二、自由电子的量子理论H在没有磁场时，自由电子的哈密顿量为2m当有磁场存在时，电子运动的哈密顿量为p+eA)H=2mB=VxAA为磁场的矢势，若磁场B沿z方向，则可取A=（-By，O，O)H：-[(P-eBy) + P, + ?2m
由于哈密顿算符中不含x和z，aaH 与 p=-i-及p.=-i-对易。axaz根据量子力学，H和p.、p.有共同本征态。设业为其共同本征态，有py=hkyp.y=hk.y(r)= (kk2)/p(v)波函数可以写成Hy = Ey代入波动方程
(nk,-eBy) +p, +h°k?p(y)=Ep(y)2m? α?(nk-eby) 0() {-2may2m2mt? α?1+=mo(-)()=(y)2m oy2eBh'k?h其中08=E7YoeBm2m上式是中心位置在y=yo，振动园频率为の的线性谐振子
解为,(y-yo)~N,cxp21N,为归一化因子，II)为厄密多项式。相应的能量本征值为en =(n+)hon=0, 1, 2, .... y(r) =e(kr+k.z)ap, (y-yo)t'k?nk= +(n+t)ho.E(k)182m2m即：根据量子理论，电子在垂直于磁场平面内的匀速圆周运动对应于一种简谐振动，其能量是量子化的。我们将这种量子化的能级称为朗道能级（Landaulevel）
公式说明沿磁场方向电子保持自由运动，在垂直磁场的x-y平面上，电子运动n=3是量子化的，从准连续的En(k.)jn=2(k2+k3)2mn-1变为：n-0B=0hon2电子的能在这种情况下，汉ho量由准连续的能谱变成to,ho.维的分立的磁次能带，每1-hoe孔20条次能带都成抛物线形状自由电子的一维磁次能带图6-17，如右图所示