华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第十章（10.5）对坐标的曲面积分

§10.5对坐标的曲面积分 对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 两类曲面积分之间的联系 自

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 三、两类曲面积分之间的联系 §10.5 对坐标的曲面积分 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、对坐标的曲面积分的概念与性质 今有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如,由方程x=(x,y)表示的曲面分为上侧与下侧 设n=(cosa,cos月,cosy)为曲面上的法向量 当cosy>0时,n所指的一侧是上侧; 当cos~0时,n所指的一侧是下侧 z-z(x,y) 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 当cos0时 n所指的一侧是上侧 当cos0时 n所指的一侧是下侧 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 下页 ❖有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如 由方程z=z(x y)表示的曲面分为上侧与下侧 设n=(cos cos cos)为曲面上的法向量

、对坐标的曲面积分的概念与性质 今有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如,由方程x=(x,y)表示的曲面分为上侧与下侧 设n=(cosa,cos月,cosy)为曲面上的法向量 当cosy>0时,n所指的一侧是上侧;当cosy0时,n所指的 一侧是下侧 类似地,如果曲面的方程为y=y(,x),则曲面分为左侧与 右侧,在曲面的右侧cos6>0,在曲面的左侧cosB<0 如果曲面的方程为x=x(y,2),则曲面分为前侧与后侧,在 曲面的前侧cosc>0,在曲面的后侧cosa<0 闭曲面有内侧与外侧之分 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 当cos0时 n所指的一侧是上侧 当cos0时 n所指的 一侧是下侧 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 下页 ❖有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如 由方程z=z(x y)表示的曲面分为上侧与下侧 设n=(cos cos cos)为曲面上的法向量 类似地 如果曲面的方程为y=y(z x) 则曲面分为左侧与 右侧 在曲面的右侧cos0在曲面的左侧cos0 如果曲面的方程为x=x(yz) 则曲面分为前侧与后侧 在 曲面的前侧cos0 在曲面的后侧cos0 闭曲面有内侧与外侧之分

心曲面在坐标面上的投影 在有向曲面Σ上取一小块曲面△S,用(△G)表示AS在xO 面上的投影区域的面积.假定ΔS上各点处的法向量与轴的夹 角的余弦cos;有相同的符号(即cos;都是正的或都是负的) 我们规定AS在xOy面上的投影(△Sx为 (△a) cOSy>0 (AS)y={-(△) xy coSr<0, 0 COSy=0 类似地可以定义AS在yO面及在Ox面上的投影(△S)及 (△S)x 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖曲面在坐标面上的投影 下页 在有向曲面上取一小块曲面S 用() xy表示S在xOy 面上的投影区域的面积 假定S上各点处的法向量与z轴的夹 角的余弦cos有相同的符号(即cos都是正的或都是负的) 我们规定S在xOy面上的投影(S) xy为 类似地可以定义S在yOz面及在zOx面上的投影(S) yz及 (S) zx       −      = 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( )      xy xy xy S 

◆流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 v(x,y, 2)=(P(x,y, 2),O(x,y,3),R(,y, 3)) 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数v(x,y,z)在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量,即流量Φ :把曲面Σ分成n小块:AS,△S2……,AS(△S也代表曲面面积) 在AS上任取一点(5,h,); 通过Σ流向指定侧的流量Φ近似为: (5,,2) △S AS:>> ∑1 提示通过AS流向指定侧的流量近似为 VinAS >> 画相美识 贝返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示通过Si流向指定侧的流量近似为 vi niSi  i i i n i  S = v n 1  ❖流向曲面一侧的流量 相关知识 下页 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 v(x y z)=(P(x y z)  Q(x y z)  R(x y z)) 给出 是速度场中的一片有向曲面函数v(x y z)在上连续 求在单位时间内流向指定侧的流体的质量 即流量 •把曲面分成n小块 S1  S2     Sn (Si也代表曲面面积) •在Si上任取一点(i  i  i ) •通过流向指定侧的流量近似为 >>> >>>