了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤. 通过复习上一节课的解题方法,给出配方法的概念,然后运用配方法解决一些具体题目 重难点关健 1.重点:讲清配方法的解题步骤 2.难点与关键:把常数项移到方程右边后,·两边加上的常数是一次项系数一半的平方 教具、学具准备 小黑板 教学过程 、复习引入 (学生活动)解下列方程 (1)x2-4x+7=0(2)2x2-8x+1=0 老师点评:我们上一节课,已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式,“不可以直接开方降次解方 程的转化问题,那么这两道题也可以用上面的方法进行解题 解:略.(2)与(1)有何关联? 二、探索新知 讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤 (1)现将已知方程化为一般形式:(2)化二次项系数为1:(3)常数项移到右边 (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式: (5)变形为(x+p)2=q的形式,如果q≥0,方程的根是x=-p±√q:如果q<0,方程无实根 例1.解下列方程 (1)2x2+1=3x(2)3x2-6x+4=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0 分析:我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全 解:略 三、巩固练习 教材P练习2.(3)、(4)、(5)、(6) 四、归纳小结 本节课应掌握 1.配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤 2.配方法是解一元二次方程的通法,它重要性,不仅仅表现在一元二次方程的解法中,也可通过配方, 利用非负数的性质判断代数式的正负性(如例3)在今后学习二次函数,到高中学习二次曲线时,还将经常 用到。 六、布置作业 1.教材P45复习巩固3.(3)(4) 补充:(1)已知x2+y2+2-2x+4y-6z+14=0,则求x+y+z的值 (2)求证:无论x、y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数 第6课时21.22公式法 教学内容 1.一元二次方程求根公式的推导过程 2.公式法的概念; 3.利用公式法解一元二次方程 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程. 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)·的求根公式的推导公式,并 应用公式法解一元二次方程 重难点关键 1.重点:求根公式的推导和公式法的应用 2.难点与关键:一元二次方程求根公式法的推导 教学过程 复习引入 1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”,比如,方程 (1)x2=4 (2)(x-2)2=7 提问1这种解法的(理论)依据是什么
6 了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目． 重难点关键 1．重点：讲清配方法的解题步骤． 2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （学生活动）解下列方程： （1）x 2 -4x+7=0 （2）2x 2 -8x+1=0 老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有 x 的完全平方形式，•不可以直接开方降次解方 程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题． 解：略. (2)与(1)有何关联? 二、探索新知 讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤： (1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为 1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； （5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果 q≥0，方程的根是 x=-p±√q；如果 q＜0,方程无实根． 例 1．解下列方程 （1）2x 2 +1=3x （2）3x 2 -6x+4=0 （3）（1+x） 2 +2（1+x）-4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有 x 的完全 平方． 解：略 三、巩固练习 教材 P 练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）． 四、归纳小结 本节课应掌握： 1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤． 2．配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方， 利用非负数的性质判断代数式的正负性（如例 3）在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常 用到。 六、布置作业 1.教材 P45 复习巩固 3．（3）（4） 补充：（1）已知 x 2 +y2 +z2 -2x+4y-6z+14=0，则求 x+y+z 的值 （2）求证：无论 x、y 取任何实数，多项式 x 2 +y2 -2x-4y+16 的值总是正数 第 6 课时 21.2.2 公式法 教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念； 3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程． 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax 2 +bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并 应用公式法解一元二次方程． 重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程 一、 复习引入 1． 前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程 （1）x 2 =4 (2)(x-2) 2 =7 提问 1 这种解法的（理论）依据是什么？
