我们有 u ou +2 「auaE u on a2∂ ∂E∂max 2you 9 1.1. 雨数 + x3 on au ag 02u × andgax on2 dx 访问主页 Ou 20 +2xy u y uT 2xy ag2 标题页 -x200m 炒 2y∂u y 02u y 82u x3on 22 2xy am∂5x2∂ξ∂m」 02u. yPu 第37页共340页 a∂2 x0n0ξTx4am2 返回 0u +2y0 2you 全屏显示 + z3om 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 37 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➲ ❶ ❦ ∂ 2 u ∂x 2 =2 y ∂u ∂ξ + 2xy ∂ 2 u ∂ξ 2 ∂ξ ∂x + ∂ 2 u ∂ξ∂η · ∂η ∂x + 2 yx3 ∂u ∂η − yx2 × ∂ 2 u ∂η∂ξ ∂ξ ∂x + ∂ 2 u ∂η 2 · ∂η ∂x =2 y ∂u ∂ξ + 2xy 2xy ∂ 2 u ∂ξ 2 − yx2 ∂ 2 u ∂ξ∂η + 2 yx3 ∂u ∂η − yx2 2xy ∂ 2 u ∂η∂ξ − yx2 ∂ 2 u ∂ξ∂η =4 x 2 y 2 ∂ 2 u ∂ξ 2 − 4 y 2x ∂ 2 u ∂η∂ξ + y 2 x 4 ∂ 2 u ∂η 2 + 2 y ∂u ∂ξ + 2 yx3 ∂u ∂η
同理，可求得 Pu =2x u 「aua 2u on 10u 8xoy E +2xy a∂2∂m 0∂m 8y x20n 1函数 y a2u05 u on x2 0naξay 0n2 ay] ou =2x +2xy .28u 102u 10u 访问主页 ∂s 02Tx∂0m x2∂m y [2 8u 1u] 标题页 x2 andg +xonp 炒 =2x3y1 2u 82u y Pu 0u10u 2 +y0m 230n2 +2x 05 x2 on 第38页共340页 返回 因为 加 =2 全屏显示 关闭 退出
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同时，我们在运算过程中，假定所出现的一切偏导数皆为连续的。 有时为了简便起见，常引用记号 fi= 0f(ξ，n) ∂s 1.1. 雨数 表示函数∫对第一个变元求偏导数，同样地有 ∂f(ξ，m) a2f(ξ，d an f地=00m 访问主页 标题页 等等，于是上例中求得的结果就可改写成 炒 Ou Ox -2-是 第39页共340页 Pu 0x2 =-层+ 兰层+2+月 返回 02u 全屏显示 8xay =2州+形-是+2xf月-月 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 39 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Ó➒➜➲❶✸✩➂▲➜➙➜❜➼↕Ñ②✛➌❷➔✓ê✛➃ë❨✛✧ ❦➒➃✡④❇å❸➜⑦Ú❫PÒ f 0 1 = ∂f(ξ, η) ∂ξ ▲➠➻ê f é✶➌❻❈✄➛➔✓ê➜Ó✘✴❦ f 0 2 = ∂f(ξ, η) ∂η , f00 12 = ∂ 2 f(ξ, η) ∂ξ∂η ✤✤➜✉➫þ⑦➙➛✚✛✭❏Ò➀❯✕↕ ∂u ∂x =2xyf0 1 − y x 2 f 0 2 ∂ 2u ∂x2 =4x 2 y 2 f 00 11 − 4 y 2 x 4 f 00 22 + y 2 x 4 f 00 22 + 2yf0 1 + 2y x 3 f 0 2 ∂ 2u ∂x∂y =2x 3 yf00 11 + yf00 12 − y x 3 f 00 22 + 2xf0 1 − 1 x 2 f 0 2
常4已考u=u(z,),在极坐标x=rcos0,y=rsin0变换下，证明 )+()'-()+()1 证明因为 ou ouox oudy ou Bu 三 -cos0+ Or OxOr sin0 ay∂r0 by Ou Oudx ay80 =-0 rsin+u r cos0 访问主页 标题页 所以， 炒 r2 \a0 第4和页共340贝 c0s0+ )+( 返回 r sin+ ay r cos0 ∂y 全屏显示 2 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 40 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦4 ➤⑧ u = u(x, y)➜✸✹❿■ x = r cos θ, y = r sin θ ❈❺❡➜②➨ ∂u ∂r2 + 1 r 2 ∂u ∂θ2 = ∂u ∂x2 + ∂u ∂y2 ②➨ Ï➃ ∂u ∂r = ∂u ∂x ∂x ∂r + ∂u ∂y ∂y ∂r = ∂u ∂x cos θ + ∂u ∂y sin θ ∂u ∂θ = ∂u ∂x ∂x ∂θ + ∂u ∂y ∂y ∂θ = − ∂u ∂xr sin θ + ∂u ∂y r cos θ ↕➧➜ ∂u ∂r2 + 1 r 2 ∂u ∂θ2 = ∂u ∂x cos θ + ∂u ∂y sin θ 2 + − ∂u ∂xr sin θ + ∂u ∂y r cos θ 2 = ∂u ∂x2 + ∂u ∂y2
若称再来看一若复合函数的全微分公式，上称我们已导出u=f(x,)的 全微分为 du =frdx +fydy 在复合函数u=∫(x,y); x=(s,t),y=(s,t)时就具有如若的形式： 雨数 ou ou du ds+ dt 0s Ot /0u0x Ou ds dt 访问主页 8y 8t ay ou /0x 标题页 s+ Ox dt ds+ ds+ dt ds Ox 8s 8t o u -dx+ dy O ay 第41页共340页 就是说它在形式上与x,y是自变量的情形一样，我们也经叫给一阶全微 返回 分的形式不变注。这是与一元函数的情形相类似的。 全屏显示 交须注意，在复合函数情形若，dzx,dy也是s,t的函数，因而高阶全微分 关闭 不具有形式不变注。 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 41 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❡→✷✺✇➌❡❊Ü➻ê✛✜❻➞ú➟➜þ→➲❶➤✓Ñ u = f(x, y) ✛ ✜❻➞➃ du = fxdx + fydy ✸❊Ü➻ê u = f(x, y); x = ϕ(s, t), y = ψ(s, t) ➒Òä❦❳❡✛✴➟➭ du = ∂u ∂sds + ∂u ∂t dt = ∂u ∂x · ∂x ∂s + ∂u ∂y · ∂y ∂s ds + ∂u ∂x · ∂x ∂t + ∂u ∂y · ∂y ∂t dt = ∂u ∂x ∂x ∂sds + ∂x ∂t dt ds + ∂u ∂y ∂y ∂sds + ∂y ∂t dt ds = ∂u ∂xdx + ∂u ∂y dy Ò➫❵➜✸✴➟þ❺ x, y ➫❣❈þ✛➐✴➌✘➜➲❶➃➨✗❽➌✣✜❻ ➞✛✴➟Ø❈✺✧ù➫❺➌✄➻ê✛➐✴❷❛q✛✧ ✂▲✺➾➜✸❊Ü➻ê➐✴❡➜dx, dy ➃➫ s, t ✛➻ê➜Ï✌♣✣✜❻➞ Øä❦✴➟Ø❈✺✧