1x1+C12x2+.+C1-x+.+ 2x2+.+C2nx+…+c2rx x+…+Cmxn 0=a (1.4) 0=0 0=0 其中c;≠0,÷=1,2,…,r
c11x1+c12x2+…+c1rxr+…+c1nxn =d1 c22x2+…+c2rxr+…+c2nxn =d2 crrxr+…+crnxn =dr 0=dr+1 0=0 0=0 (1.4) 其中 cii0, i=1, 2, …, r
显然,(14)有解←→(1.1)有解 r+1 0 若d1+1=0,分两种情形 )r=n,此时,阶梯方程组为 Cux+...+Curn=dl nnn 此时,上述方程组,称为上三角方程组,且 其解可由最后一个方程依次回代,逐步求得xn, xX
显然，(1.4)有解(1.1)有解. dr+1 = 0 若dr+1 = 0, 分两种情形 1) r=n, 此时，阶梯方程组为 c11x1+…+c1nxn =d1 , cnnxn =dn . 此时，上述方程组，称为上三角方程组，且 其解可由最后一个方程依次回代，逐步求得xn , xn−1 , …， x1
2)r<n,此时方程组可改写成为 Cux+Clx2+.+CIxr =dl-CIr+r+1-.-Curln 2x2+…+c2xn=d2-c2+t n rrr. =dr -crr+xr+1 由此可见,任给x1,…,xn-组值,都可唯一确 定出x1,x2,…,x也即方程组有无穷解.此时, x1,x2,…,x,可用x+1,…,xn表示出来x+1,…,xn 称为自由变量
2) r < n，此时方程组可改写成为 c11x1+c12x2+…+c1rxr =d1−c1r+1xr+1−… −c1nxn c22x2+…+c2rxr =d2−c2r+1xr+1−… −c2nxn crrxr =dr−crr+1xr+1−… −crnxn 由此可见，任给 xr+1, …, xn 一组值，都可唯一确 定出 x1 , x2 , …, xr . 也即方程组有无穷解. 此时， x1 , x2 , …，xr 可用 xr+1, …, xn 表示出来. xr+1, …, xn 称为自由变量
2x1-x2+3x 例12解方程组:4x1-2x+5x34, 2x1-x2+4x3=0 解:经初等变换,得 2x1-x2+3x3=1
例1.2 解方程组： 2x1−x2+3x3=1, 4x1−2x2+5x3=4, 2x1−x2+4x3=0. 解：经初等变换，得 2x1−x2+3x3=1, −x3 x3 = 2, = −1
2x1-x2+3x3=1, 0=1. 2x1+3x3-X2=1, 7=2<3=n d1-=1≠0.故无解
2x1−x2+3x3=1, −x3=2, 0 2x1 +3x3 −x2=1, −x3 =2, 0=1. r=2 < 3=n. dr+1=10. 故无解. =1