由于q、p均为厄米算符,所以,“的厄米共轭为 显然,“不是厄米算符.q、P可以用a、a表示为 (1.14) 因为 所以 (116) 又由 2(q-2p)(q+ 1{2+p2-(p-9)=H-1, 得到 令 H可写为 (1I7 1 1.18 我们来考虑哈密顿算符的本征值河题,在物理中这组本征值 常称为能量谱.我们要证明 n+){n (1,19) 其中|n>是H的本征态,n为非负整数,同时,如记最低能量态为 0),则 H|0=1|0), 且
n〉=-(at)"|0 (121) 由(119)式我们看到,谐振子相邻能量木征值的差是相等的,且均 等于1 我们先证明(120).取态1),使它在q表象中的表示为 d(q)〈ql>∞e-2, 因为在q表象中,户为 ,所以 中 )中 因此有 NI> 由于N是非负的,而我们已经找到了一个态|>,使N|>=0所 以0是N的最小本征值,相应的本征态{)记作|0).显然 5 是H的最小本征值,而0是最低能量态 我们用归纳法来证明(121)式中的|n>也是H的本征态,假 定|n)对m≤m是H的本征态,所以它也是N的本征态.因为 Na taat (a'a+1)=a(N+1) 又按(121)式, 所以 N|n+1) √加+1 √n+1 v八4h飞)h (n+1)|n+1)
从而 m+1>(m+3)|m+ 注意上式对态矢是齐次的,所以它并不能确定数值因子,但仿照 上述方法容易证明如果已取|0)是归一的,即 则我们定义的|m也是归一的, n〉=1 此外,按(1.21)式,有 an>=√n+1|n+1), (1.22) 历以a'|n-1)-√n|n), n-1)=}=(ata+1)n-1) 〃1z 因此,通常把a称为湮灭算符,a称为产生算符,N=aa则称为 占据数算符( occupation number operator).a和a'在粒子物理中 起着极为重要的作用,读者应该非常熟悉它的性质和应用 设想一个由!0),|1),…张成的空间,将这组基矢写成列矩 阵,由正交归一性: 0 就得到a与a的矩阵表示: 00 1.24
513某毖普遍性定理 我们现在来讨论两条有关本征值问题的定理,它们是极为重 要的和具有普遍佐的定理 定义令H是一个厄米算符,如果对任意态协),》总是 大于某一个固定的常数c,就称H是有下限的 定理1设H是有下限的厄米算符,令|a)是H的本征态, H a>= ea, a=0 并且E≤E1≤E1≤…,则 有 1.总可以取 Kalb>=d (125) 〈|H 丿的最小值为 )E,假如|〉为任意态 〔i)E1,假如}〉为满足(0〉=0的任意态; (i)E,假如|〉为满足〈0|〉=〈1| 0的任意态 证明由于H是厄米算符,1.是显然的,令 E |H|∑ 〈|冫 简记 为求E的最小值,任取ψ,作变分ψ→+.E的相应变动为 E 十 φ8 φ种(小ψ 中 ψ(H一E帅十ψ(H一E》]
记(H一E)ψ〓f.若f=0,显然δE冖0.若f÷0,取 沙=f,日为一无穷小的实量,所以 δE φ中φ 为使E为极值,必须f四0.这就说明E、中分别为H的本征值及 本征矢.又因为最小本征值为E,所以就证明了(). 为证明(ⅱi)和(ii),令我们现在讨论的空间的基矢组为v n1,……。取这些基矢互为正交,并令v=10).先考虑由{},i≥1 所张成的子空间,所有与10正交的态矢都属于这个子空间,因为 对所有v(i≥1),H都满足 v|Hlv;}=E(vv;〓0. 所以,H;也属于{t;},1这子空间,仿照(1)证明的推理, 就得到E1是其中的最小值。依此类推,就得到(i). 定义一个态矢量集{}a》称为完备的,是指对任一态!》存 在一组常数{C},若令 Rm)≡ ∑c|a 则有 im〈Rn|Rn)曰0 定2如果一个厄米算符H有下限而无上限,那末它的本 征态集{a)}是完备的 证明因为H是厄米算符我们总可取{|a)}满足(125)式 假如{a)张成有限维空间,取C=(a>,那么,当m大于空间 维数N时,|Rn就等于0我们来对{|a》)张成无限维空间进行 证明。 因为H有下限,作替换H→H+常数,总可以使E≥0,代 入C.〓〈a|),则 Rm〉=!)-∑Cl|a 满足