分析:二次三项式x2-(a+b)x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成,常数项ab是由-a·(-b)而成的, 而一次项是由-a·x+(-b·x)交叉相乘而成的.根据上面的分析,我们可以对上面的三题分解因式 五、归纳小结 本节课要掌握 (1)用因式分解法,即用提取公因式法、·十字相乘法等解一元二次方程及其应用 (2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,·再分别使各一次因式等于 六、布置作业 教材复习巩固5综合运用8、10拓广探索11 第9课时 元二次方程的解法复习课 教学内容习题课 教学目标 能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点。会根据不同的方程特点选用恰当的方法,是解 题过程简单合理,通过揭示各种解法的本质联系,渗透降次化归的思想方法 重难点关键 1.重点:会根据不同的方程特点选用恰当的方法,是解题过程简单合理 2.难点:通过揭示各种解法的本质联系,渗透降次化归的思想 教学过程 1.用不同的方法解一元二次方程3x2-5x-2=0(配方法,公式法,因式分解发) 教师点评:三种不同的解法体现了同样的解题思路一一把一元二次方程“降次”转化为一元一次方程求 2把下列方程的最简洁法选填在括号内。 (A)直接开平方法(B)配方法(C)公式法(D)因式分解法 (1)7x-3=2x2()(2)4(9x-1)2=25()(3)(x+2)(x-1)=20 (4)4x2+7x=2()(5)2(0.2t3)2-12.5=0()(6)x2+2√2x-40() 说明:一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法,若没有特殊说明一般不采用配方法。其 中,公式法是一般方法,适用于解所有的一元二次方程,因式分解法是特殊方法,在解符合方程左边易 因式分解,右边为0的特点的一元二次方程时,非常简便 3.将下列方程化成一般形式,在选择恰当的方法求解。 (1)3x2=x+4(2)(2x+1)(4x-2)=(2x-1)2+2(3)(x+3)(x-4)=-6(4)(x+1)2-2(x-1)2=6x-5 说明:将一元二次方程化成一般形式不仅是解一元二次方程的基本技能,而节能为揭发的选择提供基础。 4.阅读材料,解答问题: 材料:为解方程(x2-1)2-5(x2-1)2+4=0,我们可以视(x2-1)为一个整体,然后设x2-1=y,原方程可化为y 2-5y+4=00.解得y=1,y2=4。当y=1时,x2-1=1即x2,x=±2.当y=时,x2-1=14即x2=5,x=±√5 原方程的解为x=√,x=√2,x=√5 x4=-√5 解答问题:(1)填空:在由原方程得到①的过程中利用 法,达到了降次的目的,体现 的 数学思想。(2)解方程x4-x2-6=0 5.小结(1)说说你对解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的认识 (消元、降次、化归的思想) (2)三种方法(配方法、公式法、因式分解法)的联系与区别 联系①降次,即它的解题的基本思想是:将二次方程化为一次方程,即降次 ②公式法是由配方法推导而得到. ③配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法适用于某些一元二次方程 区别:①配方法要先配方,再开方求根 ②公式法直接利用公式求根 ③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,·再分别使各一次因式等于0 作业P5s复习题221. 21.24一元二次方程根与系数的关系 【教学设计总意图】:本课是一节公式定理的新知课第一课时,曾在旧版的教材中占据很重要的位置,不但在 中考中体现,延伸到高中的数学教学也有广泛的应用.本册教材又将曾一度删去的内容恢复,可见根系关系 的重要.它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路.但本课毕竟是第 课时,让学生体会公式基本内容,在头脑中形成积极印象很关键.所以从绝大多数同学掌握的知识程度出发
11 分析：二次三项式 x 2 -（a+b）x+ab 的最大特点是 x 2 项是由 x·x 而成，常数项 ab 是由-a·（-b）而成的， 而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式． 五、归纳小结 本节课要掌握： （1）用因式分解法，即用提取公因式法、•十字相乘法等解一元二次方程及其应用． （2）因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0，•再分别使各一次因式等于 0． 六、布置作业 教材 复习巩固 5 综合运用 8、10 拓广探索 11． 第 9 课时 一元二次方程的解法复习课 教学内容 习题课 教学目标 能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点。会根据不同的方程特点选用恰当的方法，是解 题过程简单合理，通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想方法。 重难点关键 1． 重点：会根据不同的方程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理。 2． 难点：通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想。 教学过程 1．用不同的方法解一元二次方程 3 x 2 -5x-2=0(配方法，公式法，因式分解发) 教师点评：三种不同的解法体现了同样的解题思路——把一元二次方程“降次”转化为一元一次方程求 解。 2 把下列方程的最简洁法选填在括号内。 (A)直接开平方法 (B) 配方法 (C) 公式法 (D)因式分解法 （1）7x-3=2 x 2 ( ) (2)4(9x-1) 2 =25 ( ) (3)(x+2)(x-1)=20 ( ) (4) 4x2 +7x=2 ( ) (5)2(0.2t+3) 2 -12.5=0 ( ) (6) x2 +2 2 x-4=0 ( ) 说明:一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法。