引用单位矩阵i 并使用(1-610)式中的3表示式,可将(-6516)式中的原子的哈 密顿算符表示为 H0=(E。+E)1+(E,一E)5(1-6-18) 上式中E和E分别为二能级原子的高能级和低能级的能量。将 (1-6-11)式表示的μ代入(1-6-17)式,得到 H (以·E)r1+(两·E)r2 (1-6-19) 如果我们这样选择二能级原子的状态|2)和)的相位关系,即使 得丛=0,则(16-19)式为 H=(·E)r (1-6-20) 代入(1-6-16)式,得到哈密顿算符为 =(E+E)1+3(E,-E)1-(A·B) 现在建立算符r1、n2和r3的运动方程。根据量子力学,任意算 符O的运动方程为 iO=[O,]=[O一O] (1-6-22) 首先建立r1的运动方程,由上式则有 左 Ar 将(1-6-21)式代入,经计算得到 方 (E.+En)(r3 使用泡利算符对易关系(1-6-14)式,上式则为 (1-6-23) 上式中a4=(E。一E)h。同理得到 23
r2(t)=asx1(t)十÷(μ·E)r3(t) (1-6-24) 五 μ·E)2(t)能不 e(26-25) 在实际问题中关心的是算符的平均值,现在对以上三个算符 运动方程取平均。首先认为量子的关联可以忽略,算符的乘积E2 等的平均值可以近似表示为 〈E2(t)签(E)(r2(t)) (1-6-26) 此外,在半经典理论中应考虑再辐射对光场的影响,这要用麦克斯 韦方程组,然而麦克斯韦方程组中的量是场的平均值,不是算符。 所以这里要用场的平均值代替场的算符,也就是(1-6-26)式中场 的算符用它的平均值代替。这样一来,半经典理论不能很好地描写 自发辐射。 在进行上述考虑之后,引入 R,(t)≡《;},j=1,2,3 (1-6-27) 则(1-6-23)-(1-6-25)式为 R1(t) R2(t) (1-6-28) R2 (t)=WR,(c)+aE(r, c)R2(t) (1-6-29) R2(t) aE(r,t)R2(t) (1-6-30) 上式中的a为 (1-6-31) 设 (1-6-32 式中表示单位矢量,(1-6-24)和(1-6-25)式中2·E(r,t)表 示为 2 以·E=aE(r,t) (1-6-33) E(r,t)是E在a方向上的分量 在直角坐标系中引入 R=iR,+jR,+kR (1-634) 24
M=iM,+ jM,+kM. (1-6-35) 上式中令M,(t)=-aE(r,),M,()=0M2(团)=m,可将(1-6 28)…(1-6-30)式表示为 川品产 R=M×R (1-6-36) 方程(1-628)—(1-6-30)式在形式上类似于磁共振问题中的自旋 走动方程,所以可以把R(t)称为赝自旋或能量自旋。实际上,R2(t) 表示在高能级与低能级上粒子数差;R2(0)=|a12-|P|2,R1(t)和 R2(t)是与原子跃迁电偶极矩有关的物理量;R1(0)=aB+ap, R2(0)=-i(a'B+aB·) 现在讨论旋转波近似。方 程(1-6-36)式是描写R(t)在静 止坐标系(x,y,z)中作进动运 动的方程,如图1-6-1所示。现 在转动坐标系研究这个方程, 仍可将转矩M(t)分解为三个 R 分量,它们是对着z轴观察在 xy平面上以频率ω作反时针 方向转动的分量M1和顺时针 方向在x-y平面以频率a转动 的分量M2以及沿z轴的分量 图1-6-1R(t)的进动运功 M3。设光的电场为E=En[e-+ cc]。为了与(1-636式结果一致,这些分量为 iaa E cost- jaE, sinaut (1-6-37) M2=-ia Ecosco+ ja, E.sinat (1-6-38) M= oak (1-6-39) 现在的M(t)为 M(t)=M1(t)+M2(t)+M3(t) (1-6-40) 设观察者位于对着x轴看在x-y平面作反时针方向转动的转动坐
标系内观察,则M1是静止的,它对R(t)有积累作用,而M2则是以 2a频率作高速转动,对R(t)基本没有积累作用,于是可忽略 M2(t)。这样(1-6-40)式变为 M2一M(0+M 识产权! (1-6-41) 在旋转近似下的(1-6-36)式为 d dt 写成分量形式为 R1(t) R 2 (t) aecost a,. sinat (1-6-42) R3(t) R1(t) R2(t)R3(t) 由此得到 R,(t)=-aaEaRa sinat-wagR 2 (1-6-43) R2(t)=a, E. Racoswt WRR (1-6-44) R,(t)=-aercosat+ a eaR, sinat (1-6-45) 如果在此转动坐标系中引入一个接近稳定的矢量p(t),使其 三个分量(),7(t)(t)为 :(t) cost sinat o(R,(t) 7(t) sinat cost o R2(t) (1-6-46) (t) 01(R3(t) 展开后得到,与R1、R2、R3之间的变换关系为 S(t)=R,(t)cosct+ R2 (t)sinat (1-6-47) (t) R,(r)sinox+ R2(t)cost (1-6-48) (t)=R3(t) 1-6-49 将以上三式对时间微商,可得到f(t),(t)和5(t)的方程。例如将 (1-6-47)式对时间微商,得到 E(t)=R(t)cosct +R2 (t)sincot-R since+R2acosar 将(1-6-43)(1-4-44)和(1-6-48)(1-6-49)式代入,最后得到 E(t) -a)?(t)=-?(t)δ (1-6-50) 26
上式中 (1-6-51) 同理可得: 用 识权! n(t)=(t)8+aE(t) (1-6-52) 3(t)=一anE2(t) (1-6-53) 现在如果引入矢量N(t),在直角坐标系中令它的三个分量为 E N(t)=0,N2(t)=δ (1-6-54) 则可将(1-6-50)(1-6-52)(1-6-53)式表示为 dt' p()=N(t)×p(t) (1-6-55) 所以仍可以表示为pt)的进动方程,只不过是在转动坐标系中,所 有的量在时间上都是缓变的了 关于(t),(t)(t)的物理意义由(1-6-49)式看出(t)代表 二能级原子的高能级与低能级的粒子数差,(t)代表原子的电偶 极矩与光相互作用的有效性,由(1-6-53)式看出,它同光场作用的 结果是使粒子数差ξ(t)随时间变化。因此(t)代表原子吸收光场 能量的能力,或者说它代表电偶极矩的虚部。同理,(t可理解为 原子电偶极矩损耗光场能量的能力,就是说它代表电偶极矩的实 部 考虑到实际情况,存在着反转粒子数的自发衰减和外界泵浦, 因此要在(1-6-53)式中引入一(3)/T1项,T1是纵向弛豫时间; 同时存在着原子的电偶极子振荡的衰减,为此要在(1-650)式中 引入一/72项,在(1-6-52)式中引入一T2项,T2是横向弛豫时 间。考虑到这些唯象的引入项后,(1-6-50)(1-6-52)(1-6-53)式变 为 会=-元-? T (1-6-56) =—++aE (1-6-57)