第三章自旋为1/2的场 §31数学预备知识 首先,我们引入泡利矩阵: 10 (31) 10 0一I 显然,τ都是厄米矩阵 令拉丁指标表示1、2、3,重复拉丁指标表示从1到3求和,则v 的对易关系为 IT, ;l- itft> r;;}≡r;r;+r;r;-2bn 其中群i为全反对称三秩张量 1,若i为123的偶排列; 1,若i为123的奇排列; (33) 0,其他 我们常把矢量矩阵记为 I1,I2,T 1.矩阵直乘 设有n×n矩阵A=(A),m×m矩阵B=(B).定 义矩阵直乘A×B为 A×B)≡A;B3 (34) 这是一个mn×mn矩阵.容易证明,若A、C为同维方阵,B、D 为同维方阵则有 (4×B)·(C×D)一(AC)×(BD) 23
它在直乘的运算中是很有用的 2.狄拉克矩阵 作4×4矩阵 其中1是2×2单位矩阵.把σ、P的显式写出 p 1 0 0- 0 10 矩阵ρσ的对易性质和￥一样,容易验证 凡"P [p;,p=2i6tpk,[G1,0;]=2eOt p;3p}={σ;;}=2n [p;o;=0 狄拉克矩阵a、P定义为 p1,≡p §32自由场 我们先讨论自旋为的自由场,令拉氏密度为 =一中y 十m)中 和上节讨论自旋为0的场一样,我们首先确定同时间的算符的代 数关系及希尔伯特空间这些是与有无相互作用无关的 在拉氏密度中,是4×4矩阵,φ是4×1算待,y 满足 26 如系经典场,则从
立即得出 6 φm0 6: 我们采用yx矩阵的狄拉克表示 (39) 其中下标i=1,2,3.利用(36)式 容易验证,这样定义的y矩阵是满足(3)式的.用y4乘(.8) 式得到 +Bm)ψ=i 这就是狄拉克原来的方程,当初ψ是一个C数, §33量子化 现在来讨论量子化问题.对于自旋为的场,它的量子化和 普通的量子力学是有差别的,将C写成 在点代表的项中不含.广义坐标为ψ(r,r)或它的四个分支 中(x,以),=1,…,4.由S可求出广义动量p(r,1),或它 的四个分支p2(r2) p(r,)=0-讨(r, 按照维格纳( Wigner)和约当( Jordan)的方案,将通常同时间的 坐标算符和动量算符间的对易子全部用反对易子来代替 25
{的n(r,t),P2(r',1)}=i(r一r)8mx (3.10) {n(r,1),中(r',t)}={Pn(r,1),pr,)=0,(3.11) 其中反对易子的定义是 A,B}≡AB+BA. 我们看到这个方案有两个优点:一是使场对应的粒子适合费 米统计;二是海森堡方程不用改变,而且所得的运动方程与(38) 式一样.因此请读者注意,在普通n个质点的量子力学系统内,如 果这些质点是不可分辨的,它们的统计要求是外加的.但在量 子场论中则不然,决定了对易关系(或反对易关系)就自动得到所 需要的统计要求,同时我们知道,经典力学是量子力学的极限情 况,对玻色子系统,每当一模式中粒子数很多时就趋向于经典力 学。因此,玻色场的量子化与通常质点力学的量子化的基本原理 是一样的.但对费米子系统,由于泡利不相容原理的限制,没有经 典极限.因此,维格纳-约当方案在当初建议时仅是一种推想,以 后才有验证.从这里我们可以看到,在物理演绎中必须包括一些 推想,然后去检验.在作研究工作中要有新发现,一定要有跳跃, 新的思想不会仅仅是逻辑推理的结果 注惫,从(3.11)中的第一式可推出 {φ本(r,以)3φ(r,t)}一0, 这就是(311)中的第二式.(3.10)式又可写成 {φ(r,1),φ(r,)}一83(r-r) 注意等式右边是4×4对角矩阵 场的哈密顿函数可写为H-}4,其中哈密顿密度为 m)中 它就是E中与少无关的部分乘以一个负号.因为 所以,又可以写成 26
+Bm)中 下一步我们证明,在海森堡运动方程(19)中,取O〓ψ就可 以得到(3.8)式,亦即 +Bm)中 φ 这个式子可证明如下:取ψ为希尔伯特空间算符.令A为在 何一4×4矩阵,其矩车元可以包括微分运算,计算对易子 φ(r',1)小(x,t)dr,ψa(r ](4(r,),(r,)r, ψ(r,1)!(r',t)Aa中(r,D dr(一小(r',)A(r,r)(r,) φ(r,1)小(r,t)4φ(r,1) 因为即使Am中有微分运算,这些微分运算也是作用在r上,所以 A与(r,)终可对易,最后得到 φt(r',t)Aφ(r',t)dr',ψ(r drBusAm8(r-r)e, (r,,tc-dp(r, i)a 取A一V+m,就得到所求的方程.所以,在费米子问题 中,海森堡方程和从经典变分原理得到的方程也是一样的 相互作用 如果存在相互作用,令 密軸+1(中 +m)ψ 只要1中不包含中的导数,上述方案仍然可用.因为