其 中，公式法是一般方法，适用于解所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易 因式分解，右边为 0 的特点的一元二次方程时，非常简便。 3． 将下列方程化成一般形式，在选择恰当的方法求解。 (1)3x 2 =x+4 (2)(2x+1)(4x-2)=(2x-1) 2 +2 (3)(x+3)(x-4)=-6（4）(x+1) 2 -2(x-1) 2 =6x-5 说明：将一元二次方程化成一般形式不仅是解一元二次方程的基本技能，而节能为揭发的选择提供基础。 4.阅读材料，解答问题： 材料：为解方程(x 2 -1) 2 -5(x 2 -1) 2 +4=0,我们可以视（x 2 -1）为一个整体，然后设 x 2 -1=y,原方程可化为 y 2 -5y+4=0①.解得 y1=1,y2=4。当 y1=1 时，x 2 -1=1 即 x 2 =2，x=± 2 .当 y2=4 时，x 2 -1=4 即 x 2 =5, x=±√5。 原方程的解为 x1= 2 ,x2=- 2 ,x3=√5, x4=-√5 解答问题：（1）填空：在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到了降次的目的，体现_______的 数学思想。（2）解方程 x 4—x 2—6=0. 5.小结(1)说说你对解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的认识 (消元、降次、化归的思想) (2)三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别： 联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次． ②公式法是由配方法推导而得到． ③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程． 区别：①配方法要先配方，再开方求根． ②公式法直接利用公式求根． ③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0，•再分别使各一次因式等于 0． 作业 P58 复习题 22 1. 21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 【教学设计总意图】：本课是一节公式定理的新知课第一课时，曾在旧版的教材中占据很重要的位置，不但在 中考中体现，延伸到高中的数学教学也有广泛的应用. 本册教材又将曾一度删去的内容恢复，可见根系关系 的重要.它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路.但本课毕竟是第一 课时，让学生体会公式基本内容，在头脑中形成积极印象很关键. 所以从绝大多数同学掌握的知识程度出发
针对本班学生的特点,本课在(a≠0,b2-4ac≥0)的前提条件下设计,所有的一元二次方程均有解 教学目标:1、理解根系关系的推导过程: 2、掌握不解方程,应用根系关系解题的方法; 3、体会从特殊到一般,再有一般到特殊的推导思路 教学重点:应用根系关系解决问题 教学难点:根系关系的推导过程 教学流程:引入新知,推导新知,巩固新知,应用新知, 教学过程 、前2天悄悄地听到咱班的郑帅和董沐青的一段对话,内容如下 郑:我说董沐青,我有一个秘密,你想听吗? 董:什么秘密? 郑:你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗? 董:哦? 郑:呵呵,这绝对是个秘密,我不能直接告诉你,我这么说吧:她的年龄啊是方程x2-12x+35=0的 两根的积,回去你把2根求出来就知道了 董:咳,你难不住我,我不用求根就已经知道答案了,而且我还告诉你,张老师的年龄啊还是方程x2-35x -200=0的2根的和呢 郑:哈哈,你太有才了。对了,咱们应该也让同学猜一猜,不解方程,能不能求出张老师的年龄 【设计意图】创设一个情境:学生自我娱乐的同时自我探讨数学知识,本班学生活跃,他们自己在平时也会开 些类似的玩笑.希望这一次能够激起班级进一步学习数学的兴趣 、求出下列方程的2根,计算2根和与2根积的值,并猜想2根和、2根积与一元二次方程各项系数之间 的关系 元二次方程 (1) x-5x+6=0 3x+1=0 (3) 3x2+x-2=0 21223 532 612 2 【设计意图】二次项系数为1有1题;二次项系数不为1有2题,系数性质符号各有不同.让学生尽量体会与 猜想2根和、2根积与系数之间的关系 三、引导学生独立证明 x1和x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0) x+X2a,X1x2=C注意:负号不能漏写 【设计意图】学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上,可以最快速度说出x和x2的值,接下来将字 母系数表示的x1和x2的值代入相应的代数式x1+x2和x1x2得出根系关系的结论,凭借学生自己的现有能力 可以解决证明过程.还可以让学生体会,数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的,数学中那一系列的字 母并不是高不可攀. 第一组习题:不解方程,求下列方程的2根和与2根积 3x+1=0 (3)2x2-3x=0 【设计意图】新知产生后,直接应用新知是学生的模仿阶段,也是本课教学最基本的知识目标,这时需要强 化记忆,除设计第1组习题外还设计板书例题和第2组习题.第一组习题小评时,可引导学生发现应用根系关 系解决2根和与2根积的问题不需求出复杂的2根,同时渗透着整体代入的数学方法,为例2巩固知识奠定 基础
