推广到N个模式,由归纳法易证 1,a一了-×1×1×… N-1个 a2≌3××1×∴×1,a N一2个 a》=××…X×,卟=可吃义…XXx N-1↑ 以τ矩阵为基础构成的这套运算称为旋量分析,它在物理学 的许多分支中有着广泛的应用.[例如在统计力学中处理伊辛 ( Ising)模型时,我们也需要用它.尽管勒理学各分支的对象不相 同,但是有许多基本运算是差不多的, 费米子算符的代数运算实际上是很简单的,它就象计算机中 常用的二进制运算一样,每一个模式只有两个占据数 nr;U的变换关系 当p固定时,w,v-,满足(3,16)式,并且 (a·p+即m) (322) 和 3.23 如前面一样,其中Ep=√P2 在狄拉克的C数理论中,有一个负能电子“海”,缺少一个负能 电子就是存在一个空穴,空穴代表一个正电子,其运动方向和自旋 与正电子正好相反。但在q数理论中,比产生的是实验上看到 的正电子,p就是正电子的动量,因为σ·不变号所以螺旋度 f是不变的。现在我们来求,t的变换关系 定理在y4mp口卩=92a一P表示中,可取 的相对相因子,使 324)
(i)γ4,=-p,-,y4tp (325) (iii)ou =cip. su-p, e-p. I = -eip (326) 在证明这个定理之前,我们先指出(316),(322)和(3,23)三 式并不决定x,和v,各自的相因子;(3.24)式决定了vp,和环p 之间的相对相因子的关系;(325)决定了不同的s的“,(或vp,) 间的相对相因子的关系,而(326)仅表示了同一5、不同P间的相 对相因子必需满足的一个条件,量子力学与经典力学之主要差别 在于前者有干涉现象,所以,相位是需要注意的.我们所以要采取 (324)和(325)式,是为了将来运算方便 现在来证明定理.首先注意在所讨论的表示下 p1,p,ao3a,a3,y2=px2是实矩阵, p2,a2,a2,1,y3是虚矩阵 ()因为 a, rray 从(3,22)式得 E (327) 因此有 (-a:p+βm)(y2t)曰一Fpγt 同样,由 (σ·p)2,=2a, (328) 得 (σ·p)y;x,=2sy2w 所以、γz,v满足同样的方程,二者都是归一的,故 取c〓1,就得到(3,24)式,它们将与v联系起来,所以,这 两个式子对将来讨论电荷共轭变换有些方便 (i)因为 所以由(3,22)式得 (a·(一p)+Bm) 同样,由(3.23)式,可得
(一6 因此,可令 42 其中我们利用了归一条件,并取上式的左右边的相对相因子为1. 因为这里的相因子是xp,与x-p,之间的,而()中确定的是p与 p,之间的,故由上式还可以定出vp与-p,之间的关系.由 即得 这个交换对将来讨论宇称反演运算有用 (i)因为 由(327)式得 (-a·p+Pm)ox,=Eno 同样,由(3,28)式得 (-σ·6)z,一25x 于是 因为归一条件,可写为 由上式得到 ozu p.f 所以 (3.29 同样,我们可以得到 ay242,)=7202H1 (3.30)
这些相因子的关系在下一步研究对称性时是很有用的 36二分量逕论 我们讨论m=0的自旋为的场,中微子就属于这种类型 在自由场的情况下,运动方程为 令 r5·y1273749 则有 0 如取 y=pg,4如p3,则 75=p201202029P3=-pt 容易看出,了s也满足运动方程 Grso)=0 (332) 显然,m÷0时是没有这个性质的.把(331)和(332)相加减,有 其中 h=1(1+y5),中=1(1-y,).(3,3) 所以,中被分成了业和中之和,我们来看这种分解带来什么物理 结果 定理中及小分别可以展开成 ∑(,--c”+b+4 },(3.34) ∑{4,4,十,-},-+-甲}.(335) 36
图3.l 证明将1(1+y5)作用在(3,18)式上得到ψ按v,, 和 集的展开,因为 φ 所以有关的#,和v,亦须满足 pitp,s H,s1"p,=-"p 又因为当m=0,(322)式成为 c·prp,g 所以,由a〓p1,得到 (-5)v 从而对“只存在s= 项,对只存在,=上项,即ψ满足 (3.34)式.用pφR〓φ,同样得到φR满足(3.35)式。显然, φψ+ψ满足(3.18)式 这个定理告诉我们如果m=0,图3.1中的左旋态ψ和右 旋态中R可以分别满足运动方程,而m与0时则否。这原理是很 简单的,当m=0时,粒子速度〃<光速c,所以可换至一个速 度为v1的参考系,以<约<c,而且v1.从这个新的系统来看, 粒子的动量P反向,但自旋不变,故螺旋度改变,因此,左旋态将 变成右旋态,这就表示,如m0,左旋态和右旋态不是洛仑兹 不变的,在不同的参考系中可以互相转换.但若m0,粒子以 光速运动,则按螺旋度分类具有洛仑兹不变性.我们以后会讨论: 依二分量理论,所有中微子都是左旋的,而反中微子都是右旋的 因此,中微子的质量为0,这与目前所有的实验结果是相符合的