(t)以及(35)式的C1值至(32)式，再解一组非线性方程，可得到a2, as,…an各系数。 对于(32)式中的多个解，以及aa,a。…为零的情况，所有非线性系数仍然可以求得。 2.Hammerstein模型的辨识 图2为H模型 n(t)+d(t) A1(t) y(t) z(t) NL 图2H-模型 输入信号为A。L(t)+B,相应输出为y(t),假设 y(t)=yi(t)+y2(t) (36) 其中： y)=(a1+2a:B+aA.2+…0Ag(a)L(t-)d2 (37) y2(t)=-(a2A。2+a2B2+3aA。2B+a3B3+…) (38) 从以上两式可以推导出 y:(t)=-y:(t+T) y:(t)=y2(t+T) 以上从(6)至（5)式的结论仍旧成立，这时，A。L(t)与Z(t)在0至(r+2)T区 间具有权重平均的互相关函数可写成为： 中Lz(t)=A。2Sg(t)(a1+2a2B+a3A,2+3agB2+…) (39) 以上公式从0至T区间积分，并注意到(22)式，得到： n-1 (d-M-CB (30) 其中 M=∑a2n-1A。2i-2 (41) C1=2az+4a4A02+6a8Ag+… C2=3ag+10a6A。2+21a7A。‘+… Cg=4a4+20a。A。2+… C4=5a6+35a7A02+… (42) C。=6a。 Cn-:=nan 146

当 ，， 相 应有 小 二 小 ， ‘ ， ， … 一 式可写 成为矩 阵形式 ， 有 伏丛丝卫 一 卫 卫 解以上 矩 阵方程 ， 我们得 到 少 卫一 如匕竺 一 式的 值 至 式 ， 再解一组非线性方程 ， 代入 中间函数 ， ， 以 及 。 ， … … 。 各系数 。 可得 到 ， 对于 式 中的 多个解 ， 以及 ， 。 … 为零的 情 况 ， 所有非线性 系数仍然可 以求得 。 徽型 的拼识 图 为 模 型 图 一 模型 输入 信号为 。 ， 相 应输 出为 ， 假设 其 中 ， 。 … 广 。 入 一 入 入 “ 一 。 “ 。 … 从 以 上 两 式可 以推 导 出 一 以上从 至 式 的结论仍 旧 成立 ， 这 时 ， 。 与 在 至 区 间具有权 重 平均的 互相 关函数可写 成为 小 。 “ 。 … 以上公 式从 。 至 区 间积分 ， 并注意到 式 ， 得 到 一 命 ‘ 二 ‘ · ’ ’ 一 “ 乏 ， ’ 其 中 乙 ， 。 “ ’ 一 一 一 。 “ 毛 … 。 。 ‘ … 一 … ‘ 。 么 … 。