提问2这种解法的局限性是什么?(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效,不 能实施于一般形式的二次方程。) 2.面对这种局限性,怎么办?(使用配方法,把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的 形式。) (学生活动)用配方法解方程2x2+3=7x (老师点评)略 总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评) (1)现将已知方程化为一般形式:(2)化二次项系数为1:(3)常数项移到右边 (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式 (5)变形为(x+p)2=q的形式,如果q≥0,方程的根是x=p±√q:如果q<0,方程无实根 二、探索新知 用配方法解方程 (1)ax2-7x+3=0(2)ax2+bx+3=0 (3)如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根, 请同学独立完成下面这个问题 问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根x -b+ b2-4ac 4a (这个方程 一定有解吗?什么情况下有解?) 分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c·也当成一个具体数字,根据上面的解题 步骤就可以一直推下去 解:移项,得:ax2+bx= 次项系数化为1,得x2bc 配方,得:x2+bx+(b)=+(b) 4a2>0,4a2>0,当b-4ac≥0时-4ac 直接开平方,得:x+b=士 /b2 -b±√b2-4ac b-√b2-4ac 由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此: (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,·将a、b、c代入 b± 4ac 式子 就得到方程的根.(公式所出现的运算,恰好包括了所学过的六中运算,加、减、乘 除、乘方、开方,这体现了公式的统一性与和谐性。) (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式 (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 公式的理解 (4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根 例1.用公式法解下列方程 (1)2x-x-1=0(2)x2+1.5=-3x(3)x2-√2 (4)4x2-3x+2=0 分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可 补:(5)(x-2)(3x-5)=0 巩固练习 教材P2练习1.(1)、(3)、(5)或(2)、(4)、(6)
7 提问 2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不 能实施于一般形式的二次方程。） 2．面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的 形式。） （学生活动）用配方法解方程 2x 2 +3=7x （老师点评）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． (1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为 1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； （5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果 q≥0，方程的根是 x=-p±√q；如果 q＜0,方程无实根． 二、探索新知 用配方法解方程 （1） ax 2－7x+3 =0 (2)a x2 +bx+3=0 (3)如果这个一元二次方程是一般形式 ax 2 +bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根， 请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知 ax 2 +bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根 x1= 2 4 2 b b ac a − + − ，x2= 2 4 2 b b ac a − − − (这个方程 一定有解吗?什么情况下有解？) 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题 步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax 2 +bx=-c 二次项系数化为 1，得 x 2 + b a x=- c a 配方，得：x 2 + b a x+（ 2 b a ）2 =- c a +（ 2 b a ）2 即（x+ 2 b a ）2 = 2 2 4 4 b ac a − ∵4a2 >0，4a2＞0, 当 b 2 -4ac≥0 时 2 2 4 4 b ac a − ≥0 ∴（x+ 2 b a ） 2 =( 2 4 2 b ac a − ) 2 直接开平方，得：x+ 2 b a =± 2 4 2 b ac a − 即 x= 2 4 2 b b ac a − − ∴x1= 2 4 2 b b ac a − + − ，x2= 2 4 2 b b ac a − − − 由上可知，一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax 2 +bx+c=0，当 b 2 -4ac≥0 时，•将 a、b、c 代入 式子 x= 2 4 2 b b ac a − − 就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、 除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。) （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例 1．用公式法解下列方程． （1）2x 2 -x-1=0 （2）x 2 +1.5=-3x (3) x2 - 2 x+ 1 2 =0 （4）4x2 -3x+2=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 补:（5）（x-2）（3x-5）=0 三、巩固练习 教材 P42 练习 1．（1）、（3）、（5）或(2) 、(4) 、(6)
