本书书名是《场论与粒子物理学》,这里所说的场论是指定域 场论.为什么要讲场论呢?因为它是研究粒子物理的主要理论 工具.我们将会看到,弱作用和电磁相互作用的实验证明了差不 多在10-1厘米长度范围内,定域场论是适用的,在更小的空间范 围内,目前还没有充分的证据来证明定域场论的适用性 首先讨论一下量纲.我们分别用[M、[L][T1表示质量、长 度和时间的量纲。在通常单位制中,[M]L]T是独立的.因 此以下一些常数的量纲是: [L] ITI 方=1×普朗克常数:[h=M1, T 精细结构常数:一137:1a=[1, 其中e为电荷,任何A的量纲以[A}表示 为了使通常的方程A=B成立,一个必要的条件是[A] B].但是,这种验证不一定要用三个独立的量纲,也可以只用 个,这就是我们要在本书中采用的自然单位制,在这个单位制里, 取 舌=1 于是 [L]〓[T], 【M]=[L] 验证方程正确性的量纲方法仍然适用.在这个单位制里,并不失 去任何关于量纲的信息只须把c,的适当组合放进去,就可以化 成普通单位制.同样,在普通单位制中取c=h=1,就得到自然 单位制、后者的优点是比较简单
第一章质点力学(复习) 511经典力学 我们复习一下经典力学.记广义坐标为q(=1,…,N), 即假定坐标空间的维数是有限的,例如,我们取的是a个质点,坐 标空间的维数N=3n.设拉氏函数为 L〓L(q分). 如上式,以后4符号中的点都一概表示对时间t的导数.拉氏函 数所满足的变分形式的方程为 8 Los 0 (1.2) 其中δ表示在适当边界条件下变动广义坐标所引起的变动,这就 是作用量原理。相应的拉氏方程为 d oL aL (1,3) 定义广义动量户为 OL 6 (14) 由此可以定义哈密顿函数为 H≡一L=H(q 这个变换通常称做苞让德变换,[它在热力学中是经常用到的,例 如把吉布斯热力学势变成亥姆霍兹自由能,1特别需要注意的是, L和H所采用的自变量是不同的,前者是广义坐标和广义速度后 者是广义坐标和广义动量。 我们采用重复的下标或上标表示求和的惯例。于是H可简写 为
H=pG,一L 由拉氏方程及H的定义,可以推出哈氏方程为 aH 4 (16) 由(11)和(15)式得 OL -(2+(m() aH L 考虑到(17)(14)和(1.3)式得 arl L 同样 H ;十p; q7 OL\!8 0;q、p;q 这就证明了(1.6)式 哈氏方程和拉氏方程是等价的.哈氏方程的好处是其中只出 现对κ的一阶导数,而拉氏方程中则出现对t的二阶导数.付出 的代价是在哈氏方程中方程个数增加了一倍 §12量子化 现在来进行量子化在量子力学中,首先给定哈密顿函数 H(P引)它是在对应的经典力学系统的哈密顿函数中把p、q当 作算符而得到的.我们先来确定算符的代数关系。定义A和B间 的对易子为 [A3B]=AB一BA 那末,p(以)和q()间的对易子就是(记住我们采用的是自然单 位制) [P(t),q;()1=-i0 [P(t),p:(t)]=【9(),q()]=0
其中8;为克朗尼克 Kronecker)符号: 在经典力学极限中,对易子就变成经典泊松括号 从经典力学到量子力学的过渡,一个重要之点是:在经典力 学中是实数的物理量,在量子力学中则是一个厄算符即一个和 它自身的复共轭转置算符相等的箅符.如果写成矩阵形式,即为 A;=(At);=(A.); 所以 q=q,P;=p,L=L↑和H-H 在经典力学中,p、q随时间变化的关系就是哈氏方程。在 量子力学中有海森堡方程: [HO()=-i(z), (19) 其中0()是代表物理量的算符,它也是经典泊松括号在量子力 学中的推广 常常要提出来的一个问题是:在经典力学中p、q是可对易 的,因此,它们在乘积中的次序是任意的.但当从经典力学向量子 力学过渡时,p、q在H的乘积项中的次序应如何确定?例如, Hi-Pa t ap,, hi= 2pqpqp, 在经典力学中代表同样的系统,在量子力学中则不一样.我们的 回答是:在量子力学中,它们代表了两个不同的系统,两者有着相 同的经典极艰.在一个确定的量子力学的物理系统中,算符相乘 的次序应如何决定要看其计算结果是与笠验相符,由此来决宝 那一个才是系统的正确的哈密顿函数 例1请振子 最简单的诸振子是频率为1的一维谐振子。它的拉氏函数为 L=L(q,父) 所以
L (1.10) HGP, g (p2+q2) 因此,在经典力学中利用哈氏方程,即得(110)和 OH q 这两个式子就是经典谐振子方程.在经典力学中,所有这些函数 的对易子都等于零它们称为C数( commuting,即对易的) 我们来进行量子化,即把上面式子中的C数换成q数(算符), 即有 =[H,p 1(q(9P-p)-(-q)q)=i, 从而 注意到H的表示式中p、是完全对称的因此,在上述推导中,若 作替换: 5q→p 则H不变,对易子也不变。从而 d=[H,q]一一 q e p 所以,谐振子的量子力学方程和经典力学方程在形式上是完全 样的.前者是从海森堡方程导出的,后者则是从哈氏方程导出的, 这也说明了量子力学中的海森堡方程相当于经典力学中的哈氏方 程 我们进一步研究木征值问题.定义 }-(q+i) (112)