第十一章渐进法 第一节引言 现代工程结构中出现了越来越多的超静定结构,其中大多数是梁和刚架(组合结构), 如:教学楼,图书馆、外招、科学馆、电教馆等。 基本解法:力法,位移法但是我们发现:无论是力法或位移法,如果未知量数目在 三个以内,算起来比较容易,三个一五个,有点费劲,五个以上一十个,比较困难,而 十个以至更多未知量,很困难或无法用力法或位移法计算,而工程实际结构,也就是横 向三跨七层刚架4×7+7=35个(位移法)7×3×3=63个(力法)。纵向连续梁,七跨或 八跨,也有7、8个未知量。 用力法及位移法求解十分困难,逼的人们又想其它方法,于是近几十年来,在力法 几位移法的基础上,又发展了许多实用的计算方法:(渐进法,数值法)。 力矩分配法:适用于无结点线位移的刚架AND多跨连续梁 力矩分配法和位移法联合应用:有侧移刚架(线位移较多时,也很麻烦)主要用在单 层多跨刚架 无剪力分配法:一些特殊的有侧移刚架。 迭代法:多层多跨刚架 力矩分配法和位移法联合求解:单层多跨刚架,有侧移 电算:(矩阵位移法OR有限元法) 手算:1、精确力法、位移法、混合法缺点:当未知量较多时 2、渐进法力矩分配法、无剪力分配法、迭代法、反弯点(D值法)、弯矩二次 分配法、联合法优点:避免求解联立方程组,但又能满足工程需要 电算:矩阵力法、矩阵位移法、矩阵混合法 力矩分配法 无剪力分配法:单层多跨对称刚架(工业厂房)和一些特殊的有侧移刚架 和力矩分配法类似的渐进法 迭代法:多层刚架(多个线位移),有、无侧移刚架均可。(有铰接点,简式刚架 复式刚架和变截面杆件组成的刚架。) 这两种方法的理论基础均是位移法,在计算中采用逐次修正的步骤,一轮一轮的提 高计算精度。机械→简单。 其他对于多层多跨刚架近似方法: 分层法:多层多跨刚架在竖向荷载作用下; 反弯点法:水平荷载,层数不多的多层多跨刚架; D值法:水平荷载作用下层数较多的高层多跨刚架 弯矩二次分配法:竖向荷载作用下多层多跨刚架;
第十一章 渐进法 第一节 引言 现代工程结构中出现了越来越多的超静定结构，其中大多数是梁和刚架（组合结构）， 如：教学楼，图书馆、外招、科学馆、电教馆等。 基本解法：力法，位移法但是我们发现：无论是力法或位移法，如果未知量数目在 三个以内，算起来比较容易，三个—五个，有点费劲，五个以上—十个，比较困难，而 十个以至更多未知量，很困难或无法用力法或位移法计算，而工程实际结构，也就是横 向三跨七层刚架 4×7+7=35 个（位移法）7×3×3=63 个（力法）。纵向连续梁，七跨或 八跨，也有 7、8 个未知量。 用力法及位移法求解十分困难，逼的人们又想其它方法，于是近几十年来，在力法 几位移法的基础上，又发展了许多实用的计算方法：（渐进法，数值法）。 力矩分配法：适用于无结点线位移的刚架 AND 多跨连续梁 力矩分配法和位移法联合应用：有侧移刚架（线位移较多时，也很麻烦）主要用在单 层多跨刚架 无剪力分配法：一些特殊的有侧移刚架。 迭代法：多层多跨刚架 力矩分配法和位移法联合求解：单层多跨刚架，有侧移 电算：（矩阵位移法 OR 有限元法） 手算：1、精确 力法、位移法、混合法 缺点：当未知量较多时 2、渐进法 力矩分配法、无剪力分配法、迭代法、反弯点（D 值法）、弯矩二次 分配法、联合法 优点：避免求解联立方程组，但又能满足工程需要 电算：矩阵力法、矩阵位移法、矩阵混合法 力矩分配法：； 无剪力分配法：单层多跨对称刚架（工业厂房）和一些特殊的有侧移刚架 和力矩分配法类似的渐进法 迭代法：多层刚架（多个线位移），有、无侧移刚架均可。（有铰接点，简式刚架， 复式刚架和变截面杆件组成的刚架。） 这两种方法的理论基础均是位移法，在计算中采用逐次修正的步骤，一轮一轮的提 高计算精度。机械→简单。 其他对于多层多跨刚架近似方法： 分层法：多层多跨刚架在竖向荷载作用下； 反弯点法：水平荷载，层数不多的多层多跨刚架； D 值法：水平荷载作用下层数较多的高层多跨刚架； 弯矩二次分配法：竖向荷载作用下多层多跨刚架；
第二节力矩分配法的基本原理 理论基础是位移法,解题方法是渐进法。 杆端M的正负和位移法相同 1、转动刚度(劲度系数)S:不同杆件对于杆端转动的抵抗能力是不同的。杆件AB的 A端(或称近端)产生单位转角时,A端所需施加的力矩值 与杆件线刚度I及远端支承条件有关 远端为固定支座:S=4i 铰支座:S=3 定向支座:SA=i 自由端:SA=0 注:将A端看成可转动不可移动的刚结点,SAB就代表当刚结点产生单位转角时杆端A 引起的杆端弯矩。 2、传递系数C:当杆件AB仅在A端有转角时,引起B端的弯矩MBA称为传递弯矩 远端为固定支座:CAB=1/2 铰支座、自由端:C=0 定向支座:CAB 3、弯矩分配系数u:只有一个结点角位移,且在相应结点作用作用一个外力偶的超静定 基本未知量Z1 转角位移方程: 位移法基本方程: 求Z→各杆端弯矩:近端e、远端f →M图 MAB=3i8Z1=SB.Z1 MAC=iCZ1=ScZi Mn =4inzi=sn.z 根据平衡条件 MaBtMac+MAD=M S M ss, M Map Sos 注:1、M将汇交于A结点各杆的转动刚度的比例分配给各杆的A端,转动刚度越大, 所承担的弯矩越大