四、应用拓展 例2.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)x2+2+(m2)x-1=0提出了下列问题 (1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程. (2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出. 你能解决这个问题吗? 分析:能.(1)要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还要满足(m+1)≠0. 2)要使它为一元一次方程,必须满足 m2+1=1 ① 或② m2+1=0 m+1=0 或③ (m+1)+(m-2)≠0(m-2≠0m-2≠0 五、归纳小结 本节课应掌握 (1)求根公式的概念及其推导过程 (2)公式法的概念 (3)应用公式法解一元二次方程的步骤:1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a>0.2) 找出系数a,b,C,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac,若结果为负数,方程无解,4)若结果为非负数 代入求根公式,算出结果。 (4)初步了解一元二次方程根的情况 六、布置作业 教材复习巩固4 第7课时21.24判别一元二次方程根的情况 教学内容 用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况及其运用 教学目标 掌握b2-4ac>0,ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实根,反之也成立:b2-4ac=0,ax2+bx+c=0(a≠0)有 两个相等的实数根,反之也成立:b2-4ac<0,ax2+bx+c=0(a≠0)没实根,反之也成立:及其它们关系的运用 通过复习用配方法解一元二次方程的b-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题,·分析它们根的情况,从具 体到一般,给出三个结论并应用它们解决一些具体题目 重难点关键 1.重点:b2-4ac>0)一元二次方程有两个不相等的实根;b2-4ac=0)一元二次方程有两个相等的实数 b2-4ac<0一元二次方程没有实根 2.难点与关键 从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的b2-4ac的情况与根的情况的关系 教具、学具准备 小黑板 教学过程 、复习引入 (学生活动)用公式法解下列方程 (1)2x-3x=0(2)3x2-2√3x+1=0(3)4x+x+1=0 老师点评,(三位同学到黑板上作)老师只要点评(1)b2-4ac=9>0,·有两个不相等的实根:(2) b2-4ac=12-12=0,有两个相等的实根;(3)b2-4ac=|-4×4×1|=<0,·方程没有实根 、探索新知 方程 b2-4ac的值b-4ac的符号 x、x2的关系 (填相等、不等或不存在) 3x2-2√3x+1=0 4x2+x+1=0 请观察上表,结合b2-4ac的符号,归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想 从前面的具体问题,我们已经知道b2-4ac>0(<0,=0)与根的情况,现在我们从求根公式的角度来分 析
8 四、应用拓展 例 2．某数学兴趣小组对关于 x 的方程（m+1） 2 m 2 x + +（m-2）x-1=0 提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程 m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足 m 2 +1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ① 2 1 1 ( 1) ( 2) 0 m m m + = + + − 或② 2 1 0 2 0 m m + = − 或③ 1 0 2 0 m m + = − 五、归纳小结 本节课应掌握： （1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念； （3）应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让 a>0.2) 找出系数 a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算 b 2 -4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数， 代入求根公式，算出结果。 （4）初步了解一元二次方程根的情况． 六、布置作业 教材 复习巩固 4． 第 7 课时 21.2.4 判别一元二次方程根的情况 教学内容 用 b 2 -4ac 大于、等于 0、小于 0 判别 ax 2 +bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用． 教学目标 掌握 b 2 -4ac>0，ax 2 +bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b 2 -4ac=0，ax 2 +bx+c=0（a≠0）有 两个相等的实数根，反之也成立；b 2 -4ac<0，ax 2 +bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用． 通过复习用配方法解一元二次方程的 b 2 -4ac>0、b 2 -4ac=0、b 2 -4ac<0 各一题，•分析它们根的情况，从具 体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目． 重难点关键 1．重点：b 2 -4ac>0 一元二次方程有两个不相等的实根；b 2 -4ac=0 一元二次方程有两个相等的实数； b 2 -4ac<0 一元二次方程没有实根． 2．难点与关键 从具体题目来推出一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）的 b 2 -4ac 的情况与根的情况的关系． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （学生活动）用公式法解下列方程． （1）2x 2 -3x=0 （2）3x2 -2 3 x+1=0 （3）4x2 +x+1=0 老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b 2 -4ac=9>0，•有两个不相等的实根；（2） b 2 -4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b 2 -4ac=│-4×4×1│=<0，•方程没有实根. 二、探索新知 方程 b 2 -4ac 的值 b 2 -4ac 的符号 x1、x2 的关系 （填相等、不等或不存在） 2x 2 -3x=0 3x2 -2 3 x+1=0 4x2 +x+1=0 请观察上表，结合 b 2 -4ac 的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。 从前面的具体问题，我们已经知道 b 2 -4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分 析：
