若f(x,)在点（亿，可微，则有 f.(c,y)）=lim f(x+△x,)-f(x,) △x→0 △x 1函数 A△x+o(V△x2) lim 二A △x-→0 △x 这就是说在点（亿，）可微，则fz存在且等于A.完全一样地可以证明此时 访问主页 f,也存在且等于B,故有 标题页 州 du=f△x+fy△y 前已指出自变量的改变量等于自变量的微分，因之上式可写为 第12页共340贝 返回 du=f(x,）dr+f(x,y)dy 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 12 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❡ f(x, y) ✸✿ (x, y) ➀❻➜❑❦ fx(x, y) = lim ∆x→0 f(x + ∆x, y) − f(x, y) ∆x = lim ∆x→0 A∆x + o( √ ∆x 2 ) ∆x = A ùÒ➫❵✸✿ (x, y) ➀❻➜❑ fx ⑧✸❹✤✉ A .✑✜➌✘✴➀➧②➨❞➒ fy ➃⑧✸❹✤✉ B ➜✙❦ du = fx∆x + fy∆y ❝➤➁Ñ❣❈þ✛❯❈þ✤✉❣❈þ✛❻➞➜Ï❷þ➟➀✕➃ du = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy
》11.函数 在这里，dr,d过示任意的量，并不依赖于x和y,因由du实质上是依 赖于x,y,dx和dy这四个变量的。 访问主页 对n元函数u=f(x1,x2,·,xn)来说，相应的公式是 标题页 Ou ou du= 炒 0x1 dx2+.+ u din 0Tn 第13页共340页 返回 狂显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 13 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✸ù♣➜ dx, dy ▲➠❄➾✛þ➜➾Ø➑✻✉ x Ú y ➜Ï❞ du ➣➓þ➫➑ ✻✉ x, y, dx Ú dy ù♦❻❈þ✛✧ é n ✄➻ê u = f(x1, x2, · · · , xn) ✺❵➜❷❆✛ú➟➫ du = ∂u ∂x1 dx1 + ∂u ∂x2 dx2 + · · · + ∂u ∂xn dxn
以上说明若函数在一点可微，则在该点也一或存在偏导数。对一元函数 而言，我们知道反过来也是正确的，即可导必可微。但对二元函数就不 尽然，例如，设 f(, x2+222+2≠0 0, x=y=0 前已求出f(0,0)=0,f,(0,0)=0. 访问主页 此时 标题页 州 △u-du=[f(△x,△)）-f(0,0)】 -U.0,0)△x+f,0,0)A=△+Ag △x△y 第14页共340页 返回 但lim△x-不存在，故函数f(x,y)在(0,0)点不可微。由此可见，对一元 -0 全屏显示 函数而言，可微与可导是同一回事；而对多元函数来说，偏导数存在不 关闭 一或可微。但是，在一或条件下，偏导数与可微性之间有密切联系，这 退出 就是下面的或理所指出的
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 14 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➧þ❵➨❡➻ê✸➌✿➀❻➜❑✸❚✿➃➌➼⑧✸➔✓ê✧é➌✄➻ê ✌ó➜➲❶⑧✗❻▲✺➃➫✔✭✛➜❂➀✓✼➀❻✧✂é✓✄➻êÒØ ➛✱➜⑦❳➜✗ f(x, y) = xy x 2 + y 2 , x2 + y 2 6= 0 0, x = y = 0 ❝➤➛Ñ fx(0, 0) = 0 , fy(0, 0) = 0 . ❞➒ ∆u − du =[f(∆x, ∆y) − f(0, 0)] − [fx(0, 0)∆x + fy(0, 0)∆y] = ∆x∆y ∆x 2 + ∆y 2 ✂ lim ∆x→0 ∆y→0 Ø⑧✸➜✙➻ê f(x, y) ✸ (0, 0) ✿Ø➀❻✧❞❞➀❸➜é➌✄ ➻ê✌ó➜➀❻❺➀✓➫Ó➌↔➥➯✌éõ✄➻ê✺❵➜➔✓ê⑧✸Ø ➌➼➀❻✧✂➫➜✸➌➼❫❻❡➜➔✓ê❺➀❻✺❷♠❦➋❷é❳➜ù Ò➫❡→✛➼♥↕➁Ñ✛✧
定理若f(x,)及f,(x,)在及其某一邻域内存在，且在这一点它们都连 1.1.雨数 续，则函数u=(工，)在该点可微。 证明我们把△u写成如下形式： 访问主页 △u=f(x+△x,y+△)-f(x,) 标题页 =[f(x+△x,y+△)-f(x+△x,川 炒 +[f(x+△x,)-f(x,] 第15页共340页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 15 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼♥❡ fx(x, y) ✾ fy(x, y) ✸✾Ù✱➌✙➁❙⑧✸➜❹✸ù➌✿➜❶Ñë ❨➜❑➻ê u = f(x, y) ✸❚✿➀❻✧ ②➨ ➲❶r ∆u ✕↕❳❡✴➟: ∆u =f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y) =[f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x + ∆x, y)] + [f(x + ∆x, y) − f(x, y)]
由于假设fz及f皆存在，所以当△x,△y充分小时，可以把中值定理分 别应用于每一个差，就有 1.1雨数 △u=f,(x+△x,y+01△y)△y+f(x+2△x,y)△x 0<091,02<1 访问主页 又由假设f及f,皆在点(c,)连续，因而有 标题页 州 f(x+△x,y+91△y)=f(x,)+a fr(x+02Ax,y)=fr(I,y)+B 第16页共340页 返回 且△x→0，△y→0时，α，B出趋于零。 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 16 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❞✉❜✗ fx ✾ fy ✛⑧✸➜↕➧✟ ∆x, ∆y ➾➞✂➒➜➀➧r➙❾➼♥➞ ❖❆❫✉③➌❻☛➜Ò❦ ∆u = fy(x + ∆x, y + θ1∆y)∆y + fx(x + θ2∆x, y)∆x 0 < θ1, θ2 < 1 q❞❜✗ fx ✾ fy ✛✸✿ (x, y) ë❨➜Ï✌❦ fy(x + ∆x, y + θ1∆y) = fy(x, y) + α fx(x + θ2∆x, y) = fx(x, y) + β ❹ ∆x → 0, ∆y → 0 ➒, α, β Ñ➟✉✧✧