§2.求复合函数偏导数的链式法则 我们来讨论多元函数复合函数的求导公式，对二元函数可导出如下的公 式。 1.1.雨数 设u=f(x,),而x,y又是自变量s,t的函数： x=p(s,t),y=v(x,y) 访问主页 此时，若 业&业在某点(s,)都存在，而f亿，)在相应于(s,) 标题页 t'0t 月s0s 的点(x,)可微，则成立公式： 炒 0u∂u∂x,auay at Ox at ay at 第27页共340页 ∂u_0uax1au.ay 返回 及 0t=0`0t+0%at 显示 关闭 这个公式称为求复合函数偏导数的链式法则。 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 27 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ § 2. ➛❊Ü➻ê➔✓ê✛ó➟④❑ ➲❶✺❄Øõ✄➻ê❊Ü➻ê✛➛✓ú➟➜é✓✄➻ê➀✓Ñ❳❡✛ú ➟✧ ✗ u = f(x, y) ➜✌ x ➜ y q➫❣❈þ s ➜ t ✛➻ê➭ x = ϕ(s, t), y = ψ(x, y) ❞➒➜❡ ∂x ∂t, ∂y ∂t ✾ ∂x ∂s , ∂y ∂s ✸✱✿ (s, t) Ñ⑧✸➜✌ f(x, y) ✸❷❆✉ (s, t) ✛✿ (x, y) ➀❻➜❑↕áú➟➭ ∂u ∂t = ∂u ∂x · ∂x ∂t + ∂u ∂y · ∂y ∂t ✾ ∂u ∂t = ∂u ∂x · ∂x ∂t + ∂u ∂y · ∂y ∂t ù❻ú➟→➃➛❊Ü➻ê➔✓ê✛ó➟④❑✧
我们来证明第一个公式。若给t以改变量△t,则相应地就有x及y的改 变量 △x=p(s,t+△t)-(s,t) △y=(s,t+△t)-(s,t) 访问主页 此于f(x,)可微，所以有 标题页 au△x+0y 炒 △u O +△y+o(V△r2+△) u0u△x+au△y1o(V△x2+△y2 第28页共340贝 0t-az△t0m△t △t 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 28 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➲❶✺②➨✶➌❻ú➟✧❡❽ t ➧❯❈þ ∆t➜❑❷❆✴Ò❦ x ✾ y ✛❯ ❈þ ∆x = ϕ(s, t + ∆t) − ϕ(s, t) ∆y = ψ(s, t + ∆t) − ψ(s, t) ❞✉ f(x, y) ➀❻➜↕➧❦ ∆u = ∂u ∂x∆x + ∂u ∂y∆y + o( p ∆x 2 + ∆y 2 ) ∂u ∂t = ∂u ∂x ∆x ∆t + ∂u ∂y ∆y ∆t + o( p ∆x 2 + ∆y 2 ) ∆t
由于x,y对t的连续性 因为 ry知在 t'0t ,因之，当△t一0时也有 △x→0，△y→0，从而 1.1.雨数 lim o(V△x2+△y) lim o(V△x2+△y △t △x2+△ V(a)+(a出)） 访问主页 △t-+0 △t→0 标题页 而这极限看然等于零，所以有 炒 ou 0uau∂z,auay ax at ay at 第29页共340页 完全类似地可以证明第二个等式。 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 29 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❞✉ x, y é t ✛ë❨✺ Ï➃ ∂x ∂t, ∂y ∂t⑧✸ ➜Ï❷➜✟ ∆t → 0 ➒➃❦ ∆x → 0➜ ∆y → 0➜❧✌ lim ∆t→0 o( p ∆x 2 + ∆y 2 ) ∆t = lim ∆t→0 o( p ∆x 2 + ∆y 2 ) p ∆x 2 + ∆y 2 s ∆x ∆t 2 + ∆y ∆t 2 ✌ù✹⑩✇✱✤✉✧➜↕➧❦ ∂u ∂t = lim ∆t→0 ∂u ∂t = ∂u ∂x · ∂x ∂t + ∂u ∂y · ∂y ∂t ✑✜❛q✴➀➧②➨✶✓❻✤➟✧
下面讲几个特殊情形。 若u=f(x,)它而x,y依赖于一个变量t它即 1函数 x=(t),y=v(t) 则有 au ou ox ou by 访问主页 Ot Ox Ot ay ot 再有它若x它！是自变量s,t的函数它而函数u随x,y而变化外还依赖于 标题页 t坨即 炒 u=f(x,y,t);x=(s,t), y=ψ(s,t) 第30页共340贝 那末它就有 Ou Ou Oz Ou.Dy+ i=0证·0t+000t 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 30 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❡→ù❆❻❆Ï➐✴✧ ❡ u = f(x, y)➜✌ x, y ➑✻✉➌❻❈þ t➜❂ x = ϕ(t), y = ψ(t) ❑❦ ∂u ∂t = ∂u ∂x · ∂x ∂t + ∂u ∂y · ∂y ∂t ✷❦➜❡ x➜y ➫❣❈þ s, t ✛➻ê➜✌➻ê u ➅ x, y ✌❈③✠❸➑✻✉ t➜❂ u = f(x, y, t); x = ϕ(s, t), y = ψ(s, t) ❅✧➜Ò❦ ∂u ∂t = ∂u ∂x · ∂x ∂t + ∂u ∂y · ∂y ∂t + ∂u ∂t
du 1.1.雨数 等趋右边的最后一项，我们有意识要把它写成 为的是免得它 与等趋左边的 混淆起来。因为右端的 是表示在函数u= Ot 访问主页 fz,y,t)中把x,y看作例数，对t求偏导数，而左端的 ou 是表示在 标题页 u=f(p(s,t),(s,t),t)中把s视为例数，对t求偏导数，二者切不可混 炒 淆。 至于计算复合函数的高阶偏导数，只要重复运用前面的运算法则就行。 第31页共340页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 31 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✤➟♠❃✛⑩➌➅➜➲❶❦➾↔❻r➜✕↕ ∂u ∂t ➜➃✛➫➑✚➜ ❺✤➟❺❃✛ ∂u ∂t ➲➔å✺✧Ï➃♠à✛ ∂u ∂t ➫▲➠✸➻ê u = f(x, y, t) ➙r x, y ✇❾⑦ê➜é t ➛➔✓ê➜✌❺à✛ ∂u ∂t ➫▲➠✸ u = f(ϕ(s, t), ψ(s, t), t) ➙r s ➚➃⑦ê➜é t ➛➔✓ê➜✓ö❷Ø➀➲ ➔✧ ➊✉❖➂❊Ü➻ê✛♣✣➔✓ê➜➄❻➢❊✩❫❝→✛✩➂④❑Ò✶✧