§4数学模型表达式之间的对应关系 描述线性定常系统的主要方法(下章涉及求解方法) 微分方程(基础) 输入输出数学模型 传递函数(求解方便,适 用零初始条件的线性系统) 状态方程(多变量系统) 状态空间模型 口相同的系统可以用以上三种方法描述 口它们可以互相转换
§4 数学模型表达式之间的对应关系 描述线性定常系统的主要方法（下章涉及求解方法 ） 状态空间模型 ❑ 相同的系统可以用以上三种方法描述 ❑ 它们可以互相转换 ▪ 微分方程（基础） ▪ 传递函数 （求解方便，适 用零初始条件的线性系统） ▪ 状态方程 （多变量系统） 输入输出数学模型
4.1微分方程和传递函数 微分方程与传递函数之间的转换通过拉氏变换和反 拉氏变换实现。 微分方程: y+ay+a,y+.tamn-ytany boum+bu+.+.,.u 在初始条件为零的情况下,对上式两端取拉氏变换 Y(S)+asY(s)+ n-2) Y(S)+.+a-sr(s)+a,r(s) bos(mU(s)+b,s(m-U(s)..+bm-IsU()+bm U(s)
4.1 微分方程和传递函数 微分方程与传递函数之间的转换通过拉氏变换和反 拉氏变换实现。 微分方程： y a y a y a y a y n n n n n + + + + − + − − ' 1 ( 2) 2 ( 1) 1 ( ) 在初始条件为零的情况下，对上式两端取拉氏变换： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 2) 2 ( 1) 1 ( ) s Y s a s Y s a s Y s a sY s a Y s n n n n n + + + + − + − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) 0 b s U s b s U s b sU s b U s m m m m = + + + − + − b u b u bm u bm u m m = + + + − + − ' 1 ( 1) 1 ( ) 0
sY(s)+a;"Y(s)+a2s2Y(s)+…+an1SY(s)+anY(s) bsmU(s)+bsmU(s)+…+bn1sU(s)+bnU(s) 相应的传递函数 Y(s) oS)+b,s+.+bm-1S+b G(S) U()S+的(n-1+(n2)+…+an-1S+a 如果已知系统的传递函数,可以通过拉氏反变换, 得到系统输入输出关系的微分方程式。 y+ay+a2y+.++any =bou)+b,u+.+bm-u+bmu
相应的传递函数： ( ) ( ) ( ) U s Y s G s = 如果已知系统的传递函数，可以通过拉氏反变换， 得到系统输入输出关系的微分方程式。 n n n n n m m m m s a s a s a s a b s b s b s b + + + + + + + + + = − − − − − 1 ( 2) 2 ( 1) 1 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 2) 2 ( 1) 1 ( ) s Y s a s Y s a s Y s a sY s a Y s n n n n n + + + + − + − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) 0 b s U s b s U s b sU s b U s m m m m = + + + − + − y a y a y a y a y n n n n n + + + + − + − − ' 1 ( 2) 2 ( 1) 1 ( ) b u b u bm u bm u m m = + + + − + − ' 1 ( 1) 1 ( ) 0
4.2微分方程和状态方程 把微分方程转换成状态方程的过程有两步: ◆把一个n阶微分方程转换成n个一阶微分方 程式组 ◆把微分方程组表示成矩阵形式
4.2 微分方程和状态方程 把微分方程转换成状态方程的过程有两步： ◆ 把微分方程组表示成矩阵形式。 ◆ 把一个n阶微分方程转换成n个一阶微分方 程式组
对于单输入单输出的系统,根据输入函数的形式, 分两种情况讨论。 1、输入函数不含导数项 y"+a11n-1)+2P(n-2) +…+an-1y+any=bu (1)取状态变量 J J xn= y 所以 1) y=an-1y tbu =-a.x,-l.,x,-…-a,x.+b
1、输入函数不含导数项 对于单输入单输出的系统，根据输入函数的形式， 分两种情况讨论。 y a y a y an y an y bu n n n + + + + − + = − − ' 1 ( 2) 2 ( 1) 1 ( ) （1）取状态变量 , 1 x = y , 1 2 x = x 所以 x a y a y a y bu n n = − n − n − − + − − ( 1) 1 1 = −an x1 − an−1 x2 −− a1 xn + bu , 2 3 x = x n n x = x −1 … , 2 x = y ( −1) = n n … x y