第二节 力矩分配法的基本原理 理论基础是位移法，解题方法是渐进法。 杆端 M 的正负和位移法相同。 1、转动刚度（劲度系数）S：不同杆件对于杆端转动的抵抗能力是不同的。杆件 AB 的 A 端（或称近端）产生单位转角时，A 端所需施加的力矩值 与杆件线刚度 I 及远端支承条件有关： 远端为固定支座： S i AB = 4 铰支座： S i AB = 3 定向支座： S i AB = 自由端： SAB = 0 注：将 A 端看成可转动不可移动的刚结点，SAB 就代表当刚结点产生单位转角时杆端 A 引起的杆端弯矩。 2、传递系数 C：当杆件 AB 仅在 A 端有转角时，引起 B 端的弯矩 MBA 称为传递弯矩。 AB BA AB M M C = 远端为固定支座： CAB =1/ 2 铰支座、自由端： CAB = 0 定向支座： CAB = −1 MBA CAB MAB = . 3、弯矩分配系数 u：只有一个结点角位移，且在相应结点作用作用一个外力偶的超静定 结构 (E) 基本未知量 Z1 转角位移方程： 位移法基本方程： 求 Z1各杆端弯矩：近端 e、远端 f M 图 1 1 MAB = 3iAB.Z = SAB.Z 1 1 M AC = iAC .Z = S AC .Z 1 1 MAD = 4iAD.Z = SAD.Z 根据平衡条件： M AB＋M AC＋M AD ＝M S Aj Z ＝ M 1 M S S M Aj AB AB = M S S M Aj AD AD = M S S M Aj AC AC = 注：1、M 将汇交于 A 结点各杆的转动刚度的比例分配给各杆的 A 端，转动刚度越大， 所承担的弯矩越大
弯矩分配系数 Mu=l4M分配弯矩记为M4 4、根据传递系数:MB=0MCa=-McMm=1/2MnDM/A:传递弯矩 推 任意荷载下单结点的超静定梁、刚架: 单结点刚架 采用叠加法 采用位移法计算时:1z1+R1p=0 自由项:Rp=M2+M+M=∑M刚臂反力矩:等于汇交于结点的各杆杆端固 端弯矩的代数和,即各固端弯矩所不能平衡的差额,又称…不平衡力矩。 系数:h1=412+313+14=S2+S3+S4=∑S,汇交于结点的各杆端劲度系数的总 Z 各近端弯矩:由叠加M=Mp+M1Z1 M2=M5+S251=M5+n1(∑M M13=M}3+S3 ∑MzM+a3(∑M) MM+53x1=M1+n∑M)固端弯矩与分配弯矩之和、分系数 远端弯矩: M2=M21+C12S2 f1+C122(-∑M)
2、 = k Ak Aj Aj S S -弯矩分配系数 M AJ = u Aj .M 分配弯矩 记为 u M Aj 3、 = A u Aj 1 4、根据传递系数： MBA = 0 MCA = −M AC MDA 2MAD =1/ C M jA ：传递弯矩 推广 二、任意荷载下单结点的超静定梁、刚架： 1、单结点刚架： 采用叠加法 采用位移法计算时： r11Z1 + R1P = 0 自由项： = + + = F j F F F R1P M12 M13 M14 M1 刚臂反力矩：等于汇交于结点的各杆杆端固 端弯矩的代数和，即各固端弯矩所不能平衡的差额，又称…不平衡力矩。 系数： = + + = S + S + S =S j r i i i 11 4 12 3 13 14 12 13 14 1 汇交于结点的各杆端劲度系数的总 和 − = − = j F j P S M r R Z 1 1 11 1 1 各近端弯矩：由叠加 M = M P + M1Z1 ( ) = + − − = + F j F j F F j M u M S M M M S 12 12 1 1 1 12 12 12. . ( ) = + − − = + F j F j F F j M u M S M M M S 13 13 1 1 1 13 13 13. . ( ) = + − − = + F j F j F F j M u M S M M M S 14 14 1 1 1 14 14 14. . 固端弯矩与分配弯矩之和、分配系数 远端弯矩： ( ) = + − − = + F j F j F F j M C u M S M M M C S 21 12 12 1 1 1 21 21 12 12 . . .
