=, E 品(125-17) 式中E是光的电场强度:H是光的磁场强度,D是电位移矢量,B 是磁感应强度,P是自由电荷密度,J是传导电流密度,6和p分 别是真空介电系数和真空导磁率,E和分别是介质的介电系数 和介质导磁率,d是介质的导电率系数,M是介质的磁化强度。在 线性光学范围,介质的宏观电极化强度P与光的电场强度正比, 设线性电极化系数为X,则有 P= XEOE 代入(-5-13)和(1-5-15)式,得到 e3(1+x 1-5-19) 在研究光与二能级原子组成的介质相互作用的问题中,一般 认为p=0,又因为一般光学材料是非磁性的,所以设M=0。现在 建立关于E的波动方程,对(1-5-9)式先取旋度运算,然后将(1-5 0)(1-5-14)(1-5-13)式代入后,得到 ×(×E)=-0x2%g_m(1520) de 因为VX(V×E)=V(V·E)一V2E (1-5-21) 和V·D=EV·E+(Ve)·E=0 (1-5-22) 一般而言,光学材料有很好的均匀性,所以Vε=0,由此得到 V·E=0,将此代入(1-5-21)式,最后(1-5-20)式为 aP EEE ae (1-5-23) 为了简单,假设光场沿x轴传播则上式为 E 2+a FE aP (1-5-24) 假设介质的d=0,上式最后形式为 2E E ap (1-5-25) ar 上式中的c为真空中的光速, 8
品 重关知产权! (1-5-26) Eof 下面将(1-5-1)式表示的E(x,t)代人(1-5-25)式的左端取光 的电场强度振幅缓变近似: dE dE ar2 <k'e (1-5-27) XE RaE<arIel (1-5-28) 再将(1-5-2)式表示的宏观电极化强度代入(1-5-25)式右端得到 ap C-uP (1-5-29) 这样,将2和,的缓变近似表示式和(1-5-29)式代入(1-5-25) 式,并使用(1-5-2)式,比较所得方程两端含e(m)的系数,则可将 (1-5-25)式表示的二阶微分方程简化为一阶微分方程 dE. aE 十 (1-5-30) 上式中 (1-5-31) cEo 现将所得到的方程重列如下 a=-(a-a)一fE E que+ v) aE. aE dr 实际上还应考虑介质的宏观电极化强度变化过程中自身的衰 减,这样(1-5-6)和(1-5-7)式右端应分别唯象地引入-t/T2和 19
v/T2,T2是横向弛豫时间或者表示为XL4和y1v,y为宏 观电极化强度的弛豫速率。另外在(1-5-8)式应引入-(△-△)/T1 项,其中-△/T表示因自发辐射引起的粒子数变化,T1为纵向弛 像时间,4表示热平衡时的粒子数分布。这样,上述方程最后可表 为 dE aE a =-i(a-如)-E4- (1-5-32) 是E:4 (]-5-33) (a-△ 建2h (uea +vE) (1-5-34) 这一组半经典方程经常用于讨论光学双稳性激光器运转的不稳 定性和混沌以及其它的光与二能级原子相互作用问题。在使用这 些方程时应列出问题的具体边界条件和初始条件。 §1-6光场中二能级原子的布洛赫方程 上面使用波函数和密度矩阵研究光与二能级原子的相互作用 问题,建立了相应的方程组。事实上人们广泛直接使用二能级原子 和光场的有关物理量的量子力学算符及其平均值的方程,讨论光 与二能级原子相互作用问题使用这类方程组,已经研究过一系列 的量子光学、非线性光学以及激光物理学中的问题。下面要建立的 光学布洛赫方程是在半经典理论范围内,使用算符及其平均值讨 论二能级原子问题较典型的和基本的,我们在这里将要进行较详 细的讨论 首先讨论二能级原子的电偶极矩算符。二能级原子的电偶极 矩算符经常出现在光与二能级原子相互作用的哈密顿算符表示式 20
中,同时原子的电偶极矩与物质的宏观电极化强度相联系,所以讨 论二能级原子的电偶极矩算符的具体形式,是很有意义的。 设二能级原子的上能级和下能缓的能量分别为E和En,相 应的状态分别为|2)和|1)根据量子力学,二能级原子的电偶极矩 算符的跃迁矩阵元素为 马2=(2|2)=0 (1-6-1) 构1=(1|1)=0 (1-6-2) 1=(2|以1 (1-6-3 码2=(1{2)=(构1) (1-6-4) 般而官,二能级原子的2和1为复数形式。因为二能级原子的 电偶极矩=-e在球坐标系可表示为 H=-er( u sinicusφ+ u, sinsin+昵cos) erLu2sinB(e*+e-“)十 sIna(e e)+a2cos升 16-5) 上式中町、M,和分别表示在x,y和z方向上的单位矢量,而二 能级原子上、下能级的本征态可用不同量子数的径向函数和球谐 函数乘积表示 2〉=R(r)Yz(6,) 1)=R(r)YF(6,∮ (1-6-6) 可以看出,因为球谐函数具有正交性,二能级原子电偶极矩的量子 力学表示中,M的x分量和y分量对应于Am=m-m'=士1的跃 迁,z分量对应于△m=0跃迁,若光场为沿z轴传播的平面偏振 波,则E2=0不必考虑z分量,由上式看出两2和可用复数表 两2=具十 (1-6-7) (1-6-8) 上式中共为实部,为虚部。根据(1-67)(1-6-8)式和(1-6-1) (1-6-4)式,二能级原子的电偶极矩算符M可表示为非对角的二维
矩阵形式; 从+ 1-6-9) 用0 利用量子力学中描写电子自旋运动的泡利矩阵,可以将上面 表示的一个原子的电偶极矩算符写成线性形式。泡利矩阵为 0 0 10 (1-6-10) 将n1和r2代入(1-6-9)式,得到 H=:-H 关于算符的运算,应按泡利算符的对易关系进行。根据量子力 学,泡利算符的对易关系为 2 1-6-12) 73z=2ir1 (1-6-13) (1-6-14) 简单表示为 ×r=2 (1-6-15) 由(1-6-11)式看出,二能级原子的电偶极算符可以用表示电 子自旋的泡利算符表示,可以推想,二能级原子在光场中的运动与 电子在磁场中的运动相类似,所以在光场中的二能级原子,也应该 出现一系列的类似于磁共振方面的效应。 现在在半经典理论范围内建立在光场作用下的一个二能级原 子的赝自旋算符运动方程所谓半经典理论,即认为光场为经典电 磁场,若光的电场强度为E,则在电偶极近似下,一个二能级原子 与光场相互作用时,整个系统的哈密顿算符H为 H=B0十度 H。-E(r,t) 1-6-16) 上式中相互作用的哈密顿算符H为 H E(r,L) (1-6-17)