12 针对本班学生的特点，本课在(a≠0 , b2 –4ac≥0)的前提条件下设计，所有的一元二次方程均有解. 教学目标：1、理解根系关系的推导过程； 2、掌握不解方程，应用根系关系解题的方法； 3、体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路 教学重点：应用根系关系解决问题； 教学难点：根系关系的推导过程 教学流程：引入新知，推导新知，巩固新知，应用新知， 教学过程： 一、 前 2 天悄悄地听到咱班的郑帅和董沐青的一段对话，内容如下： 郑：我说董沐青，我有一个秘密，你想听吗？ 董：什么秘密？ 郑：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？ 董：哦？ 郑：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程 x 2 – 12x +35 =0 的 两根的积，回去你把 2 根求出来就知道了. 董：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄啊还是方程 x 2 -35x -200=0 的 2 根的和呢. 郑：哈哈，你太有才了。对了，咱们应该也让同学猜一猜，不解方程，能不能求出张老师的年龄. 【设计意图】创设一个情境：学生自我娱乐的同时自我探讨数学知识,本班学生活跃，他们自己在平时也会开 一些类似的玩笑.希望这一次能够激起班级进一步学习数学的兴趣. 二、 求出下列方程的 2 根，计算 2 根和与 2 根积的值，并猜想 2 根和、2 根积与一元二次方程各项系数之间 的关系 序号 一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 （1） x 2 – 5x +6 =0 2 3 5 6 （2） 2x2 – 3x +1 =0 1 2 1 3 2 1 2 （3） 3x2 + x -2 =0 2 3 - 1 - 1 3 - 2 3 【设计意图】二次项系数为 1 有 1 题；二次项系数不为 1 有 2 题,系数性质符号各有不同.让学生尽量体会与 猜想 2 根和、2 根积与系数之间的关系. 三、 引导学生独立证明： x1 和 x2 是一元二次方程 ax 2 +bx +c =0 (a≠0 , b2 –4ac≥0) x1+x2 = - b a , x1x2 = c a 注意：负号不能漏写 【设计意图】学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上，可以最快速度说出 x1 和 x2 的值，接下来将字 母系数表示的 x1 和 x2 的值代入相应的代数式 x1+x2 和 x1x2 得出根系关系的结论，凭借学生自己的现有能力 可以解决证明过程.还可以让学生体会，数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中那一系列的字 母并不是高不可攀. 四、 应用 第一组习题：不解方程，求下列方程的 2 根和与 2 根积 （1） x 2 – 3x +1 =0 （2） 3x2 – 2x - 2=0 （3） 2x2 –3x =0 （4） 3x2 =1 【设计意图】新知产生后，直接应用新知是学生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标，这时需要强 化记忆，除设计第 1 组习题外还设计板书例题和第 2 组习题.第一组习题小评时，可引导学生发现应用根系关 系解决 2 根和与 2 根积的问题不需求出复杂的 2 根，同时渗透着整体代入的数学方法，为例 2 巩固知识奠定 基础
例2:已知 x1和x2是一元二次方程x2-4x+1=0的2根,求下列代数式的值 (1) (3)(x1-x2)2 学生练习:(1)+ (2)(x1+1)(x2+1) 【设计意图】本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容,也是研究根系关系应掌握的内容,还可以让学生 进一步体会整体代入的数学思想方法 五、本课小结 六、课后作业 第10课时21.3实际问题与一元二次方程(1) 教学内容 由“倍数关系”等问题建立数学模型,并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题. 教学目标 掌握用“倍数关系”建立数学模型,并利用它解决一些具体问题. 通过复习二元一次方程组等建立数学模型,并利用它解决实际问题,引入用“倍数关系”建立数学模型, 并利用它解决实际问题 重难点关键 1.重点:用“倍数关系”建立数学模型 2.难点与关键:用“倍数关系”建立数学模型 教学过程 、复习引入 生活动)问题1:列一元一次方程解应用题的步骤 ①审题,②设出未知数.③找等量关系.④列方程,⑤解方程,⑥答. 二、探索新知 上面这道题大家都做得很好,这是一种利用一元一次方程的数量关系建立的数学模型,那么还有没有利 用其它形式,也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢?请同学们完成下面问题 (学生活动)探究1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传 染了几个人? 分析:1第一轮传染_1+x第二轮传染后1+x+x(1+x) 解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮后共有」 人患 了流感,第二轮后共有 人患了流感. 列方程得 1+x+x(x+1)=121 x2+2x-120=0 解方程,得x1=-12 2=10 根据问题的实际意义,x=10 每轮传染中平均一个人传染了10个人 思考:按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?(121+121×10=1331) 通过对这个问题的探究,你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗? 后一轮被传染的人数前一轮患病人数的x倍)烈已于 四.巩固练习 1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数 是91,每个支干长出多少小分支? 解:设每个支干长出x个小分支, 则1+x+x.x=91即x2+x-90=0解得x1=9,x2=-10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出9个小分支 2.要组织一场篮球联赛,每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 五、归纳小结 本节课应掌握:
