由定理1,有 〈R|HR灬〉 (1.26) 〈R|R 其中Em是H的第m+1个本征值,所有Ea已按大小顺序排好: 0≤E≤E1≤…≤Em≤Em+≤ 由于H无上限,所以 Em→∞,当m 时 (127) 又因为 RMR〉=(」一C*a)H(|〉-Cb1b)) 冖(H〉-C*(aH|)-C〈Hlb+CC(aH|b a〈H〉一ΣC*CEa一 ECCLEs+ΣCCE 〈|H〉一∑ C,CEEb≤〈,H 所以,应用在(126)式上得 〈Rm!Rm》≤〈 RohR)≤〈H》.(128) 因〈|H》与m无关利用(127)式,当m→∞,就有Em〈|H|0; 同时〈RmRn〉是非负的.所以,(128)式给出 〈Rn|R 因此,H的本征矢的集合是个完备集,可以把它取作基矢集,满足 (1.25)的完备集称为正交归一完备集 例1 1)H p2+v(x),其中V是有下限的,容易知道H无 上限,因为在x表象中,p 若取.〈x!)c 则有 v是有下限的,所以H亦有下限,但无上限。因此,它的本征函数 集是完备集 13
i)设θ是在二度空间中量园周的角变数,0≤6<2 中n=〈|m),则n=mm之解为 0,± 由定理2可知除了一些零测度的点集外,任何f(0)可以按这组 本征函数展开: f()= eC.efm° 这就是通常傅里叶级数展开定理的主要内容 i)在一单位球面上,H=一2.用球坐标写出 H a( sin 8 sing a8 sine agp2 它的本征函数为Ym(0,q) HYm(0, )=1(I+1)Ym(e, p) (129 这就是球谐函数,因此球诸函数组成单位球面上的完备集.通常 取 Y1 sin ee 8x Y1=√cos8,等等 兀 定理2的应用是非常广泛的.完备函数集所张成的空间称为 希尔伯特( Hilbert)空间.它是场论中的一个重要基本概念,以 后我们将要对各种量子场构造希尔伯特空]
第二章自旋为0的场 S21一般性讨论 现在,我们转向研究场的量子理论.不同类型的场量在洛仑 兹变换下有着不同的变换性质.这种变换性质决定了场的最重要 特征.因此我们根据场量的变换性质对场进行分类,并逐个加以 叙述 设有场φ,如果在洛仑兹变换下甲不变,则称甲为自旋为0的 场.如果字称守恒,而且在宇称变换下不变则φ称为标量场, 否则为赝标场。为简单起见设 P=p(r, t=t 即甲是一个厄米的自旋为0的场,也称为实的自旋为0的场 取整个系统在一容积为Q的盒子里,这是为了便于计算,在 目前的实验精度内,无法通过粒子物理实验来判断宇宙的大小 实验结果实际上是与宇宙边界无关的.这在数学上表现为只要取 9足够大,理论计算的结果就应该与边界无关。为了方便起见,我 们取馬期边条件最后再令9→。 取q场的拉氏密度为 2\ 乎)s 其中x=(r,i).以后约定重复的希腊字母指标表示从1到4 求和.因此 6 ax. a v)2-(a2) 由(2.1)式得拉氏函数为
(q(r,1)q(x,t),φr, s(q(),φ())dr, (22) 与上节讨论的质点系统的拉氏函数相比较容易看到,甲相当于广 义坐标,而中相当于广义速度。两者的主要差别是,对质点系统, 指标讠是离散的,而场的指标r是连续无限的 为了处理连续无限多的广义坐标,为方便起见,我们可把分 戒许多容积为x的小方盒(见图21).令q(r,t在每一小方盒 QL= NI 图2.1 中的平均值为q(r;t),简记为φ:(x).令q,()=q()·τ,因 为(22)式可写为 d ' r (V)2+v()ldr 其中…的项中不包括因此,对应q()的广义动量是 p() aL 中()≡P(r) ad 于是 H-∑ P,;一L p2+1(vq)+v(q)|r.(23) 2 按照量子化的一般规则,有 pA(x),q]一i计 16·
即 【p(r;,t),q(r;,t 当τ→0时, [p(r,以) (r-r) 2.4 同样,由广义坐标之间及广义动量之间的可对易,得到 [q(x,t),q(r,t)]=[p(r,t),pr,t)]=0 (25) 在海森堡运动方程(19)中取O()为q(r,),得到 [H, p(r, I P(r, a. (26) 若将(23)式中的H代入计算,利用(24)和(25)式,立即得到(2.6) 式的左方为一i(r,t),因此得 ,)=中r, 与当初用拉氏函数而取的(r,1)的定义是一致的 在海森堡运动方程(1.9)中,令0(t)一(r,1),得 一j(r,=[H,pr,t 但因为(24)式可写为 p(r,, r)=io(r-r) dp(r r, D 8q(r 最后的等式是由于 p(r,t)=8(r-r)p(r,i)4r. 所以 [H, P(r, 4] SH δq(r,t 7p t 考虑到(2.6)式,得到 φ-2φ+ 0 这个方程也可以从变分原理 得到。当然,这不是偶然的。场和普通质点系统的差别仅在于它 玉7