7.若mna=a,是否必有ma=a2又能否断定1m2=1 8.若对vE>0,彐N,当n>N时,就有|an-an<E,则{a}是否收敛? 9.下列命题是否正确?为什么? (1)设 lim a=0,{bn}为任意数列,则 lim a b=0 (2)若 lim any=0,则可断定或imxn=0或 lim yn=0 n→) (3) lim x=0→lim|xn=0 (4)若{an}收敛于a,则将a的顺序重新排列后所得的数列{an}仍收敛于a 10.下面的计算方法有无错误,原因何在? n→nn→xnn (2)im(1+-)=lm(1+-)1+-)…(1+-) lim(1+-)lm(l+-)…lm(+-)=1 nn→ nn→a (3)lim(1 →∞n+1 (4)假设limq"=aq>1),则因q=qq2,两边同时取极限得:q=q·a,从而a=0, 故有limq"=0(q1) (5)limn 1l.若lim(yn-xn)=0,lmxn=a,求证lmyn=a,请看下面的证法是否正确?
·9· 7．若 n n lim a a → = ，是否必有 n 1 n lim a a + → = ？又能否断定 n 1 n n a lim 1 a + → = . 8．若对 0， N，当 n>N 时，就有 n 1 n | a a | + − < ，则{an}是否收敛？ 9．下列命题是否正确？为什么？ (1)设 n n lim a 0 → = ，{bn}为任意数列，则 n n n lim a b 0 → = . (2)若 n n n lim x y 0 → = ，则可断定或 n n lim x 0 → = 或 n n lim y 0 → = . (3) n n n n lim x 0 lim | x | 0 → → = = . (4)若{an}收敛于 a，则将 an 的顺序重新排列后所得的数列{ ' n a }仍收敛于 a. 10．下面的计算方法有无错误，原因何在？ (1) 1= n n n n 1 1 1 lim lim ( ) → → n n n n = + + + 个 = n n 1 1 lim lim 0 → → n n + + = . (2) n n n 1 1 1 1 lim (1 ) lim[(1 )(1 ) (1 )] → → n n n n + = + + + = n n n 1 1 1 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) 1 → → → n n n + + + = . (3) n n 1 1 1 lim(1 )(1 ) (1 ) 1 1 1 → n 1 n 2 2n − − − = + + 个 =1. (4)假设 n n lim q a(q 1) → = ，则因 n 1 n q q q + = ，两边同时取极限得：q= qa ，从而 a=0， 故有 n n lim q 0 → = (q>1). (5) n n lim n → = 1 n 0 n lim n n 1 → = = . 11．若 n n n lim(y x ) 0 → − = ， n n lim x a → = ，求证 n n lim y a → = ，请看下面的证法是否正确？
0=lim(yn -Xn)=lim,-limx,=limyn-a 定义:在给定的数列a1 …中,如果任意地挑选出无穷多项,并按照原 有的次序排列出 就得到一个足标为k的数列{an},称为原数列的子数列 12.若数列{an}的两个子列{an}与{an-}都收敛,则{an}是否也收敛? 13.举例给出满足下列要求的数列 (1)无界数列,但不趋于无穷; (2)非单调的收敛数列 (3)无收敛子列的数列 14.若把满足柯西准则条件的数列叫做柯西列(或基本列) (1)若对ve>0,彐N,当n>N时有lan-aNkE,能否断定{an}为柯西列? (2)若对v>0和p∈N,N,当n>N时有|an+p-ankE, 能否断定{an}为柯西列? (3){an}、{bn}为两个柯西列,能否断定{an+bn}、{anbn}也是柯西列? 15.下面的证法有无错误? 设xn=1 (n=1,2,…),证明{xn}收敛 G>0,取N=2-1+1,则当n>N时,就有xm-xnkE 根据柯西准则知数列{xn}收敛 16.用“ε-N”语言叙述{an}不是柯西列
·10· n n n n n n n 0 lim(y x ) lim y lim x → → → = − = − = n n lim y a → − n n lim y a → = . 定义：在给定的数列 a1, a2, …，an, …中，如果任意地挑选出无穷多项，并按照原 有的次序排列出 1 n a , 2 n a , …, k n a , … (n1<n2<…<nk<…) 就得到一个足标为 k 的数列{ k n a }，称为原数列的子数列. 12．若数列{an}的两个子列{a2n}与{a2n-1}都收敛，则{an}是否也收敛？ 13．举例给出满足下列要求的数列 (1)无界数列，但不趋于无穷； (2)非单调的收敛数列； (3)无收敛子列的数列. 14．若把满足柯西准则条件的数列叫做柯西列(或基本列) (1)若对 >0，N ，当 n>N 时有 n N | a a | − ，能否断定{an}为柯西列？ (2)若对 >0 和 p N, N ，当 n>N 时有 n p n | a a | + − ， 能否断定{an}为柯西列？ (3){an}、{bn}为两个柯西列，能否断定{an+bn}、{anbn}也是柯西列？ 15．下面的证法有无错误？ 设 n 1 1 x 1 2 n = + + + ，(n=1, 2, …)，证明 n {x } 收敛. 证： n p n 1 1 | x x | n 1 n p + − = + + + + < 1 1 p n 1 n 1 n 1 ++ = + + + 0 ，取 p N [ 1] 1 = − + ，则当 n N 时，就有 n p n | x x | + − . 根据柯西准则知数列{xn}收敛. 16．用“ —N”语言叙述{an}不是柯西列
17.数列{xn}收敛的充要条件有哪几个? 18.证明数列{xn}发散有哪些方法? 19.用肯定语气叙述 (1){xn}不是单调数列; (2)数列{xn}无上界; (3)区间[a,b]上每个数都不是数列{xn}的极限 (4)imxn≠+∞ 20.若对任给x∈R,30>0,对N∈N,彐n0>N,使|x-xPEo 能说明数列{xn}具有什么性质? 22.证明:若lmxn=+∞,则在{xn}中至少有一项xn,使 3.选择填空 (1)若{an}有界,则{an} (A)收敛 (B)发散 (C)可能收敛,也可能发散 (D)A、B、C中结论都不对 (2)若{an}无界,则{an (A)为无穷大量 (B)发散 (C)可能收敛,也可能发散 (D)A、B、C中结论都不对 (3)若{an+bn}发散,则 (A){an}、{bn}都发散 (B){an+bn}无界 (C){an}与{bn}中至少有一个发散 (D)A、B、C中结论都不对 (4)若 lim a=a, lim b=a,则数列a,b;,a,bz,…,an,bn,… (A)收敛,但极限未必是a (B)一定收敛于a (C)未必收敛 (D)A、B、C中结论都不对 (5)设{an}中有无穷多项a=1,则{an}
·11· 17．数列{xn}收敛的充要条件有哪几个？ 18．证明数列{xn}发散有哪些方法？ 19．用肯定语气叙述 (1){xn}不是单调数列； (2)数列{xn}无上界； (3)区间[a, b]上每个数都不是数列{xn}的极限； (4) n n lim x → +. 20．若对任给 x R, 0 0 ，对 N N ， n N 0 ，使 n 0 0 | x x | − , 能说明数列{xn}具有什么性质？ 22．证明：若 n n lim x → = + ，则在{xn}中至少有一项 0 n x ，使 n n 0 x x (n=1, 2, …). 23．选择填空 (1)若{an}有界，则{an}_________. (A)收敛 (B)发散 (C)可能收敛，也可能发散 (D)A、B、C 中结论都不对 (2)若{an}无界，则{an}___________. (A)为无穷大量 (B)发散 (C)可能收敛，也可能发散 (D)A、B、C 中结论都不对 (3)若{an+bn}发散，则____________. (A){an}、{bn}都发散 (B){an+bn}无界 (C){an}与{bn}中至少有一个发散 (D)A、B、C 中结论都不对 (4)若 n n lim a a → = ， n n lim b a → = ，则数列 a1, b1, a2, b2, …, an, bn, …_________. (A)收敛，但极限未必是 a (B)一定收敛于 a (C)未必收敛 (D)A、B、C 中结论都不对 (5)设{an}中有无穷多项 an=1，则{an}=__________
(A)可能是正无穷大量 B)可能是无穷小量 (C)一定收敛于1 (D)A、B、C中结论都不对 (6)若{an}中有无穷多个子列都趋于a,则{an} (A)一定收敛于a (B)可能是无穷大量 (C)未必收敛,但一定不是无穷大量(D)A、B、C中结论都不对 (7)设非常数数列{an}收敛,且lma (A){an}为单调有界数列 (B){an}非单调有界数列 (C)在{an}中必存在一个子列是单调有界数列 (D)在{an}中不一定存在单调有界的子列 补充题 按定义证明下列极限 (1)lim (2)lim[n(n+1)-nn]=0 3n2+2n-4 2.求下列极限 (1)lim (2)im/1+2+…+nn n+( n+2 (4)im/1 +-+ 1+2+…+n n→an +=+…+ (6)lim v2sin 2n+cos2n (im(+x(1+x2)(1+x)-(+x2)() a≠-1) (9)im o1+ →∞1+a (10)lm √+33+…+n (12)im(+-n) (13)lin