13 例 2：已知： x1 和 x2 是一元二次方程 x 2 -4x +1=0 的 2 根, 求下列代数式的值 （1） 1 x1 + 1 x2 （2）x1 2 + x2 2 （3）（x1 - x2）2 学生练习：（1） x2 x1 + x1 x2 （2）（x1+1）（x2+1） 【设计意图】 本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根系关系应掌握的内容，还可以让学生 进一步体会整体代入的数学思想方法 . 五、 本课小结： 六、 课后作业： 第 10 课时 21.3 实际问题与一元二次方程(1) 教学内容 由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题． 教学目标 掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题． 通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型， 并利用它解决实际问题． 重难点关键 1．重点：用“倍数关系”建立数学模型 2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型 教学过程 一、复习引入 （学生活动）问题 1：列一元一次方程解应用题的步骤？ ①审题，②设出未知数. ③找等量关系. ④列方程， ⑤解方程， ⑥答. 二、探索新知 上面这道题大家都做得很好，这是一种利用一元一次方程的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利 用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题． （学生活动）探究 1: 有一人患了流感,经过两轮传染后共有 121 人患了流感,每轮传染中平均一个人传 染了几个人? 分析: 1 第一轮传染 1+x 第二轮传染后 1+x+x(1+x) 解:设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人,则第一轮后共有 人患 了流感,第二轮后共有 人患了流感. 列方程得 1+x+x(x+1)=121 x 2 +2x-120=0 解方程,得 x1=-12, x2=10 根据问题的实际意义,x=10 答:每轮传染中平均一个人传染了 10 个人. 思考:按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感? (121+121×10=1331) 通过对这个问题的探究,你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗? （后一轮被传染的人数前一轮患病人数的 x 倍）烈已于 四.巩固练习. 1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数 是 91,每个支干长出多少小分支? 解:设每个支干长出 x 个小分支, 则 1+x+x.x=91 即 x2+x-90=0 解得 x1=9,x2=－10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出 9 个小分支. 2.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛 2 场,计划安排 90 场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 五、归纳小结 本节课应掌握：
1.利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型,并利用恰当方法解它 2.列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤(1)审(2)设(3)列(4)解(5)验—一检验方程的解 是否符合题意,将不符合题意的解舍去。(6)答 六、布置作业 1.教材P58复习题226 第11课时21.3实际问题与一元二次方程(2) 教学内容 建立一元二次方程的数学模型,解决增长率与降低率问题 教学目标 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题 重难点关键 1.重点:如何解决增长率与降低率问题。 2.难点与关键:解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)"=b,其中a是原有量,x增长(或降低)率,n为 增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量 教学过程 探究2两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步, 现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降 率较大 分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为 (60003600)÷2=1200(元) 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率 解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为 5000(1-x)2元,依题意得 5000(1-x)2=3000 解方程,得 ≈0.225x2≈1.775(不合题意,舍去) 答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5% 算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少?比较:两种药品成本的年平均下降率 (22.5%,相同) 思考:经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面 地比较对象的变化状况? (经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.) 小结:类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式 若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系 可表示为a(1±x)"=b(中增长取+,降低取一) 二巩固练习 (1)某林场现有木材a立方米,预计在今后两年内年平均增长p%,那么两年后该林场有木材多少立方 (2)某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨,通过优化管理,产量逐年上升,第一季度共生产化工 原料60万吨,设二、三月份平均增长的百分率相同,均为x,可列出方程为 (3)公司2001年的各项经营中,一月份的营业额为200万元,一月、·二月、三月的营业额共950万元,如果 平均每月营业额的增长率相同,求这个增长率 4.