有连续无限多广义坐标,这里讨论的量子场论并不是一种新的物 理理论,它只是把量子力学用于处理连续无限多广义坐标的系统 为此我们首先在N个广义坐标的系统的结果中取N→∞,得到 了广义坐标和广义动量之间的对易关系,然后又用有连续下标r 的同样形式的海森堡方程,得到了与经典变分原理结果一样的运 动方程。令 PP2+eio) 其中m是任意取的.以后我们会看到,取不同的m,只是相当于在 希尔伯特空间中做了一个正则变换.L从物理上考虑取m是甲场 粒子的物理质量是最方便的.我们将在以后讨论费曼图和S矩阵 的一章中回到这个问题.] §22傅里叶展开(自由场或非自由场都可用) 我们已经知道,在体积为Ω、具有周期边界条件的盒子里, 组成一个完备集,所以 (28) q(r,t)是个矩阵或算符,它的矩阵元都是普通函数,所以可按完 备集展开成普通的傅里叶级数.同样有 p(x,)=∑ (29) 其中张k、P都是矩阵或算符,与4有关,而与r无关.由于q=qt, 所以 (210) 令 a(e) k 2(%k+ (2I1) (212)
所以 4-k (2.13) 或 (214) 从(2.11)和(214)式得到 9k( [a(x)+atk()], p()=[ak()一ak()] 代入(28)和(29)式,并将和式中a项中的一k换成k,得到 r,t)=∑ d()e-k],(2.15) P(r, n) 4 i·r )ek].(2.16) 注意我们到这一步所用的唯一条件是{后号的完备性, 现在来求ak、的对易关系。我们已经知道 [plr, s, (r,t1 [φ(r,1),q(r,t)=【?(r,1),p(r,1)]=0 (217) 要证明 ak(),()]=8k, [a(),ak(t)]=[(),a(t)]=0 由于{的完备性,从甲的对易关系推出的对易 关系和反过来推导是等价的,而后者更简单一些,因此我们做后 种推导,注意,由周期性边界条件,有 2xl, 2xl l,0,士1,±2 L L I9
所以 ∑-1∑(4A4△)-1(△△h△b 当Q 时 dk 8x3 此外,取r和r’都在容积Q中,Q中的狄拉克8函数可定义为 8b(x-r)=0,当r÷r时 但 a3(r-r)d 我们考虑它的傅里叶展开: (r-r)=∑ C ra(r-r)dr 因此 8(r-r)=limb(r-r)=lim >Ckeik dke 用这些式子及假定的a,a的对易关系(2.18)式我们得到 p(r,t),p(x,)-i∑ io(r-r) 和 [p(r,t),p(r,i)=[q(r,1),q(r,)1=0 这些就是(2,17)式 由(23)式知道H={",其中 et=P2+-(vp)2+ v(), 20
把它写成 H-H+H,H"}n,和H1-1;dr 所以 =+1, 取 p2+(q)2 则1中不含p.利用分部积分,我们也可以写为 [p2+φ(-y2-m2)gldr, 因为 (v2+m2)q= I ax(: T++ ai(re-k :J, 20k 代入H式中,得到H用a3a的表示 ha=- (巛+a) 219) 已经知道,4ak的本征值是m=0,1,……,所以Σ4是 有下限无上限的厄米算符.因此,它的本征矢也组成一个完备集, 它们张成一个希尔伯特空间,这组完备集为 0>,a0),a10),如 k≠k,1=(a)2|0) (220) 注意a,中是可对易的,所以态矢对它们次序的交换是对称的, 这就目动得到了玻色统计,而无需把粒子的统计性质作为外加条 件,也就是说。在场算符的代数中已经包含了这一性质 如果在(212)式中取不同的m,那在(215)和(216)式中的ak 和a也就不同了,因而(2,19)式的H也随着不同:但它们间的 代数关系仍是一祥的.因为仅改变m,并不改变q(r,)和p(r,) (当然也不改变H),所以用(2,20)式组成的空间仍属于同一个希
尔伯特空间,其差别仅在于取不同的基矢.显然,希尔伯特空间中 两组不同约基矢如各为正交归一的,可以用一个么正变换联系起 来.[在(28)式前提过在具体计算中,以取m=物理质量为最 方便(见第五章费曼图).] 对于自由场1-0, H=H=Σk()a() 在海森堡方程中,取O()为a2(),立即得到 当存在相互作用时,a(t)对t的依赖可能非常复杂,它将表现出 例如碰撞等各种效应 从这一节我们可以看到,至少对自旋为0的场,场的量子化 和质点力学的量子化是完全一样的.在处理中,我们自动得到了 玻色统计,定出了希尔伯特空间.这些都和相互作用无关。实际 上,相互作用只影响希尔伯特空间中态和算符随时间的变化而写 空间本身无关,这是因为哈密顿函数是对时间平移变换的生成元 ( generator),所以它只影响时间进程 以上的讨论可直接推广至任何一组厄米的自旋为0的场q1, 2,…qn,它们的拉氏密度可写成 1(8q V(q1q2,…),(2,21) 其中q一q.显然,以上讨论的方法和分析可直接应用在这样 的系统上.当n〓2和m1mm2=m时为方便起见,(2.21)式 也可以用复场qqt来表示: 乎1xq2 因此 (222) 2-mq一V(q,q)