这里的72是相对坐标的拉普拉斯算符.定义了总质量 M=m1+m2,约化质量4=m1m2/(m1+m2). 则定态薛定谔方程化为： 吸-+小= (6) 其中r= 将体系的波函数分为质心部分和相对质心部分（分离变量），即 妙=(R)(⑦.带入定态方程，分离变量得到： 1.一苏V和（风=Eo(风.质心运动部分 2.一2+(0=(E:-E(0=( ,相对运动部 口4021=，是QC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 这里的 ∇2 是相对坐标的拉普拉斯算符. 定义了总质量 M = m1 + m2, 约化质量 µ = m1m2/(m1 + m2). 则定态薛定谔方程化为: [ − ¯h 2 2M ∇2 R − ¯h 2 2µ ∇2 + V(r) ] ψ = Eψ (6) 其中 r = |⃗r|. 将体系的波函数分为质心部分和相对质心部分 (分离变量), 即 ψ = ϕ( ⃗R)ψ(⃗r). 带入定态方程, 分离变量得到: 1. − h¯ 2 2M∇2 R ϕ( ⃗R) = Ecϕ( ⃗R), 质心运动部分 2. [ − h¯ 2 2µ∇2 + V(r) ] ψ(⃗r) = (Et − Ec)ψ(⃗r) = Eψ(⃗r) 相对运动部 分
说明： ·质心运动部分：自由粒子波动方程，E。为质心运动能量，为集 体效应，与我们关系的内部原子内部结构无关，这里不予考 虑.（但在固体物理学中，这部分将发展为晶格动力学） 相对运动部分：与单体的波动方程等效，可揭示原子结构信 息（在固体物理学中，这部分进一步发展为能带理论） 接下来，我们着重求解相对运动部分这一等效单体的波动方程 口卡+日14三+1色，生QC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 说明: ▶ 质心运动部分: 自由粒子波动方程,Ec 为质心运动能量, 为集 体效应, 与我们关系的内部原子内部结构无关, 这里不予考 虑.(但在固体物理学中, 这部分将发展为晶格动力学.) ▶ 相对运动部分: 与单体的波动方程等效, 可揭示原子结构信 息.(在固体物理学中, 这部分进一步发展为能带理论.) 接下来, 我们着重求解相对运动部分这一等效单体的波动方程
由于库伦势场V()=-三 具有球对称性，故取球坐标较为方便 这时拉普拉斯算符表示为： 2=- 10 1 02 1 ar sin 000 sin (7) 将体系波函数分离为径向部分（与r相关）和角度部分（与0，P 有关)： (r,0,p)=R(r)Y(0,p) (8) 带入定态方程整理可以得到2个方程 L2Y0,p)=λ2Y0,p) (9) [乐++wA)=E (10) :口404三·1生，生QG
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 由于库伦势场 V(r) = − e 2 r 具有球对称性, 故取球坐标较为方便. 这时拉普拉斯算符表示为: ∇2 = − 1 r 2 ∂ ∂r ( r 2 ∂ ∂r ) + 1 r 2 [ 1 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂ ∂θ + 1 sin2 θ ∂ 2 ∂φ2 ] (7) 将体系波函数分离为径向部分 (与 r 相关) 和角度部分 (与 θ, φ 有关): ψ(r, θ, φ) = R(r)Y(θ, φ) (8) 带入定态方程整理可以得到 2 个方程 L 2Y(θ, φ) = λ¯h 2Y(θ, φ) (9) [ p 2 r 2µ + λ¯h 2 2µr 2 + V(r) ] R(r) = ER(r) (10)
其中算符为 2=-2 18 sin0+ 1 02 sin0 00 sin2e0Φ2 (11) 10 Pr 一i ror (12) p为极坐标下的径向的动量算符 口卡+日14三+1色，生QC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 其中算符为 L 2 = −¯h 2 [ 1 sin θ ∂ ∂θ sin θ + 1 sin2 θ ∂ 2 ∂ϕ2 ] (11) pr = −i¯h 1 r ∂ ∂r r (12) pr 为极坐标下的径向的动量算符