二向应力状态分析-解析法 cos a=-(1+cos 2a) 利用三角函数公式 sin"a=-(1-cos2a) 2 Sin a cos a= sin 2a 并注意到剪应力互等定理τx=τx化简得 o=(o +o)+-(or-oucos2a-Tr sin 2a 20x-o)sin 2a+ t cos 2a
利用三角函数公式 cos (1 cos2) 2 2 1 sin (1 cos2) 2 2 1 2sin cos sin 2 { 并注意到剪应力互等定理 yx xy 化简得 2 2 2 1 2 1 ( x y ) ( x y ) cos xy sin 2 2 2 1 ( )sin cos x y xy 二向应力状态分析-解析法
二向应力状态分析-解析法 2.正负号规则 正应力:拉为正;压为负 x切应力:使微元顺时针方向转 动为正;反之为负。 n a角:由x轴正向逆时针转到斜 截面外法线时为正;反之为负。 y
2.正负号规则 正应力：拉为正；压为负 切应力：使微元顺时针方向转 动为正；反之为负。 α角：由x 轴正向逆时针转到斜 截面外法线时为正；反之为负。 y a a xy α n t x yx x 二向应力状态分析-解析法 x y x y yx xy
二向应力状态分析-解析法 3.正应力极值和方向 确定正应力极值 (o +o)+-(o-o)cos 2a-Tr sin 2a a=-(o-O sin 2a-2Tm cos 2a C 设α=∞0时,上式值为零,即 (o-O,sin 2do-2Tr cos 2ao=0 sin 2ao+Tn cos 2ao =-2Ta=0 2 即a=∞0时,切应力为零τa=2 (o-O,sin 2a+T cos 2a
2 2 2 1 2 1 ( x y ) ( x y ) cos xy sin 确定正应力极值 ( )sin 2 2 cos2 x y xy d d 设α＝α0 时，上式值为零，即 2 2 2 0 ( x y )sin 0 xy cos 0 3. 正应力极值和方向 0 0 0 ( ) 2 sin 2 cos2 2 0 2 x y xy 即α＝α0 时，切应力为零 二向应力状态分析-解析法 2 2 2 1 ( )sin cos x y xy
二向应力状态分析-解析法 (o -O sin 2ao-2Iry cos 20o=0- tan 2ao 由上式可以确定出两个相互垂直的平面,分别为最大正应 力和最小正应力(主应力)所在平面。 所以,最大和最小正应力分别为: 0 +O )+4z max O,1 σ,)+4z mIn 2 主应力按代数值排序:a1≥02≥03
x y xy 2 2 0 tan 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应 力和最小正应力（主应力）所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为： 2 2 4 2 1 2 x y xy x y max 2 2 4 2 1 2 x y xy x y min 主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3 二向应力状态分析-解析法 0 1 3 2 2 2 0 ( x y )sin 0 xy cos 0
二向应力状态分析-解析法 4.切应力极值和方向 用类似的方法确定切应力极值 dt a=(or-ovcos 2a-2Tr Sin 2a C 设α=α1时,上式值为零,则α1所确定的斜截面上,切应力出现 最大或最小值,即 (o-o,sin 2a,-2T, cos 2a,=0> tan 2a, 2T 其中 y+t 2 tan 2a.= tan 2a T 2c,=2a+ min do 2
二向应力状态分析-解析法 用类似的方法确定切应力极值 4. 切应力极值和方向 ( )cos 2 2 sin 2 x y xy d d 设α＝α1 时，上式值为零，则α1所确定的斜截面上，切应力出现 最大或最小值，即 1 1 ( )sin 2 2 cos 2 0 x y xy 1 tan 2 2 x y xy 2 2 max 2 x y xy 2 2 min 2 x y xy 0 1 1 tan 2 tan 2 其中 1 0 2 2 2 1 0 4