1函数 值得注意的是，这些函数关于x,y的两个二阶混合偏导数都相等，即 uy=r也就是说，这些函数的混合偏导数和先对x还是先对y求导的 顺序无关。但是，这个结论并不是对任意的函数都成立，例如，考虑下 访问主页 面的函数： 标题页 x2-y2 ,0=w2+2+≠0 炒 0 x=y=0 第22页共340页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 22 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❾✚✺➾✛➫➜ù✡➻ê✬✉ x, y ✛ü❻✓✣➲Ü➔✓êÑ❷✤➜❂ uxy = uyx ➃Ò➫❵➜ù✡➻ê✛➲Ü➔✓êÚ❦é x ❸➫❦é y ➛✓✛ ❫❙➹✬✧✂➫➜ù❻✭Ø➾Ø➫é❄➾✛➻êÑ↕á➜⑦❳➜⑧➘❡ →✛➻ê➭ f(x, y) = xy x 2 − y 2 x 2 + y 2 , x2 + y 2 6= 0 0, x = y = 0
由时 f(x,y) ,+r8 0, x=y=0 1.1. 雨数 x4+4z2y2-y f(x,) (2+2之，2+2≠0 0, x=y=0 访问主页 再从定义出发，可以求得 标题页 炒 fy(0,0)=-1,而fz(0,0)=1 两都并不相等。 第23页共340页 但可以证明，如果∫y及∫z在点(x,)都是连续的，则两者必相等。这 返回 就是下面的定理。 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 23 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❞➒ f(x, y) = x 4 + 4x 2 y 2 − y 4 (x 2 + y 2 ) 2 , x2 + y 2 6= 0 0, x = y = 0 f(x, y) = x 4 + 4x 2 y 2 − y 4 (x 2 + y 2 ) 2 , x2 + y 2 6= 0 0, x = y = 0 ✷❧➼➶Ñ✉➜➀➧➛✚ fxy(0, 0) = −1, ✌ fyx(0, 0) = 1 üÑ➾Ø❷✤✧ ✂➀➧②➨➜❳❏ fxy ✾ fyx ✸✿ (x, y) Ñ➫ë❨✛➜❑üö✼❷✤✧ù Ò➫❡→✛➼♥✧
定理若fy及f在点(c,)都连续，则 f(x,=f(x,) 1函数 证明作辅助函数 ④=p(x,y+△）-p(x,) 访问主页 标题页 而其中 p(z,)=f(x+△x,)-f(x, 炒 由于x是固定的，所以对y应用中值定理，有 ④=P(x,y+01△)△y 第24页共340页 =[f(z+△x,+01△)-f(x,y+01△y]△y(0<01<1) 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 24 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼♥ ❡ fxy ✾ fyx ✸✿ (x, y) Ñë❨➜❑ fxy(x, y) = fyx(x, y) ②➨❾✾Ï➻ê Φ = ϕ(x, y + ∆y) − ϕ(x, y) ✌Ù➙ ϕ(x, y) = f(x + ∆x, y) − f(x, y) ❞✉ x ➫✛➼✛➜↕➧é y ❆❫➙❾➼♥➜❦ Φ =ϕy(x, y + θ1∆y)∆y =[fy(x + ∆x, y + θ1∆y) − fy(x, y + θ1∆y)]∆y (0 < θ1 < 1)
对x再用一次中值定理，就有 ④=fz(x+02△x,y+01△)△x△y(0<01,02<1) 如果在上述过程中改变关于x及y的顺序，即先对x,再对y施行同样 的手续，可得 Φ=[f(x+△x,y+△y)-f(x+△x,y)] +[fa,y+△）-f(a,y川 访问主页 =f(x+03△x,y+04△△x△y(0<01<1) 标题页 于是有 炒 fz(x+02△x,y+0A△y）=f(x+0g△x,y+04△) 第25页共340页 此假设f红及fy皆为连续，在上式两边取极限△x一→0，△y→0即得 返回 全屏显示 f(x,）=fr(x, 关闭 退出 定理于是得证
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 25 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ é x ✷❫➌❣➙❾➼♥➜Ò❦ Φ = fyx(x + θ2∆x, y + θ1∆y)∆x∆y (0 < θ1, θ2 < 1) ❳❏✸þã▲➜➙❯❈✬✉ x ✾ y ✛❫❙➜❂❦é x ➜✷é y ➊✶Ó✘ ✛➹❨➜➀✚ Φ =[f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x + ∆x, y)] + [f(x, y + ∆y) − f(x, y)] =fxy(x + θ3∆x, y + θ4∆y)∆x∆y (0 < θ1 < 1) ✉➫❦ fyx(x + θ2∆x, y + θ1∆y) = fxy(x + θ3∆x, y + θ4∆y) ❞❜✗ fyx ✾ fxy ✛➃ë❨➜✸þ➟ü❃✒✹⑩ ∆x → 0, ∆y → 0 ❂✚ fxy(x, y) = fyx(x, y) ➼♥✉➫✚②✧
这一定理建立了多元函数的偏导数可交换求导次序的作据。同样地，若 f(x,)在点(x,)有直正n阶的连续偏导数，就可简写偏导数也 fou-= af 0XOy-X (0<k<n,0≤入≤) 不论求导数的顺序如何，只要对求导次，对求导次即可。 91.1. 前已定义了u=f(x,)的全微分，且有 du fr(x,y)dx+fu(x,y)dy 访问主页 由此，我们可以定义高阶全微分，二阶全微分定义也一阶全微分的微 标题页 分，记也dPu,即 “炒 d2 =d(du)=d(frdx]+dfydy] 第26页共340贝 =frdx2+2frydxdy fpdy 返回 用数学归纳法可以推得 全屏显示 关闭 u=dw-=∑ca k=0 n Ozn-kOyk 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 26 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ù➌➼♥ïá✡õ✄➻ê✛➔✓ê➀✂❺➛✓❣❙✛❾â✧Ó✘✴➜❡ f(x, y) ✸✿ (x, y) ❦❺✔ n ✣✛ë❨➔✓ê➜Ò➀④✕➔✓ê➃ fx λy k−λ = ∂ k f ∂xλ∂yk−λ (0 < k < n, 0 ≤ λ ≤ k) ØØ➛✓ê✛❫❙❳Û➜➄❻é➛✓❣➜é➛✓❣❂➀✧ ❝➤➼➶✡ u = f(x, y) ✛✜❻➞➜❹❦ du = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy ❞❞➜➲❶➀➧➼➶♣✣✜❻➞➜✓✣✜❻➞➼➶➃➌✣✜❻➞✛❻ ➞➜P➃ d 2u ➜❂ d 2 =d(du) = d[fxdx] + d[fydy] =fx 2dx2 + 2fxydxdy + fy 2dy2 ❫ê➷✽❇④➀➧í✚ d nu = d(d n−1u) = X n k=0 C k n ∂ n f ∂xn−k∂yk dxn−k dyk