a()()F()(1-3-22 ()()==[a(t)Bt 上述方程的物理意义是明显的.(1-3-20)式表示在t时刻发 现在a能级上的粒子数几率随时间的变化,来源于α能级上原子 的白发衰减和受激辐射以及受激吸收过程。同样说明(1-3-21)式 各项的物理意义。下面将会看到,a(t)P(t)与a‘(t)B(t)将决定原 子的电偶极矩。这一组方程对于研究光与二能级原子相互作用问 题是最基本的。以后将会看到,无论是采用算符还是密度矩阵来 处理光与二能级原子相互作用问题,得到的方程,在意义上都与它 们类似 §1-4光场中二能级原子的密度矩阵方程 现在讨论N个二能级原子与光场相互作用情形。一般而言, N个“能级原子不可能处于相同的运动状态,若N个二能级原子 处于各种不同运动状态的几率相等时,系综的物理量,可通过在量 子力学平均的基础上,再取一次统计平均的方法求得。 若N个二能级原子之间无相互作用,第n个原子的波函数ψ qt)为 (q)=∑C()A,q)n=1,2,3,…,N(1-4-1) 上式中i表示对状态数求和。 N个原子组成的体系的力学量Q的算符平均值为 ()=习j(q)Aq (1-4-2) 将(14-1)式代入,得到 (1-4-3) 13
若耐入 品 t 重相产以(-4-4) ;=N∑CC (1-4-5) 则(1-4-3)式可表示为 Q)=∑A5 由上式看出,A具有兄率密度的意义,因此称由(1-4-5)式定义的 P.的集合为N个原子组成的体系的密度矩阵。 当N个原子所处的各状态的几率不相等时,则应取统计平 均。设处于y(q,1)状态的几率为Pn,且∑Pn=1,(1-45)式应表 示为 PC∴C. 则(1-4-6)式和(1-4-4)式,可保持其原来形式不变 容易证明密度矩阵是厄密的,它的对角线上的矩阵元素为正 值,而且密度矩阵的迹为1 现在讨论N个二能级原子的密度矩阵元素和它们的运动方 程。对于二能级原子,它的波函数由(1-3-7)式表示,由(1-4-5)和 (1-4-2)式,则得到N个二能级原子的密度矩阵元素为 N ar an, paB B B =∑R N之 (-4-8) 相应的二行二列矩阵为 1-4-9) 由(1-48)式和(1-3-20)(1-3-21)(1-3-22)(1-3-23)式,容易得到, N个二能级原子密度矩阵元素的运动方程为 (PBe- pae)F(t) (1-4-10) 14
品 五 )F() (1-4-11) )Pa+(pan-pa)F()(-4-12 (1-4-13) E-E 式中 左 1-4-14) P和p分别表示在a能级和P能级上发现粒子数的几率,它 们随时间的变化来源于自发辐射过程和受激辐射、受激吸收过程; pg和Pa则决定N个二能级原子组成的系统的宏观电极化强度, 证明如下。设单位体积内有M个二能级原子,根据定义,宏观电极 化强度为 P∑(q,)4(q,t)d (1-4-15) 上式中为单个原子的电偶极矩算符。将二能级原子的波函数(1 3-7)式代入(1-4-15)式,并注意到对同一能量状态而言的电偶极 矩μ的跃迁矩阵元为零,使用(1-4-8)式后,得到 P= Nu(PBa+ pe 6 式中 P(9,t (1-4-17) 由此可见密度矩阵元素p和PA直接决定宏观电极化强度。 若引入矩阵 E。F(t) H 1-4-18 F(e) Ep 和(1-4-9)式,当不考虑衰减项时,可将(1-4-10)—(1-4-13)式表示 为 (HP-pn) 若引入表示衰减的矩阵 15
0 品 重关知识较! (1-4-20) 则可将(1-4-10)—(14-13)式表示为 TH,0 (Tp+ pr) 对于多能级原子,可进行类似讨论 §1-5麦克斯韦-布洛赫方程 借助前面得到的二能级原子在光场中运动的波函数方程或者 密度矩阵方程,可以建立一组光场与二能级原子相互作用时关于 原子和光场的半经典方程组。 首先建立N个二能级原子组成的系统,在光的电场作用下, 它的宏观电极化强度随时间变化的方程。设光的电场强度为 E(x, t) E(x,)e"(k-)+Ee1(k--)}(l-5-1) 由(1-4-16)式,宏观电极化强度为 P=NA(P g (1-4-16) 若设 (1-5-2) 比较(1-4-16)与(1-5-2)式,得到 pipage 21 求(1-5-3)式对时间微商,得到 2ip ge -i(er-a)+ 2wpage-i(-) 将(1-4-12)式代入上式,设不考虑衰减项,则上式为 pape 方 F(t) 16
代入(1-5-3)式,并设 品 重关知产权! (1-5-5) 使用(1-3-11)式表示的F(t),忽略含2a的高频项,则(1-5-4)式为 E△ 利用同样方法,得到 )℃ E4 (15-7) 其次求高能级与低能级上粒子数差△随时间变化的方程,由 (1-5-5)和(1-4-10)(1-4-11)式,设不考虑衰减项,得到 a4 a (Paa -paB)F(t) 代入F()的表示式,上式为 (E,e t Eme a )[-∠ 将(1-5-4)式代人上式,忽略含2a的高频项,最后得到: a (ue:+ vE) 最后建立光的电场强度的方程半经典理论中的光的电磁场 服从麦克斯韦方程组,下面列出麦克斯韦方程组和有关的关系式: y×E=- (1-5-9) VxH=功 +J (1-5-10) D= 1-5-11) B=0 (15-12) D=EE十P (1-5-13) B=Ai+ AM (1-5-14) D=EE (1-5-15) B=A. H (1-5:16) 7