83.3连续性方程 连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表达式。 三维流动连续性方程 假定流体连续地 充满整个流场,从中 任取出以 点为中心的微小六面) 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 画d ax 为dx,dy,dz,分别 平行于直角坐标轴x, 2021/2/23
2021/2/23 11 §3.3 连续性方程 连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表达式。 一、三维流动连续性方程 假定流体连续地 充满整个流场，从中 任取出以 点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x， o(x，y，z)
y,z。设控制体中心点处流速的三个分量为v,w液体密 度为。将名流速分量按泰勒级数展开,并略去高阶微量 可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点的运 动速度。例如:通过控制体前表面中心点M的质点在x方 向的分速度为 I av dx 通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为 I av 2 ax 因所取控制体无限小,故认为在其各表面上的流速均匀分 布。所以单位时间内沿x轴方向流入控制体的质量为 1(o dx aydz 2 ax 2021/2/23 12
2021/2/23 12 y，z。设控制体中心点处流速的三个分量为 ,液体密 度为 。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量， 可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点的运 动速度。例如：通过控制体前表面中心点M的质点在x方 向的分速度为 通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为 因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分 布。所以单位时间内沿x轴方向流入控制体的质量为 x y z v ，v ，v dx x v v x x + 2 1 dx x v v x x − 2 1 ( ) dx dydz x v v x x − 2 1
流出控制体的质量为 (/n 1+ xdx dydz 2 ax 于是,单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为 aev) dx dydz-pr dx dydz dxdvdz 同理可得在单位时间内沿y,z方向流出与流入控制体的质 量差为 FA-dxdydz O(p:) dx dydz 由连续介质假设,并根据质量守恒原理知:单位时间内流 出与流入控制体的质量差的总和应等于六面体在单位时间 内所减少的质量。所以 o(om ),alpv, o(o )1 dxdydz=-o(pdxdyd=-)=-pdxdydx 2021/2/23
2021/2/23 13 流出控制体的质量为 于是，单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为 同理可得在单位时间内沿y，z方向流出与流入控制体的质 量差为 和 由连续介质假设，并根据质量守恒原理知：单位时间内流 出与流入控制体的质量差的总和应等于六面体在单位时间 内所减少的质量。所以 ( ) ( ) ( ) dxdydz x v dx dydz x v dx dydz v x v v x x x x x = − − + 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) dxdydz t dxdydz t dxdydz z v y v x vx y z = − = − + + ( ) dx dydz x v v x x + 2 1 ( ) dxdydz y vy ( ) dxdydz z vz
整理得 2+×vm,)a( 0 t OX 此式即为连续性微分方程的一般形式。适用于定常流及非 定常流。 对于定常流:=0,上式成为 a(m)+m)+(m)=0 对于均质不可压缩流体ρ=c,则不论定常流或非定常流均 有 +y+三=0 对二维流动连续性微分方程为 x 上面四个方程对于理想流体和实际流体均适用。 2021/2/23
2021/2/23 14 整理得 此式即为连续性微分方程的一般形式。适用于定常流及非 定常流。 对于定常流： ，上式成为 对于均质不可压缩流体 ，则不论定常流或非定常流均 有 对二维流动连续性微分方程为 上面四个方程对于理想流体和实际流体均适用。 ( ) ( ) ( ) = 0 + + + z v y v x v t x y z = 0 t ( ) ( ) ( ) = 0 + + z v y v x vx y z = c = 0 + + z v y v x vx y z = 0 + y v x vx y
二、一维不可压缩流体定常总流连续性方程 如图,从总流中任取一段,进、出口断面的面积分别为 A1、A2,在从总流中任取一个元流,其进、出口断面的面 积和流速分别为dA1、V1;dA2、V2。根据质量守恒原理 单位时间内从dA流进的流体质量等于从dA2流出的流体 质量,即vd4=p2l42=c 对于不可压缩均质流体,p1=2士武式变为 ,da vda=dg=c dAl 总流是流场中所有元流的总 和,所以由上式可写出总流 连续性方程A1=V2A2 A2 2021/2/23
2021/2/23 15 二、一维不可压缩流体定常总流连续性方程 如图，从总流中任取一段，进、出口断面的面积分别为 A1、A2，在从总流中任取一个元流，其进、出口断面的面 积和流速分别为dA1、v1；dA2、v2。根据质量守恒原理， 单位时间内从dA1流进的流体质量等于从dA2流出的流体 质量，即 对于不可压缩均质流体， 。上式变为 总流是流场中所有元流的总 和，所以由上式可写出总流 连续性方程 v dA = v dA = c 1 1 1 2 2 2 = = c 1 2 v dA = v dA = dq = c 1 1 2 2 1 1 2 A2 v A = v