本章后面的讨论中将会看到,从量子力学观点研究光场与二能级 原子相互作用时,也将得到与这两个方程相类似的方程组。 当光的电场振幅E。为常数时,方程组(1-224)式有非常简单 的解。这时的问题称为经典拉比(Rab)问题,这是因为拉比首先在 量子力学那里求解了这类问题,并将其用于磁共振现象研究中 借助(12-24)式和关于光的电场的传播方程,同样可以研究 描写光脉冲传播的面积定理以及光脉冲的传播规律。这方面问题 将在第七章讨论同样,借助(1-2-24)式也可以讨论光学自由感应 衰减等现象。 最后我们来讨论()和η(t)的物理意义。设所讨论的介质由 N个二能级原子组成,则它在光场作用下形成的宏观电极化强 度,由每个原子的电偶极矩决定。考虑到(1-2-12)式和光谱线的线 型函数g(矿)按定义,介质的宏观电极化强度P(t)为 P(t)=N. Re([E(8, t)+in(8, t)Je)g(8 )d8 (1-2-25) 可以看出,e(t)决定介质宏观电极化强度的实数部分,7(t)决定虚 数部分。因此,(t)表示色散,(t)表示吸收(放大)。 §1-3光场中二能级原子的波函数方程 现在讨论光与二能级原子相互作用的半经典理论基础。这里 认为光场是经典电磁场,它的运动服从麦克斯韦方程组;认为二能 级原子的运动服从量子力学规律,即服从薛定谔方程。光场对原子 的作用,归结为对原子状态的微扰作用。在这一节将按这种模型, 建立单个二能级原子的波函数方程 现在首先讨论二能级原子模型问题。人们已经知道,在光场与 原子相互作用的许多间题中,可以只考虑原子的两个能级,这当然 8
是有条件的。若原子的两个能级的能量差为 E。-E2≈h 上式中a为光场的频率,对于二能级原子,则要求该原子的其它 能级之间的能量差不与ha相接近;此外还要求从原子的其它能 级向这两个能级跃迁,以及从这两个能级向其它能级跃迁的跃迁 几率都非常小,如图1-3-1所示。 现以钠原子为例,研究在什么条件下可 E 以孤立为二能级的。由上述可知,这一方面难 要看能级间的间距,另一方面要看光场的频 率范围,当它们之间相互作用时,应该没有 第三个能级参加。钠原子有一系列的能级, 图1-3-1 图1-3-2表示钠原子的部分能级情况。图上 列出D和D2线相应的分裂能级。现在研究D和D2谱线,D线 (32Pu/z-32S12)的波长为589.593m,D2线(32P3/2-32S12)的波 长为588.99m,二者相差o.6nm,另方面,对于钠原子气体的光 谱线,包括碰撞加宽等在内的均匀加宽ΔA~10-nm,都普勒加宽 △n≈10GHz,它们都比06mm小,所以当外加光场与处于这两条 谱线相应的能量状态的钠原子共振作用时,在能级上都不会发生 重叠现象,与此相对应,当外加光场的脉冲持续时间达到亚皮秒 时,钠原子仍可视为二能级原子如果进一步考虑到由于钠原子核 自旋引起的光谱的超精细结构时,再来讨论一下,在什么情况下钠 原子可以看作为二能级的,例如对于D2线的32P32(F=2)→ 32S/2(F=1),由图1-3-2可以看出,光场的作用应不影响3P32(F 1)或32S12(F=2)能级,它们的邻近能级不应参与。由图1-32 32Pn2的F=2与F=1之间的能级差为35.5MHz,这是最邻近的。 这样,外来的光脉冲持续时间应比3×10-长才能把D2线的 32P32(F=2)→32S12(F=1),看作是二能级问题。由上述分析可 以看出,二能级原子模型还与原子密度光谱结构等等情况有关 可见,只有对于具有量子化性质的系统,诸如原子或分子,才
52 42 32P 59. 6MHz 53S =2 35.5MF F=0126.5M 42P 32D 42S 189MHz P F=2 3St 1772MH F=l 图1-3-2钠原子部分能级图 能引入理想的二能级模型。二能级原子只有一个对应的共振频率, 这又恰与经典的简谐振子相类似。 现在讨论单个二能级原子在光场作用下的波函数运动方程 设光的电场强度为E(r,),单个二能级原子的电偶极矩为p在光 频段,取电偶极近似,则光与原子组成的系统的哈密顿算符H为 H=Ho+H (1-3-2) 上式中户为原子的哈密顿算符,相互作用哈密顿算符为 度 设二能级原子的高能态a的衰减速率为y,低能态的衰减速 率为y,相应的定态波函数分别为戌(q)和∮(q),能量分别为E 和E,则在光场作用下的二能级原子波函数为 中(q)e-se-z Frey
若令 a(t)=a;e-话e (1-3-5) B(t) aae 则(1-3-4)式可表示为 P(q, t)=a(t)p(q)+P(r)pe(q) (1-3-7) 波函数φ(q,t)满足萨定谔方程 (q,)=Bq,d3. 将(1-3-2)(1-3-4)和(1-3-7)式代入,然后以(q)d分别作用等 式两端则得到波函数a(t)的方程为 a(t) (E。+。)a(t)一F(t)F(t)(1-3-9) 上式中的F(t)为 F(t)=|(q)H车(q)dq Pi()hs. (g)do (1-3-10) 将(1-33)式代入,F(t)可表示为 F(t) FE (1-3-11) 上式中 A=8:(q)u()dq 1-3-12) 同样,若将(1-3-2)(13-4)和(1-3-7)式代入(1-3-8)式,然后以 $(q)dq分别作用等式两端,则得到波函数β(t)的方程为 B()=-(五Ep+2)(x)-ha()F()(1-3-13) (13-9和(1-3-13)式就是二能级原子的波函数方程,因为a(t)和 B(t)被确定后,由(]-3-7)式就可求出波函数y(q,t)最后表示式 使用(1-3-9)和(1-3-13)式还可以求出,在时刻t发现原子在 11
特线e的月率6子在能级上举的才这具姨称 a(t)的共轭复数a(t)左乘(1-3-9)式,然后减去用a()从右端乘 以(13-9)式的共轭复数形式,经过简单运算得到 d da(a·(t) ya()a'()]一 a*(t)B(t) &(t)B(t)IF(t) (1-3-14) 同理,由(1-3-13)式得到 d de LA(r)B(+)]=-YeP()P(t)+f[a(+)B(e) a(t)B(t)JF(t) (1-3-15) 由以上二式看出,为了求|a()|2和!(t){2,还要建立a()R·(t)和 a(t)(t)的方程。这只须以β(t)右乘(1-3-9)式,再减去用a(t) 左乘(1-3-13)式的复数共轭形式则得到 d()()1=-(n+-2)a(x)/()+方a)a(a) P(t8'(t)IF( 式中 关于a·(t)R(t)的方程,可由下式得到 )B(t)=[a(t)*(t)] (1-3-18 若令 (1-3-19 则将上面得到的结果,重新罗列如下: d [a(t)a'(t)]=-a()a‘(t)]-[a(t) (t) (t)A·(t)]F(t) (1-3-20) d[R()A·(t)] oC()B·(t)]+;[a(t)B(t) )P(t)]F() (1-3-21) [a()P(t)]=-[io+yaa(t)B'()]+[a(t)a(t) 12