所以更新函数为 液 k M()=∑∑rP(N=r) r=0 12/53 GoBack FullScreen Close Quit
12/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §±ç#ºÍè M(k) = X k r=0 rP(Nk = r)
§4.2 更新方程及其应用 花 §4.2.1 更新方程 定义4.2.1在M(t)的导数存在的条件下，其导数M'(t)称 为更新密度，记为m(t).由M(t)=∑1Fn(t)两边求导得 m(t)=>∑fn(t) 13/53 m=1 其中fn(t)是Fn(t)的密度函数. 定理4.2.1M(t)和m(t)分别满足积分方程 M(t)=F(t)+M(t-s)dF(s) m0=fe+me-s达 GoBack FullScreen Close Quit
13/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §4.2 ç#êß9ŸA^ §4.2.1 ç#êß ½¬ 4.2.1 3M(t)Í3^áeߟÍM0 (t)° èç#ó›ßPèm(t). dM(t) = P∞ n=1 Fn(t)¸>¶ m(t) = X ∞ n=1 fn(t) Ÿ•fn(t)¥Fn(t)ó›ºÍ. ½n 4.2.1 M(t)⁄m(t)©O˜v»©êß M(t) = F(t) + Z t 0 M(t − s)dF(s) m(t) = f(t) + Z t 0 m(t − s)f(s)ds
其中f(t)=F(t). 花 证明：首先证明第一式，由定义可得 0∞ M(t)=∑∑F(t)=F()+∑∑F(t) n=1 n=2 =F(t)+ n=2 14/53 =F(t)+ n=1 =F(t)+(M*F)(t) 由卷积定义知(M*F)(t)=0M(t-s)dF(s),从而第一式 得证.第二式由第一式两边取导数可得. 定义4.2.2（更新方程）称如下形式的积分方程为更 GoBack FullScreen Close Quit
14/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit Ÿ•f(t) = F 0 (t). y²µ ƒky²1ò™ßd½¬å M(t) =X ∞ n=1 Fn(t) = F(t) +X ∞ n=2 Fn(t) = F(t) + X ∞ n=2 Fn−1 ∗ F ! (t) = F(t) + X ∞ n=1 Fn ∗ F ! (t) = F(t) + (M ∗ F)(t) dÚ»½¬(M ∗ F)(t) = R t 0 M(t − s)dF(s)ßl 1ò™ y. 1™d1ò™¸>Íå. ½¬ 4.2.2 (ç#êß) °Xe/™»©êßèç
新方程 KO=HO+厂Kt-SaF(s 其中H(t),F(t)为已知，且当t<0时H(t),F(t)均为0.当H(t)在 任何区间上有界时，称上述方程为适定(Proper)更新方程， 简称为更方程. 定理4.2.2设更新方程中H(t)为有界函数，则方程在 15/53 有限区间内存在 唯一有界解 K田=H)+厂Ht-sdM(e) (4.2.1) 其中M(t)=∑1F(t)是分布函数F(t)的更新函数. 卷积性质： GoBack FullScreen Close Quit
15/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit #êß K(t) = H(t) + Z t 0 K(t − s)dF(s) Ÿ•H(t),F(t)èÆßÖt < 0ûH(t),F(t)˛è0. H(t)3 ?¤´m˛k.û,°˛„êßè·½(Proper)ç#êß, {°èç#êß. ½n 4.2.2 ç#êß•H(t)èk.ºÍßKêß3 kÅ´mS3 çòk.) K(t) = H(t) + Z t 0 H(t − s)dM(s) (4.2.1) Ÿ•M(t) = P∞ n=1 Fn(t)¥©ŸºÍF(t)ç#ºÍ. Ú»5ü:
命题4.2.1假设B(t)是单调增加的右连续函数，且 B(0)=0.C(t),C(t), C2(t)为光滑有界函数（注：这些条件可以保证卷积有定 义)，则有 (1)maxo<t<T|B*C(t)川≤maxo<t<T|C(t)川·B(T); (2)B*C(t)+B*C2(t)=B*(C1+C2)t): (3)B1*(B2*C)(t)=(B1*B2)*C(t). 16/53 证明：我们先证（1)确实是更新方程的解，并且满足 有界性条件.由M(t)是更新函数，可知M(t)有界且单调不 减，再由H(t)有界及式（1)，对任意T>0,有 sup 0≤tT Ke≤1HO+'aPaT-SaM网 0<s≤T ≤sup H(t)(1+M(T)<∞ GoBack 0<t<T FullScreen Close Quit
16/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ·K 4.2.1 bB(t)¥¸NO\mÎYºÍ,Ö B(0) = 0. C(t), C1(t), C2(t)è1wk.ºÍ£5µ˘ ^áå±yÚ»k½ ¬§ßKk (1) max0≤t≤T |B ∗ C(t)| ≤ max0≤t≤T |C(t)| · B(T); (2) B ∗ C(t) + B ∗ C2(t) = B ∗ (C1 + C2)(t); (3) B1 ∗ (B2 ∗ C)(t) = (B1 ∗ B2) ∗ C(t). y²µ·Çky£1§(¢¥ç#êß)ßøÖ˜v k.5^á. dM(t)¥ç#ºÍ, åM(t)k.Ö¸Nÿ ~, 2dH(t)k.9™£1§ßÈ?øT > 0ßk sup 0≤t≤T |K(t)| ≤ |H(t)| + Z T 0 sup 0≤s≤T |H(T − s)|dM(s) ≤ sup 0≤t≤T |H(t)|(1 + M(T)) < ∞