第五章静定平面桁架 §5-1概述 梁刚架:受载后主要弯矩,应力不均匀(变截面;截面形式工形 拱式结构:M小N大,应力分布比较均匀;施工复杂,需要坚固的结构支承 桁架:M小,应力分布均匀,适用于较大空间,用料省自重轻 大跨屋架、托架、吊车梁、南京长江大桥主体结构 桁架定义 桁架:由若干直杆在其两端全用铰连接而成的结构,当荷载只作用在结点上时,各 杆只有N,截面上的应力分布均匀,可以充分发挥材料的作用 平面桁架 桁架可分为{空间桁架:(网架、井架) 实际桁架(较复杂、结合例子) 1)}结点:焊接、铆接、近乎刚结、介于铰于刚结之间 2)}轴线:不能绝对平、直。 3)}杆的结合区:各杆也不一定完全相交于一点。有个结合区域、应力十分复杂。 4)}自重:非结点荷载,荷载、支反力:不全是作用在结点上 但经过实验和工程实践证明:以上因素对于桁架属次要因素,对桁架受力影响较小。 取桁架的计算简图时,引入如下假定:(计算时) 理想桁架:(计算简图)满足这些假定的桁架 1)桁架结点:所有结点为理想铰,光滑、无摩擦 2)杆件的轴线:绝对平直、一平面内、通过铰的中心(理想轴) 3)荷载、支反力:所有外力作用于结点上并且位于桁架平面内。(结点荷载) 4)线弹性材料,小变形。 主应力(基本应力):按理想平面桁架计算得到的应力。按理想桁架计算,可以反映桁 架的主要受力性能 次应力(附加应力):实际桁架与理想桁架之间的差异引起杆件弯曲,产生附加的弯曲 内力由此产生的应力 理想桁架,各杆只产生轴力(二力杆、轴力杆) 、桁架的组成名称 (坡屋顶、房子屋架) 弦杆(上弦杆、下弦杆)、 腹杆(竖杆、斜杆)、端斜杆(端柱) d:节间距离,l跨度,H:桁高
1 第五章 静定平面桁架 §5-1 概述 梁刚架：受载后主要弯矩，应力不均匀（变截面；截面形式工形 拱式结构：M 小 N 大，应力分布比较均匀；施工复杂，需要坚固的结构支承 桁架：M 小，应力分布均匀，适用于较大空间，用料省自重轻 大跨屋架、托架、吊车梁、南京长江大桥主体结构 一、 桁架定义： 桁架：由若干直杆在其两端全用铰连接而成的结构，当荷载只作用在结点上时，各 杆只有 N，截面上的应力分布均匀，可以充分发挥材料的作用。 桁架可分为 { 平面桁架： 空间桁架：（网架、井架） 实际桁架（较复杂、结合例子） 1）}结点：焊接、铆接、近乎刚结、介于铰于刚结之间。 2）}轴线：不能绝对平、直。 3）}杆的结合区：各杆也不一定完全相交于一点。有个结合区域、应力十分复杂。 4）}自重：非结点荷载，荷载、支反力：不全是作用在结点上。 但经过实验和工程实践证明：以上因素对于桁架属次要因素，对桁架受力影响较小。 取桁架的计算简图时，引入如下假定：（计算时） 理想桁架：（计算简图）满足这些假定的桁架 1）桁架结点：所有结点为理想铰，光滑、无摩擦。 2）杆件的轴线：绝对平直、一平面内、通过铰的中心（理想轴）。 3）荷载、支反力：所有外力作用于结点上并且位于桁架平面内。（结点荷载） 4）线弹性材料，小变形。 主应力（基本应力）：按理想平面桁架计算得到的应力。按理想桁架计算，可以反映桁 架的主要受力性能 次应力（附加应力）：实际桁架与理想桁架之间的差异引起杆件弯曲，产生附加的弯曲 内力由此产生的应力 理想桁架，各杆只产生轴力(二力杆 、轴力杆) 二、 桁架的组成名称 （坡屋顶、房子屋架） 弦杆(上弦杆、下弦杆)、 腹杆(竖杆、斜杆)、端斜杆(端柱) d:节间距离，l:跨度，H:桁高
桁架的分类(结合图例) 按外形特点分:平行弦桁架 三角形桁架 抛物线桁架 折弦桁架 按支座反力的性质分: 梁式桁架(无推力桁架) 拱式桁架(有推力桁架) 按静力特性:静定桁架(有无多余约束、计算方法)拱式桁架 超静定桁架 按几何组成方式分: 简单桁架:由基础或一个基本的铰结三角形开始,每次用不在同一直线上的两链杆联结 一新结点 联合桁架:由简单桁架组成;按两刚片规则组成的联合桁架、按三刚片规则组成的联合 桁架 复杂桁架:凡不属于前两类的均为此类。 联合桁架 复杂桁架 四、桁架的计算方法 图解法 解析法:截取桁架中的一部分作为隔离体,由隔离体所受力系的平衡,建立平衡方程, 求解未知杆的轴力。又分为 结点法:隔离体只含一个结点。适用于简单桁架全部杆件内力的求解。 截面法:隔离体含两个及以上的结点。适用于联合桁架,桁架少数指定杆件的内力 计算。 联合法:解一道题或求某个杆件内力,需要用到结点法和截面法。 §5-2结点法 1、顺序(先求支座反力): 从前面桁架的假定可知:桁架各杆的轴线汇交于各个结点,且桁架各杆只受轴力,因此 作用于任一结点的各力(荷载、反力、杆件轴力)组成一个平面汇交力系,存在两个独
