于是 △u=f(x,y)△x+f,(x,y)△g+B△x+a△y 1.1.雨数 而△x→0，△y→0时， B△x+a△y 访问主页 V△x2+△y2 标题页 由定义可知，这就证明了f(红，)在点(x,)可微。 炒 这个定理说明，我们如果求得一个函数的偏导数，且它们连续（对于一 般初等函数，这是较易知道的)，从而也就可知此函数可微，并且即可 第17页共30页 写出其微分。 返回 显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 17 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✉➫ ∆u = fx(x, y)∆x + fy(x, y)∆y + β∆x + α∆y ✌ ∆x → 0, ∆y → 0 ➒➜ β∆x + α∆y p ∆x 2 + ∆y 2 ❞➼➶➀⑧➜ùÒ②➨✡ f(x, y) ✸✿ (x, y) ➀❻✧ ù❻➼♥❵➨➜➲❶❳❏➛✚➌❻➻ê✛➔✓ê➜❹➜❶ë❨↔é✉➌ ❸Ð✤➻ê➜ù➫✖➫⑧✗✛↕➜❧✌➃Ò➀⑧❞➻ê➀❻➜➾❹❂➀ ✕ÑÙ❻➞✧
例4设u=s2y+xy2则有 du =2xydx +x2dy +y'dx +2xydy =(2xy +y2)dx +(x2+2xy)dy 1函数 例5写出f(x,y,z)=er+2sin(x+)的全微分。 这时它f=er+sin(x+)+cos(x+y] 访问主页 标题页 fy ex+:cos(+y),f:=et+:sin(+y) 炒 于是 第18页共340页 df =ex+=[sin(x+y)+cos(x+y)]da 返回 +ex+=cos(x +y)dy e*+z sin(x+y)dz 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 18 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦4 ✗ u = s 2 y + xy2 ❑❦ du =2xydx + x 2 dy + y 2 dx + 2xydy =(2xy + y 2 )dx + (x 2 + 2xy)dy ⑦5 ✕Ñ f(x, y, z) = e x+z sin(x + y) ✛✜❻➞✧ ù➒➜ fx = e x+z [sin(x + y) + cos(x + y)] fy = e x+z cos(x + y), fz = e x+z sin(x + y) ✉➫ df =e x+z [sin(x + y) + cos(x + y)]dx + e x+z cos(x + y)dy + e x+z sin(x + y)dz
理、高阶偏导数与高阶全微分 类似于一元函数，可以定义高阶偏导数，就二元函数 1.1.雨数 u=f(z,y) 访问主页 来说，∫(x,)及f,(c,)仍是x,y的二元函数，还可以讨论它们关于x 标题页 或y的偏导数，这些就称为函数f(x,)的二阶偏导数。 例如。关于再求偏号数，即一就称为任，)》关于，的=阶 炒 OxOx 偏导数，记为或。、也可记为和· 第19页共340页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 19 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ♥✦♣✣➔✓ê❺♣✣✜❻➞ ❛q✉➌✄➻ê➜➀➧➼➶♣✣➔✓ê➜Ò✓✄➻ê u = f(x, y) ✺❵➜ fx(x, y) ✾ fy(x, y) ❊➫ x, y ✛✓✄➻ê➜❸➀➧❄Ø➜❶✬✉ x ➼ y ✛➔✓ê➜ù✡Ò→➃➻ê f(x, y) ✛✓✣➔✓ê✧ ⑦❳➜ ∂u ∂x ✬✉ x ✷➛➔✓ê➜❂ ∂ ∂x( ∂u ∂x) Ò→➃ f(x, y) ✬✉ x ✛✓✣ ➔✓ê➜P➃ ∂ 2u ∂x2 ➼ fxx ➜➃➀P➃ fx 2 ✧
相仿地，还有： a(fz) 或记为 u fn= ay 8y8x a(fu) 02u 函 fyz= 或记为 Ox ax∂y 82u ∫w= ∂f) 或记为 0y2 也可记为f2 访问主页 同样同，还可以定义更高阶的偏导数，如 标题页 炒 03u fr= a(f2) 或记为 8x 0x3 fue=afirr) 第20页共340页 03u 0x 或记为 0x20y 返回 等等。 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 20 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❷ ➉ ✴ ➜ ❸ ❦ ➭ fxy = ∂ ( fx ) ∂y , ➼ P ➃ ∂ 2 u ∂y∂x fyx = ∂ ( fy ) ∂x , ➼ P ➃ ∂ 2 u ∂x∂y fyy = ∂ ( fy ) ∂y , ➼ P ➃ ∂ 2 u ∂y 2 , ➃ ➀ P ➃ fy 2 Ó ✘ Ó ➜ ❸ ➀ ➧ ➼ ➶➁♣ ✣ ✛ ➔ ✓ ê ➜ ❳ fx 2 = ∂ ( fx 2 ) ∂x , ➼ P ➃ ∂ 3 u ∂x 3 fyx 2 = ∂ ( fy x ) ∂x , ➼ P ➃ ∂ 3 u ∂x 2∂y ✤✤ ✧
例6设(1)u(z,)=xy,(2)u(x,)=xe'siny求二阶偏导数。 解 1.1. 函数 (1)ur =y;uzr =0,ury=1 uy =x,uye =1,uwy =0 (2)ur =e"siny+xe*siny=(x+1)e*siny 访问主页 urr =(x+1+1)e"siny=(x+2)e"siny 标题页 炒 ury =(+1)e*cosy uy =xet cosy 第21页共340页 uyx =(x+1)e cosy 返回 uwy =-te*siny 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 21 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦6 ✗(1) u(x, y) = xy ➜(2) u(x, y) = xex sin y ➛✓✣➔✓ê✧ ✮ (1)ux =y, uxx = 0, uxy = 1 uy =x, uyx = 1, uyy = 0 (2)ux =e x sin y + xex sin y = (x + 1)e x sin y uxx =(x + 1 + 1)e x sin y = (x + 2)e x sin y uxy =(x + 1)e x cos y uy =xex cos y uyx =(x + 1)e x cos y uyy = − xex sin y