中’7日x +m)b-1 广义动量仍为讨↑.所以,量子化条件(即全部等时对易关系)都不 能要改变,它们不仅适用于自由场,也适用于带有相互作用的情 §34傅更叶展开 以下步骤几乎与自旋为0的场是完全相同的。将ψ按完备集 展开 (- (312) 因为ψ是4×1矩阵算符,故也是4×1矩阵算符,也就是说, d(r,1)和5()各有四个分支,而每个分支为希尔伯特空间的算 符 这里的4×1矩阵组成的空间叫旋量空间。我们希望在其中 找到对每个P都是最适用的一组基矢,为此,首先求C数狄拉克 方程的解。令 t pmx 3.13 其中x(r,t)是4×1矩阵.它的四个分支都仅是普通的复数 记 都是4×I矩阵不依赖于r,1。令 ue": I-iep, ip'r+/ 其中Ep=√|p}2+m2>0.代入(313)式,得到 (a·p+Bm) (314)
又因为 a·p,o·p]0 其中 p 所以,a·β与a·p+Bm可以有共同的本征矢量.可以要求 M,#满足 2 因为a·步和a·p+月m都是4×4的厄米矩阵.可以取它们的本 征矢是正交归一的,这样就得到4个正交归一的本征矢,vp 满足(314)和(315)式,且有 (316) 由(315)式可以看到,表示螺旋度,灬±1. 因为在(3.12)式中的5(是4×1矩阵錦符,可以将它按 、D展开 sn()-∑(an()+b。,()-,),(3.17) 士 其中a(x,b(是1×1矩阵算符,它们与自旋为0的场中 的a或k非常相象,我们来研究它们的代数.把(317代入 (312)得到 (r,n)=}=∑(an、x)kw,e+l,()uc (318) 或 φ(r,t)= (a:(4) 十bp,()u,e) 由φ的对易关系 , t(r,t dr,1),r,t)}=6r一r) ψ(r,以收r',)-{φ(r,1),(r,t)}=0.(3.19)
可以导出 ap(),a,(t)}= b,(t)}=δ,y5, {an,(t),ap,(t)}={b,() (3.20 an(,b,(t)}={,(),b,}=0 同样,这个推导也可以倒过来进行,即从a、b等的对易关系得到 φ,的对易关系 注意(3.18)式仅依赖于对所有r的函数,c是一组 完备集,以及对每一个P,“,k和-p,+是四个在旋量空间中正 交归一的矢量,因此,它与哈密顿函数的详细样子无关.所以,对 自由场或非自由场都可以用(3.18)式.若 十 把ψ的傅里叶展开式代人计算H得 -)m一E(-4) 冖Ex十∑(a十砧,b,)E, (321) 其中E薰是无穷大真空零点能.由真空态在洛仑兹变换下不变的 要求,可以将它舍去.这一点与上一章(2,19)式中的 在 下面研究正规乘积时还要再讨论应如何处理。 如果H=H,在海森堡方程(L9)中取0(t)为a,得到 -iap,(t)〓[H,a,(1)]=一Epg,(l), 同样得出 bp,(4) 由于我们一开始处理的就是量子化的场理论,所以并不存在狄拉 克理论中如不用量子场论的负能困难 用算符,:,可以从基态构造出一个完备集.张成一个 杀尔伯特空间、我们再一次强调指出:希尔伯特空间的构造是由
an,,bn的代数决定的,与的详细样子没有关系 535费子算符的代数运算 令a、a满足 所以 定义 从而 因此,n的木征值等于零或1;如果本征值为零的本征套是存在的, 令 n0)=0, 则有 nd·0)= ataa*o)=at(1-aa)10>=a0》, n1>=1)>,!1)≡a|0 同样如果n的本征值为1的态1)是存在的,令|0)≡a1>,即 得n|0〉=0.和过去一样我们称a为湮灭算符,a为产生算符 n〓a'a为占据数算符,如果只有一个模式我们可取 0 0 1 从而 01 v+=1(t1+i2) 我们来讨论N个模式的产生算符和湮灭算符的表示 [首冗看玻色子的情况,它的表示的构造比较简单,显然:我
们要求它满足对易关系 [a;,a!]一δ的,[4;a;][a,a↑]=0, 其中j,=1,…,N.为简单起见,只考虑两个模式的情况.容 易知道,若按照(3.4)式矩阵直乘的定义,令 1 就能满足所要求的对易关系,其中a为湮灭算符,例如 [a1,]-(a×1)(a×1)一(a’×1)(a×1) (at)×1-(aa)×1=1, 对费米子则没有这么简单. 如有N个费米子模式,它们的湮灭和产生算符服从的是反对 易关系: ;a}}-b#;{a;a;}=0,;=1,… 我们首先来构造两个模式的产生算符和湮灭算符的矩阵表示及相 应的希尔伯特空间基矢、令 ×1,a 1, Xr+,a〓τ3 显式写出为 0τ 0T 00 0 0 0 容易验证,它们满足所要求的反对易关系.相应的希尔伯特空间 的基矢为 0 0 0 0 第一模式的粒子数9 第二模式的粒子数 0