2 三、 桁架的分类（结合图例） 按外形特点分：平行弦桁架 三角形桁架 抛物线桁架 折弦桁架 按支座反力的性质分： 梁式桁架(无推力桁架) 拱式桁架(有推力桁架) 按静力特性：静定桁架（有无多余约束、计算方法） 拱式桁架 超静定桁架 按几何组成方式分： 简单桁架：由基础或一个基本的铰结三角形开始，每次用不在同一直线上的两链杆联结 一新结点 联合桁架：由简单桁架组成；按两刚片规则组成的联合桁架、按三刚片规则组成的联合 桁架 复杂桁架：凡不属于前两类的均为此类。 联合桁架 复杂桁架 四、桁架的计算方法 图解法： 解析法：截取桁架中的一部分作为隔离体，由隔离体所受力系的平衡，建立平衡方程， 求解未知杆的轴力。又分为： 结点法：隔离体只含一个结点。适用于简单桁架全部杆件内力的求解。 截面法：隔离体含两个及以上的结点。适用于联合桁架，桁架少数指定杆件的内力 计算。 联合法： 解一道题或求某个杆件内力，需要用到结点法和截面法。 §5-2 结点法 1、顺序（先求支座反力）： 从前面桁架的假定可知：桁架各杆的轴线汇交于各个结点，且桁架各杆只受轴力，因此 作用于任一结点的各力（荷载、反力、杆件轴力）组成一个平面汇交力系，存在两个独
立的平衡方程,每个结点两个未知力可解因此一般从未知力不超过两个的结点开始依次 计算 2、未知杆的轴力 求解前未知杆的轴力所有都设为拉,背离结点,由平衡方程求得的结果为正,则假 定正确,若为负则和假设相反,为压力 3、已知杆的轴力( two ways) 1)按实际轴力方向代入平衡式,本身无正负。 2)由假定方向列平衡方程式,代入相应数值时考虑轴力本身的正负号。 3)内力本身的正负和平衡方程的正负属两套符号系统。 4、平衡方程形式:投影轴的选择 平衡方程可以是力的投影平衡式(也可以是力矩平衡式),但只有两个独立的,因 此列平衡方程时,视实际情况选取合适的投影轴。尽量使每个平衡方程只含一个未知力, 避免解联立方程,这时会用到力的分解问题,按平行四边形法则分成两个分力,分力和 合力大小满足三角函数关系。投影三角形: 1=2=12杆件长度l:水平、竖直方向投影长度k、l 内力N:水平、竖直方向投影分量:Nx、Ny 5、结点平衡的特殊形式 不共线的两杆结点,无荷载作用两杆内力均为0; 三杆结点上无荷载作用,且两杆在一条直线上,则S3=0,S1=S2(大 小相等,同为拉,同为压)。 c)三杆相交的结点,二杆共线,另一杆有共线的外力P作用,则单杆的内力为P, 其余两共线直杆内力相等 四杆结点无荷载作用,且四杆两两成直线,则同一直线上两杆轴力大小 相等,性质相同,S1=S2,S3=S4。 零杆:指杆件轴力为零的杆件,虽不受轴力,但不能理解成多余的杆件 因此,一般情况下,求桁架内力前,先判别一下有无0杆和内力相同的杆,以简化 计算
3 立的平衡方程，每个结点两个未知力可解.因此一般从未知力不超过两个的结点开始依次 计算。 2、未知杆的轴力 求解前未知杆的轴力所有都设为拉，背离结点，由平衡方程求得的结果为正，则假 定正确，若为负则和假设相反，为压力。 3、已知杆的轴力（two ways） 1）按实际轴力方向代入平衡式，本身无正负。 2）由假定方向列平衡方程式，代入相应数值时考虑轴力本身的正负号。 3）内力本身的正负和平衡方程的正负属两套符号系统。 4、平衡方程形式：投影轴的选择 平衡方程可以是力的投影平衡式（也可以是力矩平衡式），但只有两个独立的，因 此列平衡方程时，视实际情况选取合适的投影轴。尽量使每个平衡方程只含一个未知力， 避免解联立方程，这时会用到力的分解问题，按平行四边形法则分成两个分力，分力和 合力大小满足三角函数关系。投影三角形： y y x x l N l N l N = = 杆件长度 l；水平、竖直方向投影长度 lx、ly 内力 N；水平、竖直方向投影分量：Nx、Ny 5、结点平衡的特殊形式 a） 不共线的两杆结点，无荷载作用两杆内力均为 0； b） 三杆结点上无荷载作用，且两杆在一条直线上，则 S3=0，S1= S2（大 小相等，同为拉，同为压）。 c）三杆相交的结点，二杆共线，另一杆有共线的外力 P 作用，则单杆的内力为 P， 其余两共线直杆内力相等； d） 四杆结点无荷载作用，且四杆两两成直线，则同一直线上两杆轴力大小 相等，性质相同，S1= S2，S3= S4 。 零杆：指杆件轴力为零的杆件，虽不受轴力，但不能理解成多余的杆件 因此，一般情况下，求桁架内力前，先判别一下有无 0 杆和内力相同的杆，以简化 计算