某种细菌,一个细菌经过两轮繁殖后,共有256个细菌,每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌? 三应用拓展 例2.某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得 利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利 分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x啊80% 第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其它依此类推 解:设这种存款方式的年利率为x 则:1000+2000x·80%+(1000+2000x·8%)x·80%=1320 整理,得:1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0
14 1. 利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它． 2. 列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（1）审（2）设（3）列（4）解（5）验——检验方程的解 是否符合题意，将不符合题意的解舍去。（6）答 六、布置作业 1．教材 P58 复习题 22 6 第 11 课时 21.3 实际问题与一元二次方程(2) 教学内容 建立一元二次方程的数学模型，解决增长率与降低率问题。 教学目标 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。 重难点关键 1．重点：如何解决增长率与降低率问题。 2．难点与关键：解决增长率与降低率问题的公式 a(1±x)n =b,其中 a 是原有量,x 增长（或降低）率,n 为 增长（或降低）的次数,b 为增长（或降低）后的量。 教学过程 探究 2 两年前生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元,生产1 吨乙种药品的成本是 6000 元,随着生产技术的进步, 现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元,生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，哪种药品成本的年平均下降 率较大? 分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)÷2=1200(元) 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率 解:设甲种药品成本的年平均下降率为 x,则一年后甲种药品成本为 5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为 5000(1-x)2 元,依题意得 5000（1-x）2 =3000 解方程,得 答:甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%. 算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 比较:两种药品成本的年平均下降率 (22.5%,相同) 思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 ?应怎样全面 地比较对象的变化状况? （经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.） 小结：类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式 若平均增长(或降低)百分率为 x,增长(或降低)前的是 a,增长(或降低)n 次后的量是 b,则它们的数量关系 可表示为 a(1±x)n =b(中增长取+,降低取－) 二巩固练习 （1）某林场现有木材 a 立方米，预计在今后两年内年平均增长 p%，那么两年后该林场有木材多少立方 米? （2）某化工厂今年一月份生产化工原料 15 万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工 原料 60 万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为 x，可列出方程为__________． (3)公司 2001 年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、•二月、三月的营业额共 950 万元，如果 平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 4. 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有 256 个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？ 三应用拓展 例 2．某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于购物，剩下的 1000 元及应得 利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共 1320 元，求这种存款方式的年利 率． 分析：设这种存款方式的年利率为 x，第一次存 2000 元取 1000 元，剩下的本金和利息是 1000+2000x·80%； 第二次存，本金就变为 1000+2000x·80%，其它依此类推． 解：设这种存款方式的年利率为 x 则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320 整理，得：1280x2 +800x+1600x=320，即 8x 2 +15x-2=0 x1 0.225, x2 1.775(不合题意,舍去)