·12· (A)可能是正无穷大量 (B)可能是无穷小量 (C)一定收敛于 1 (D)A、B、C 中结论都不对 (6)若{an}中有无穷多个子列都趋于 a，则{an}___________. (A)一定收敛于 a (B)可能是无穷大量 (C)未必收敛，但一定不是无穷大量 (D)A、B、C 中结论都不对 (7)设非常数数列{an}收敛，且 n n lim a a → = ，则___________. (A){an}为单调有界数列 (B){an}非单调有界数列 (C)在 an 中必存在一个子列是单调有界数列 (D)在 an 中不一定存在单调有界的子列 补充题 1．按定义证明下列极限 (1) 2 2 n n n 5 1 lim → 3n 2n 4 3 − + = + − (2) ( ) n lim ln n 1 ln n 0 → + − = 2．求下列极限 (1) n 3 n n lim n 5n → + − (2) n 1 2 n n lim → n 2 2 + + + − + (3) N N n 1 1 lim → 1 2 n = + + + (4) 2 2 2 n 1 3 2n 1 lim → n n n − + + + (5) 2 n n 1 3 2n 1 lim → 2 2 2 − + + + (6) n 2 2 n lim 2sin n cos n → + (7) ( )( )( ) ( ) n 2 4 2 n lim 1 x 1 x 1 x 1 x → + + + + (|x|<1) (8) n n n a lim → 1 a + ( a 1 − ) (9) n n 1 n a lim 1 a a → − + + + (a>0) (10) 3 n n 1 2 3 n lim → n + + + + (11) 3 4n 3 3 n n 1 lim → n 2 − − (12) ( ) 3 3 3 n lim n n 1 n → + − (13) n n 2 k 1 1 lim n k → = +
(14)lim(sin /n+1-sin/n) (15)li (-2)1=3)( (16)l 4.5…(2n) (17)lim nn2 (18) n+1n+2 提示:利用Iim1 ln|=CC为欧拉常数 ( 19)lim>sin (提示:利用两边夹定理) 少“( (21) 3.设{an}为正项数列,且Ima址=0,证明{an}当n充分大后为单调数列 4.证明:若数列an}无上界,则必有严格增加且趋于+∞的子数列 若 lim=(≠0)且lman=0,则lmbn=0 6.设数列{an}满足0<an<1,(1-an)an+1>,证明{an}单调增加,且 lim a. s 7.设{an}为单调数列,它的某一子列a2→a(k→∞),试证iman=a 8.设imxn=a, lim y=b,求证 lim max(xn,yn)=Max(a,b) 9.利用柯西收敛准则,判断下列数列{an}的收敛性 COS cos cosn (1)an= 1·22 (2)a=acos 2+bsin 2, a cos 3+bsin3 2(2+sin2)3(3+sin3) n(n+smm)(a,b是常数 (3)an=1+一+h+…+-h(h≤1) (4)anIn 2 In3 (n=2,3,…)
·13· (14) ( ) n lim sin n 1 sin n → + − (15) 2 2 2 n 1 1 1 lim 1 1 1 → 2 3 n − − − (16) ( ) ( ) n n 1 3 5 2n 1 lim → 2 4 5 2n − (17) 2n 1 2 n lim n n + → + (18) n 1 1 1 lim → n 1 n 2 2n + + + + + 提示：利用 n 1 1 lim 1 ln n C → 2 n + + + − = C 为欧拉常数 (19) n n 2 k 1 lim sin n k → = + (提示：利用两边夹定理) (20) 2 m 2 m n lim 1 → m − (21) ( ) 2 n lim sin n 1 → + 3．设 an 为正项数列，且 n 1 n n a lim 0 a + → = ，证明 an 当 n 充分大后为单调数列. 4．证明：若数列 an 无上界，则必有严格增加且趋于 + 的子数列. 5．若 n n n a lim → b = ( ≠0)且 n n lim a 0 → = ，则 n n lim b 0 → = . 6．设数列 an 满足 0 a 1 n ，( ) n n 1 1 1 a a 4 − + ，证明 an 单调增加，且 n n 1 lim a → 2 = . 7．设 an 为单调数列，它的某一子列 nk a a → (k →) ，试证 n n lim a a → = . 8．设 n n lim x a → = ， n n lim y b → = ，求证 n n n lim Max(x , y ) Max(a, b) → = . 9．利用柯西收敛准则，判断下列数列 an 的收敛性. (1) ( ) n cos1 cos2! cos n! a 1 2 2 3 n n 1 = + + + + (2) ( ) ( ) ( ) n a cos2 bsin 2 a cos3 bsin 3 a cosn bsin n a 2 2 sin 2! 3 3 sin 3! n n sin n! + + + = + + + + + + (a，b 是常数) (3) n h h h 1 1 1 a 1 2 3 n = + + + + (h≤1) (4) n 1 1 1 a ln 2 ln 3 ln n = + + + (n=2，3，…)