6、适用于:简单桁架所有杆件的内力 7、结点法求解简单桁架计算步骤: 1)、几何组成分析 2)、求支座反力 3)、结点法:注意次序 例 例:P55 400 4 3003Q0305001300 400 400 400IG 6000 6000 下EN 3500 50 100 25 2000 2000 12000
4 6、适用于：简单桁架所有杆件的内力 7、结点法求解简单桁架计算步骤： 1）、几何组成分析 2）、求支座反力 3）、结点法：注意次序 例 1： 例：P55
§5-3截面法 (结合例子说明) 已知桁架节点距离为d,高度为h。所受节点 12713x1荷载为P。求N1011Ny4、N4 1截面法的要点:根据求解问题的需要,用一个合适截面切断拟求内力的杆件,将桁 架分成两部分,从桁架中取出受力简单的一部分作为隔离体(至少包含两个结点), 隔离体受力(荷载、反力、已知杆轴力、未知杆轴力)组成一个平面一般力系,可 以建立三个独立的平衡方程,由三个平衡方程可以求出三个未知杆的轴力。 注意 1)一般情况下,选截面时,截开未知杆的数目不能多于三个,不互相平行,也不交于 点 2)截面截开后,未知杆的内力:,已知杆轴力:同结点法 2、据所选用的平衡条件的不同: 1)投影法:若三个未知力中有两个力的作用线互相平行,将所有作用力都投影到与此 平行线垂直的方向上,并写出投影平衡方程,从而直接求出另一未知内力。 例:截面1-1截到三杆,其中两杆互相平行,求第三杆内力时,取截面左(或右)边为 隔离体,将所有作用力都投影到与两平行杆垂直方向上,列平衡方程: Y=0 V-P-N cosa=0 N=-P=g-。Q34为与桁架同跨度的简支梁,在同样荷载作用下在节间 cos a cos a 3-4的剪力。 2)力矩法:以三个未知力中的两个内力作用线的交点为矩心,写出力矩平衡方程,直 接求出另一个未知内力 ①∑Mn2=0n1×2-N,b=0N14=1×2=M1,Mm为与桁架同跨度的简支梁, h 在同样荷载作用下在节点10的弯矩。 ②∑M4=0N V1×3d-PdM4 M4为与桁架同跨度的简支梁,在同样荷 h h 载作用下在节点4的弯矩。 注 1)注意力的分解:合力矩定理,确定隔离体后,力可以沿着其作用线移动到某 个结点进行分解,不影响隔离体的平衡(不易确定力臂时)
5 §5-3 截面法 （结合例子说明） 已知桁架节点距离为 d，高度为 h。所受节点 荷载为 P。求 N10-11、N34、N10-4、 1 截面法的要点：根据求解问题的需要，用一个合适截面切断拟求内力的杆件，将桁 架分成两部分，从桁架中取出受力简单的一部分作为隔离体（至少包含两个结点）， 隔离体受力（荷载、反力、已知杆轴力、未知杆轴力）组成一个平面一般力系，可 以建立三个独立的平衡方程，由三个平衡方程可以求出三个未知杆的轴力。 注意： 1）一般情况下，选截面时，截开未知杆的数目不能多于三个，不互相平行，也不交于 一点。 2）截面截开后，未知杆的内力： ，已知杆轴力：同结点法。 2、据所选用的平衡条件的不同： 1）投影法：若三个未知力中有两个力的作用线互相平行，将所有作用力都投影到与此 平行线垂直的方向上，并写出投影平衡方程，从而直接求出另一未知内力。 例：截面 1-1 截到三杆，其中两杆互相平行，求第三杆内力时，取截面左（或右）边为 隔离体，将所有作用力都投影到与两平行杆垂直方向上，列平衡方程： Y = 0 V1 − P − N10−4 cos = 0 cos cos 1 3 4 10 4 − − = − = V P Q N 。Q3-4 为与桁架同跨度的简支梁，在同样荷载作用下在节间 3-4 的剪力。 2）力矩法：以三个未知力中的两个内力作用线的交点为矩心，写出力矩平衡方程，直 接求出另一个未知内力 ① M10 = 0 V1 2d − N34h = 0 h M h V d N 1 10 34 2 = = 。M10 为与桁架同跨度的简支梁， 在同样荷载作用下在节点 10 的弯矩。 ② M4 = 0 h M h V d Pd N 1 4 10 11 3 = − − − = 。M4 为与桁架同跨度的简支梁，在同样荷 载作用下在节点 4 的弯矩。 注： 1）注意力的分解：合力矩定理，确定隔离体后，力可以沿着其作用线移动到某一 个结点进行分解，不影响隔离体的平衡（不易确定力臂时）