例1设u=e2sin,x=2st,y=t+s2,求us,4 1函数 解 Ou Ox ou by us=0x∂s 十 =e"siny.2t+et cosy2s 访问主页 0y∂s -2e"(t siny+s cosy) 标题页 t u∂x.auay 炒 Ox'ot au'Ot =e'siny2s+e'cosy·1 =eT(2s siny+cosy) 第32页共340页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 32 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦1 ✗ u = e x sin y, x = 2st, y = t + s 2➜➛ us, ut . ✮ us = ∂u ∂x · ∂x ∂s + ∂u ∂y · ∂y ∂s = e x sin y · 2t + e x cos y · 2s =2e x (tsin y + s cos y) ut = ∂u ∂x · ∂x ∂t + ∂u ∂y · ∂y ∂t = e x sin y · 2s + e x cos y · 1 =e x (2s sin y + cos y)
1.1.雨数 例2设z=f(x,)可微，=p(x)的导数(x),p"(x)存在，求z= f(亿，(x)关于x的一阶与二阶偏导数。 访问主页 解z=f(,p(x)是x的一元函数，所以 标题页 -f1+ dx Ox ay .g() 炒 第33页共340页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 33 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦2 ✗ z = f(x, y) ➀❻➜y = ϕ(x) ✛✓ê ϕ 0 (x), ϕ00(x) ⑧✸➜➛ z = f(x, ϕ(x)) ✬✉ x ✛➌✣❺✓✣➔✓ê✧ ✮ z = f(x, ϕ(x)) ➫ x ✛➌✄➻ê➜↕➧ dz dx = ∂f ∂x · 1 + ∂f ∂y · ϕ 0 (x)
1函数 再求导，有 dPz∂f +ya+0+0oa+6w 访问主页 =f2+2fg'(x)+f[o'(z)2+fo"(z) 标题页 这里，我们假定g=f。在今后计算性示常中，一还假定各个高阶偏 炒 导数都可交换次序，如fy=f,fy=fx等等。 第34页共340页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 34 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✷➛✓➜❦ d 2 z dx2 = ∂fx ∂x + ∂fx ∂y ϕ 0 (x) + [∂fy ∂x + ∂fy ∂y ϕ 0 (x)]ϕ 0 (x) + fyϕ 00(x) =fx 2 + 2fxyϕ 0 (x) + fy 2[ϕ 0 (x)]2 + fyϕ 00(x) ù♣➜➲❶❜➼ fxy = fyx✧✸✽❖➂✺➠⑦➙➜➌❸❜➼❼❻♣✣➔ ✓êÑ➀✂❺❣❙➜❳ fxy = fyx, fxy4 = fy 2x ✤✤✧
53设u=f(2,)求00r au Bu 82u 11.雨数 我们可把此函数看作复合函数 u=f,店5=x2y,刀= 访问主页 标题页 于是按上述求导公式，则有 炒 Ou you ou of ou-2TUT 0x0'0aon 0a 十 第35页共340页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 35 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦3 ✗ u = f x 2 , y x ,➛ ∂u ∂x, ∂ 2u ∂x2 , ∂ 2u ∂x∂y. ➲❶➀r❞➻ê✇❾❊Ü➻ê u = f(ξ, η); ξ = x 2 y, η = y x ✉➫❯þã➛✓ú➟➜❑❦ ∂u ∂x = ∂u ∂ξ · ∂ξ ∂x + ∂u ∂η · ∂η ∂x = 2xy ∂u ∂ξ − y x 2 ∂u ∂η
1函数 (因为器=2xy,2=-) 证在来求二阶偏导数 u 但在运算时个注意此时 0u0u都是，n的函 访问主页 0e'0n 标则吸 数，从而也是x,y的复合函数，故而对它们求导时须重复应顺复合函数 炒 的求导法则。 第36页共340贝 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 36 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Ï➃∂ξ ∂x = 2xy, ∂η ∂x = − y x 2 ②✸✺➛✓✣➔✓ê ∂ 2u ∂x2✧✂✸✩➂➒❻✺➾❞➒ ∂u ∂ξ , ∂u ∂η Ñ➫ ξ, η ✛➻ ê➜❧✌➃➫ x, y ✛❊Ü➻ê➜✙✌é➜❶➛✓➒▲➢❊❆❫❊Ü➻ê ✛➛✓④❑✧