M1=M+Cn51MM+Cn1(∑M M1=M2+Cn5∑S=M5+C1n1∑M)固端弯矩与传递弯矩之和、传 M 递系数 2、根据上述结构,总结过程: ①、固定结点:加入刚臂,此时各杆端有固端弯矩,而结点上有不平衡弯矩,它暂时由 刚臂承受; ②、放松结点:取消刚臂,让结点转动。相当于在结点上加入一个反号的不平衡力矩, 于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的比例 分配给各近端,于是各近端弯矩等于固端弯矩与分配弯矩之和,而远端弯矩等于固端弯 矩与传递弯矩之和 例1:单结点连续梁 例2:单结点无侧移刚架:
( ) = + − − = + F j F j F F j M C u M S M M M C S 31 13 13 1 1 1 31 31 13 13 . . . . ( ) = + − − = + F j F j F F j M C u M S M M M C S 41 14 14 1 1 1 41 41 14 14 . . . . 固端弯矩与传递弯矩之和、传 递系数 2、根据上述结构，总结过程： ①、固定结点：加入刚臂，此时各杆端有固端弯矩，而结点上有不平衡弯矩，它暂时由 刚臂承受； ②、放松结点：取消刚臂，让结点转动。相当于在结点上加入一个反号的不平衡力矩， 于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的比例 分配给各近端，于是各近端弯矩等于固端弯矩与分配弯矩之和，而远端弯矩等于固端弯 矩与传递弯矩之和。 例 1：单结点连续梁 例 2：单结点无侧移刚架：
第三节用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 对于只有一个结点角位移,一次放松就可消除刚臂,因此结果为精确解。对具有两个以 上结点角位移的连续梁和刚架,可以采用逐个结点轮流放松的办法,把各结点约束力矩 轮流进行分配、传递,直到各结点约束力矩小到可略去不计。再叠加。 例1:三跨等截面连续梁叙述求解思路 q1、q2两个独立结点角位移 、求解思路 1、位移法求解有两个未知量φ=Z,φ=Zx,用附加刚臂将结点1、2加以固定,求得 固端弯矩为 Ms,=Pab(I+b) P·l=90.0(kN.m) M=122=30m M(CB=ql2=250.0KN·m McD=-Pab2/12=-187.5KNm MC=Pa2b/12=112.5KN·m 2、求得1、2两处的不平衡力矩: fb,=300-600=-300KN·m ∑M5=600-450=150KN·m 也就是:加了两个附加刚臂限定1、2转动,相当于在1、2两截面加了两个约束力 矩M=M,而原结构1、2处无外力矩作用且有转角,所以必须消除这两个不平衡力 矩,应放松1、2结点,使它们发生与实际结构相同的角位移。 位移法中:同时放松两个结点,一次恢复到原来的变形位置,并用叠加法得位移法 典型方程,联立解q1,q2 力矩分配法能否照猫画虎呢? 看,同时放松1、2,消除不平衡力矩∑M、∑M2 ∑M按分配系数反号分给10、12端,12端并传给21端及23端:∑M2按分配
第三节 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 对于只有一个结点角位移，一次放松就可消除刚臂，因此结果为精确解。对具有两个以 上结点角位移的连续梁和刚架，可以采用逐个结点轮流放松的办法，把各结点约束力矩 轮流进行分配、传递，直到各结点约束力矩小到可略去不计。再叠加。 例 1：三跨等截面连续梁叙述求解思路 1、2两个独立结点角位移 一、求解思路： 1、位移法求解有两个未知量1=Z1，2=Z2，用附加刚臂将结点 1、2 加以固定，求得 固端弯矩为： 90.0( ) 16 3 2 ( ) 2 P l KN m l Pab l b M f BA = = + = M ql KN m f BC = − = −250.0 12 1 2 M ql KN m f CB = = 250.0 12 1 2 M Pab l KN m f CD = − / = −187.5 2 2 M Pa b l KN m f DC = / = 112.5 2 2 2、求得 1、2 两处的不平衡力矩： M KN m F j = 300 − 600 = −300 1 M KN m F j = 600 − 450 =150 2 也就是：加了两个附加刚臂限定 1、2 转动，相当于在 1、2 两截面加了两个约束力 矩 f C f M B = M ，而原结构 1、2 处无外力矩作用且有转角，所以必须消除这两个不平衡力 矩，应放松 1、2 结点，使它们发生与实际结构相同的角位移。 位移法中：同时放松两个结点，一次恢复到原来的变形位置，并用叠加法得位移法 典型方程，联立解1，2 力矩分配法能否照猫画虎呢？ 看，同时放松 1、2，消除不平衡力矩 F M1 j 、 F M2 j F M1 j 按分配系数反号分给 10、12 端，12 端并传给 21 端及 23 端； F M2 j 按分配