求根公式:x=-b±√62-4ac ,当b2-4ac>0时,根据平方根的意义,√b2-4ac等于一个具体数,所以 元一次方程的x==b+ √b2 -4ac 即有两个不相等的实根.当b2-4ac=0时,·根据 2 2 平方根的意义√2-4aC=0,所以xx=b,即有两个相等的实根:当-40(0时,根据平方根的意义,负 数没有平方根,所以没有实数解 因此,(结论)(1)当b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)·有两个不相等实数根即 4ac b-√6-4ac (2)当b-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+=0(a≠0)有两个相等实数根即xk2~b (3)当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根 例1.不解方程,判定方程根的情况 (1)16x2+8x=-3(2)9x2+6x+1=0 (3)2x2-9x+8=0(4)x2-7x-18=0 分析:不解方程,判定根的情况,只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0·的情况进行分析即可 解:(1)化为16x2+8x+3=0 这里a=16,b=8,c=3,b2-4ac=64-4×16×3=-128<0 所以,方程没有实数根 三、巩固练习 不解方程判定下列方程根的情况 (1)x2+10x+23=0 (4)4x2-x+=0 16 (5) 0(6)4x2-6x=0 (7)x(2x-4)=5-8x 四、应用拓展 例2.若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解,求ax+320的解集(用含a的式子表 分析:要求ax+3>0的解集,就是求ax>-3的解集,那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元 二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根,即(-2a)2-4(a-2)(a+1)<0就可求出a的取值范围 五、归纳小结 本节课应掌握: b2-4ac>0台一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根;b2-4ac=0←一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实根;b2-4ac<0<)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根及其它的 运用 六、布置作业 教材复习巩固6综合运用9拓广探索1、2. 第8课时21.2.3因式分解法 教学内容 用因式分解法解一元二次方程 教学目标 掌握用因式分解法解一元二次方程 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程,体会和探寻用更简单的方法—因式分解法解一元二次方 程,并应用因式分解法解决一些具体问题 重难点关键 1.重点:用因式分解法解一元二次方程 2.·难点与关键:让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便 教学过程 、复习引入 (学生活动)解下列方程
9 求根公式：x= 2 4 2 b b ac a − − ，当 b 2 -4ac>0 时，根据平方根的意义， 2 b ac −4 等于一个具体数，所以 一元一次方程的 x1= 2 4 2 b b ac a − + − ≠x1= 2 4 2 b b ac a − − − ，即有两个不相等的实根．当 b 2 -4ac=0 时，•根据 平方根的意义 2 b ac −4 =0，所以 x1=x2= 2 b a − ，即有两个相等的实根；当 b 2 -4ac<0 时，根据平方根的意义，负 数没有平方根，所以没有实数解． 因此，（结论）（1）当 b 2 -4ac>0 时，一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）•有两个不相等实数根即 x1= 2 4 2 b b ac a − + − ，x2= 2 4 2 b b ac a − − − ． （2）当 b-4ac=0 时，一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即 x1=x2= 2 b a − ． （3）当 b 2 -4ac<0 时，一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）没有实数根． 例 1．不解方程，判定方程根的情况 （1）16x 2 +8x=-3 （2）9x 2 +6x+1=0 （3）2x 2 -9x+8=0 （4）x 2 -7x-18=0 分析：不解方程，判定根的情况，只需用 b 2 -4ac 的值大于 0、小于 0、等于 0•的情况进行分析即可． 解：（1）化为 16x 2 +8x+3=0 这里 a=16，b=8，c=3，b 2 -4ac=64-4×16×3=-128<0 所以，方程没有实数根． 三、巩固练习 不解方程判定下列方程根的情况: （1）x 2 +10x+23=0 （2）x 2 -x- 3 4 =0 （3）3x 2 +6x-5=0 （4）4x2 -x+ 1 16 =0 （5）x 2 - 3 x- 1 4 =0 （6）4x2 -6x=0 （7）x（2x-4）=5-8x 四、应用拓展 例 2．若关于 x 的一元二次方程（a-2）x 2 -2ax+a+1=0 没有实数解，求 ax+3>0 的解集（用含 a 的式子表 示）． 分析：要求 ax+3>0 的解集，就是求 ax>-3 的解集，那么就转化为要判定 a 的值是正、负或 0．因为一元 二次方程（a-2）x 2 -2ax+a+1=0 没有实数根，即（-2a）2 -4（a-2）（a+1）<0 就可求出 a 的取值范围． 五、归纳小结 本节课应掌握： b 2 -4ac>0 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b 2 -4ac=0 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b 2 -4ac<0 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的 运用． 六、布置作业 教材复习巩固 6 综合运用 9 拓广探索 1、2． 第 8 课时 21.2.3 因式分解法 教学内容 用因式分解法解一元二次方程． 教学目标 掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方 程，并应用因式分解法解决一些具体问题． 重难点关键 1．重点：用因式分解法解一元二次方程． 2．•难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）解下列方程．
