13动量矩定理 13.1质点的动量矩定理 设有一质点M质量为m,在力F的作用下运动。任取 固定点O,动点M的位置用矢径r表示,它的动量 为mⅴ。则矢径r与动量mv的矢积r×mV则称为质点 的动量对O点的矩,用L表示。L0=r×mv 动量矩的单位,国际单位制为kg:m2/或NmS,工程单 位制为kgms 将上式求导 (r×m my+r×-(mv)=y×m+r×F v×m=07×F=M( 01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 1 13 动量矩定理 13．1 质点的动量矩定理 设有一质点M,质量为m,在力F的作用下运动。任取 一固定点O，动点M的位置用矢径r表示，它的动量 为mv。则矢径r与动量mv的矢积r×mv则称为质点 的动量对O点的矩，用L0表示。L0 ＝r×mv. 动量矩的单位，国际单位制为㎏·㎡/s或N·m·s,工程单 位制为㎏·m·s 将上式求导： m v v m v r F dt d m v r dt dr r m v dt d dt dl = ( ) = + ( ) = + 0 ∵ v mv = 0 F M0 r = ∴ 0 0 M dt dl =
质点对于任一固定点的动量矩对时间的导数,等于作用 于质点上的力对同一点的矩。这就是质点的动量矩定理 将方程两边投影到xy,z固定轴上,得到 M dt 如果在整个过程中,质点所受的力对于某一固定点的矩始 终为零,方程变为 l0=常量 就是说,如果质点所受的力对于某一固定点的矩始 终为零,则质点对于固定点的动量矩保持为常量,称 为动量矩守恒。 01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学 2
01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 2 质点对于任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用 于质点上的力对同一点的矩。这就是质点的动量矩定理。 将方程两边投影到x,y,z固定轴上，得到 x x M dt dl = y y M dt dl = z z M dt dl = 如果在整个过程中，质点所受的力对于某一固定点的矩始 终为零，方程变为 0 0 = dt dl ∴ l 0 = 常量 就是说，如果质点所受的力对于某一固定点的矩始 终为零，则质点对于固定点的动量矩保持为常量，称 为动量矩守恒
如果在整个过程中,质点所受的力对于某一固定点的 矩始终为零,方程变为 l0=常量 就是说,如果质点所受的力对于某一固定点的矩始 终为零,则质点对于固定点的动量矩保持为常量,称为 动量矩守恒。 【例题13-2】单摆如图所示质点M的质量为m,摆长为L, 如果摆线的初始偏角为φ初速度为零,求单摆作微小摆 动时的运动规律 解:取质点M为研究对象,质点对轴OZ的动量矩为 Lo/(mv)=Lmv=mLφ3,而质点所受的力对轴OZ的动量矩 为 OZ (f=-mglsino 01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 3 如果在整个过程中，质点所受的力对于某一固定点的 矩始终为零，方程变为 就是说，如果质点所受的力对于某一固定点的矩始 终为零，则质点对于固定点的动量矩保持为常量，称为 动量矩守恒。 【例题 13-2】单摆如图所示,质点M的质量为m，摆长为L, 如果摆线的初始偏角为φ0 ,初速度为零,求单摆作微小摆 动时的运动规律。 0 0 = dt dl ∴ l 0 = 常量 解：取质点M为研究对象，质点对轴OZ的动量矩为 LOZ(mv)=Lmv=mL2φ’,而质点所受的力对轴OZ的动量矩 为： MOZ(F) = -mgLsinφ
根据质点的动量矩定理,有 O(z) y (ml)=-mglsin 在微小摆动情况下,sip=q mv 方程为+8g=0 。·° 9=Asin 8 t+a 振幅A及初相位α由初始条件确定 求导:=4B COS t+a 当t=O时,=9=0 0=下2mJC 0=A.cos a A=Po =Po cost 单摆的微小摆动是简谐运动,振幅为2x振动周期为 01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学》 4
01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 4 根据质点的动量矩定理，有 在微小摆动情况下，sinφ=φ ∴ 方程为 O(z) x y G T mv M φ ( ) sin 2 ml mgl dt d = − • + = 0 •• l g = t + l g Asin 振幅A及初相位α由初始条件确定 求导： = + • t l g l g A cos 当 0时， ＝ 0， ＝0 • t = 0＝Asin 0 cos l g = A 2 = A = 0 t l g cos = 0 ∴ 单摆的微小摆动是简谐运动，振幅为 振动周期为 0 g l 2
13.2质点系的动量矩 整个刚体对转动轴的动量矩为Lz=J0,其中Jz∑mp2称 为刚体对转动轴的转动惯量。它表明,作定轴转动的刚 体对于转动轴的动量矩,等于刚体对于转动轴的转动惯 量与角速度的乘积。转动惯量是一个正标量,动量矩的 符号与角速度的符号相同。 13.3转动惯量 13.3.1普遍公式 1z=∑m2=m2 长度p称为物体对于转动轴的回转半径,也称惯性 半径。转动惯量总是正标量,它的单位,在国际单位制为 kgm2,在工程单位制为kgms2。 01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室《理论力学
01-11-13 株洲工学院土木系力学教研室«理论力学» 5 13.2 质点系的动量矩 整个刚体对转动轴的动量矩为LZ=JZω,其中JZ =Σmiρi 2称 为刚体对转动轴的转动惯量。它表明，作定轴转动的刚 体对于转动轴的动量矩，等于刚体对于转动轴的转动惯 量与角速度的乘积。转动惯量是一个正标量，动量矩的 符号与角速度的符号相同。 13.3 转动惯量 13.3.1 普遍公式 2 2 JZ =mi i = m m JZ = 长度ρ称为物体对于转动轴的回转半径，也称惯性 半径。转动惯量总是正标量，它的单位，在国际单位制为 ㎏·㎡,在工程单位制为㎏·m·s2