解得:x1=2(不符,舍去),x2==0.125=12.5% 答:所求的年利率是12.5%. 四归纳小结 本节课应掌握:增长率与降低率问题 第12课时21.3实际问题与一元二次方程(3) 教学内容 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题 教学目标 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课,解决新课中的问题 重难点关键 1.·重点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题 难点与关键:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型 教具、学具准备 小黑板 教学过程 、复习引入 (一)通过上节课的学习,大家学到了哪些知识和方法? (二)上一节,我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”,现在,我们要学习解决“面积、体积问题 1.直角三角形的面积公式是什么?·一般三角形的面积公式是什么呢? 2.正方形的面积公式是什么呢?长方形的面积公式又是什么? 3.梯形的面积公式是什么? 4.菱形的面积公式是什么? 5.平行四边形的面积公式是什么 6.圆的面积公式是什么? (学生口答,老师点评) 、探索新知 现在,我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型,解决一些实际问题 例1.某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为1.6m,·上口宽比渠深多2m,渠 底比渠深多0.4m (1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少 (2)如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完? 分析:因为渠深最小,为了便于计算,不妨设渠深为xm,则上口宽为x+2,·渠底为x+0.4,那么,根据 梯形的面积公式便可建模. 解:(1)设渠深为xm 则渠底为(x+0.4)m,上口宽为(x+2)m 依题意,得:(x+2+x+0.4)x=1.6 整理,得:5x2+6x-8=0 解得:x1=-=0.8m,x2=2(舍) ∴上口宽为2.8m,渠底为1.2m. 1.6×750 (2) 485225天 答:渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m;需要25天才能挖完渠道. 学生活动:例2.如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,·正中央是一个与整个封面长宽 比例相同的矩形,·如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬 等宽,·应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)?
15 解得：x1=-2（不符，舍去），x2= 1 8 =0.125=12.5% 答：所求的年利率是 12．5%． 四归纳小结 本节课应掌握：增长率与降低率问题 第 12 课时 21.3 实际问题与一元二次方程(3) 教学内容 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题． 教学目标 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题． 重难点关键 1．•重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题． 2．•难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （一）通过上节课的学习，大家学到了哪些知识和方法？ （二）上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题。 1．直角三角形的面积公式是什么？•一般三角形的面积公式是什么呢？ 2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？ 3．梯形的面积公式是什么？ 4．菱形的面积公式是什么？ 5．平行四边形的面积公式是什么？ 6．圆的面积公式是什么？ （学生口答，老师点评） 二、探索新知 现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题． 例 1．某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m 2，•上口宽比渠深多 2m，渠 底比渠深多 0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土 48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为 xm，则上口宽为 x+2，•渠底为 x+0.4，那么，根据 梯形的面积公式便可建模． 解：（1）设渠深为 xm 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m 依题意，得： 1 2 （x+2+x+0.4）x=1.6 整理，得：5x2 +6x-8=0 解得：x1= 4 5 =0.8m，x2=-2（舍） ∴上口宽为 2.8m，渠底为 1.2m． （2） 1.6 750 48 =25 天 答：渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和 1.2m；需要 25 天才能挖完渠道． 学生活动：例 2．如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm，•正中央是一个与整个封面长宽 比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬 等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1cm）？