(1)2x2+x=0(用配方法)(2)3x2+6x=0(用公式法) 老师点评:(1)配方法将方程两边同除以2后,x前面的系数应为,的一半应为-,因此,应加上 4 )2,同时减去()2.(2)直接用公式求解 二、探索新知 (学生活动)请同学们口答下面各题 (老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项? 2)等式左边的各项有没有共同因式? (学生先答,老师解答)上面两个方程中都没有常数项:左边都可以因式分解 因此,上面两个方程都可以写成 (1)x(2x+1)=0 (2)3x(x+2)=0 因为两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于0,也就是(1)x=0或2x+1=0,所以x1=0,x2= (2)3x=0或x+2=0,所以x1=0,x2=-2.(以上解法是如何实现降次的?) 因此,我们可以发现,上述两个方程中,其解法都不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个 次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法. 例1.解方程 (1)10x-4.9x2=0(2)x(x-2)+x-2=0(3) 3 (4)(x-1)2=(3-2x)2思考:使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么? 解:略 (方程一边为0,另一边可分解为两个一次因式乘积。) 练习:1.下面一元二次方程解法中,正确的是() A.(x-3)(x-5)=10×2,∴x-3=10,x-5=2,∴x1=13,x2=7 B.(2-5x)+(5x-2) (5x-2)(5x-3)=0,∴2 C.(x+2)2+4x=0,∴x1=2,x2=-2 D.x2=x两边同除以x,得x=1 三、巩固练习 教材练习1、2 例2.已知9a2-4b2=0,求代数式ba2+b2 的值 b a 分析:要求只、ba2+b2 b 的值,首先要对它进行化简,然后从已知条件入手,求出a与b的关系后代 入,但也可以直接代入,因计算量比较大,比较容易发生错误 b2-a2-b2 解:原式 9a2-4b2=0 .(3a+2b)(3a-2b)=0 3a+2b=0或3a-2b=0 a=-b或a=2 b 当a=-b时,原式= 当a=-b时,原式=3 四、应用拓展 例3.我们知道x2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b),那么x2-(a+b)x+ab=0就可转化为(x-a)(x-b)=0, 请你用上面的方法解下列方程 (1)x2-3x-4=0(2)x2-7x+6=0(3)x2+4x-5=0
10 （1）2x2 +x=0（用配方法） （2）3x2 +6x=0（用公式法） 老师点评：（1）配方法将方程两边同除以 2 后，x 前面的系数应为 1 2 ， 1 2 的一半应为 1 4 ，因此，应加上 （ 1 4 ）2，同时减去（ 1 4 ）2．（2）直接用公式求解． 二、探索新知 （学生活动）请同学们口答下面各题． （老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ （学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因为两个因式乘积要等于 0，至少其中一个因式要等于 0，也就是（1）x=0 或 2x+1=0，所以 x1=0，x2=- 1 2 ． （2）3x=0 或 x+2=0，所以 x1=0，x2=-2．（以上解法是如何实现降次的？） 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个 一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 例 1．解方程 （1）10x-4.9 x 2 =0 （2）x（x-2）+x-2 =0 (3)5x 2 -2x- 1 4 =x 2 -2x+ 3 4 (4)(x-1) 2 =(3-2x) 2 思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？ 解：略 （方程一边为 0，另一边可分解为两个一次因式乘积。） 练习：1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）． A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7 B．（2-5x）+（5x-2）2 =0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= 2 5 ，x2= 3 5 C．（x+2） 2 +4x=0，∴x1=2，x2=-2 D．x 2 =x 两边同除以 x，得 x=1 三、巩固练习 教材 练习 1、2． 例 2．已知 9a 2 -4b2 =0，求代数式 2 2 a b a b b a ab + − − 的值． 分析：要求 2 2 a b a b b a ab + − − 的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出 a 与 b 的关系后代 入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误． 解：原式= 2 2 2 2 a b a b b2 ab a − − − = − ∵9a2 -4b2 =0 ∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0 或 3a-2b=0， a=- 2 3 b 或 a= 2 3 b 当 a=- 2 3 b 时，原式=- 2 2 3 b − b =3 当 a= 2 3 b 时，原式=-3． 四、应用拓展 例 3．我们知道 x 2 -（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么 x 2 -（a+b）x+ab=0 就可转化为（x-a）（x-b）=0， 请你用上面的方法解下列方程． （1）x 2 -3x-4=0 （2）x 2 -7x+6=0 （3）x 2 +4x-5=0