y 定理4.1.2M(t)是t的不减函数，且对0≤t<+o, M(t)<+o. 证明：由于N(t)是关于t不减的，故M(t)也是不减的， 下面证明M(t)的有限性 由假设F(0)<1,即P(Xn=0)<1(或P(Xn>0)> 0),则存在a>0,使得P(Xn≥a)>0,从而P(Xn< a)<1.而 7/53 F(a)=P(Xn<a)=P(Xn<a)+P(Xn=a) 为了避免P(Xn=a)=P(Xn≥a)造成F(a)=P(Xn< a)+P(Xn≥a)=1的情况，不妨取0<b<a易见 F(b)≤P(Xn<a)<1 GoBack FullScreen Close Quit
7/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½n 4.1.2 M(t)¥tÿ~ºÍßÖÈ0 ≤ t < +∞, M(t) < +∞. y²µ duN(t)¥'utÿ~ßM(t)è¥ÿ~ß e°y²M(t)kÅ5. dbF(0) < 1, =P(Xn = 0) < 1(½P(Xn > 0) > 0)ßK3a > 0, ¶ P(Xn ≥ a) > 0, l P(Xn < a) < 1. F(a) = P(Xn ≤ a) = P(Xn < a) + P(Xn = a) è ;ùP(Xn = a) = P(Xn ≥ a)E§F(a) = P(Xn < a) + P(Xn ≥ a) = 1ú¹ßÿî0 < b < a ¥Ñ F(b) ≤ P(Xn < a) < 1
又对任意固定的t,恒能选定正整数k,使b≥t,所以 {Tk≤t}C{T≤kb}C{X1>b,X2>b,·,Xk>b} 于是 P(Tk≤t)≤1-P(X1>b,X2>b,·,Xk>b) =1-[1-F(b)] =1-B 8/53 这里B=(1-F(b)k>0.又因为 {Tmk≤t}C{Tk-To≤t,T2k-T≤t,·,Tmk-Tm-1)k≤t 且更新区间独立同分布，所以有 P(Tk-To≤t,T2k-Tk≤t,·,Tmk-Tm-1)k≤t) GoBack =[P(Tk≤t)]m FullScreen Close Quit
8/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit qÈ?ø½tßðU¿½Ík߶kb ≥ tߧ± {Tk ≤ t} ⊂ {Tk ≤ kb} ⊂ {X1 > b, X2 > b, · · · , Xk > b} c u¥ P(Tk ≤ t) ≤ 1 − P(X1 > b, X2 > b, · · · , Xk > b) = 1 − [1 − F(b)]k = 1 − β ˘pβ = (1 − F(b))k > 0. qœè {Tmk ≤ t} ⊂ {Tk−T0 ≤ t, T2k−Tk ≤ t, · · · , Tmk−T(m−1)k ≤ t} Öç#´m’·”©Ÿ, §±k P(Tk − T0 ≤ t, T2k − Tk ≤ t, · · · , Tmk − T(m−1)k ≤ t) = [P(Tk ≤ t)]m
由上两式，可得 液 P(Tmk≤t)≤[P(T≤t)]m≤(1-B)m 对任意整数1≥0，有 {Tmk+i≤t)C{Tmk≤t} 所以 (m+1)k-1 9/53 ∑ P(Tn≤t)≤kP(Tmk≤t). n=mk GoBack FullScreen Close Quit
9/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit d˛¸™ßå P(Tmk ≤ t) ≤ [P(Tk ≤ t)]m ≤ (1 − β) m È?øÍj ≥ 0ßk {Tmk+j ≤ t} ⊂ {Tmk ≤ t} §± (m+1) X k−1 n=mk P(Tn ≤ t) ≤ kP(Tmk ≤ t)
y 综上可得 M(t)=∑e1Fn(t) 三 ∑1P(Tn<t) =∑A-iP(Tn≤t)+∑2kP(T<t) ≤∑NP(Tn<t)+∑m=1kP(Tmk<t) ≤∑P(T<)+∑m=1k(1-)m 10/53 =∑1P(Tn≤t)+<∞ 例4.1.1考虑一个时间离散的更新过程{N,j= 1,2,·…},在每个时刻独立地做Bernoullii试验，i 设成功的 概率为p,失败的概率为g=1一p.以试验成功做为事件 (更新)求此过程的更新函数M()。 解：首先，易知更新的时间间隔{X}为独立的同几何 GoBack FullScreen Close Quit
10/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit n˛å M(t) = P∞ n=1 Fn(t) = P∞ n=1 P(Tn≤t) = Pk−1 n=1 P(Tn≤t)+P∞ n=k P(Tn≤t) ≤ Pk−1 n=1 P(Tn≤t)+P∞ m=1 kP(Tmk≤t) ≤ Pk−1 n=1 P(Tn≤t)+P∞ m=1 k(1−β) m = Pk−1 n=1 P(Tn≤t)+k β<∞ ~ 4.1.1 ƒòáûml—ç#Lß{Nj, j = 1, 2, · · · }, 3záûè’·/âBernoulli£ß§ı V«èpßî}V«èq = 1 − p. ±£§ıâèØá £ç#§¶dLßç#ºÍ M(k)" )µ ƒk, ¥ç#ûmmÖ{Xi}è’·”A¤
分布 花 P(Xi=n)=q-p,n=1,2,… 则第次成功（更新）发生的时刻T,=∑”1X服从负二项 分布 =列-(=n+1 11/53 因此 P(Nk=T) =P(T,≤k)-P(Tr+1≤k) -(）v-三(，) A GoBack FullScreen Close Quit
11/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ©Ÿ P(Xi = n) = q n−1 p, n = 1, 2, · · · K1rg§ı£ç#§u)ûèTr = Pr i=1 Xi—lKë ©Ÿ P(Tr = n) = n − 1 r − 1 ! q n−r p r , n = r, r + 1, · · · œd P(Nk = r) = P(Tr ≤ k) − P(Tr+1 ≤ k) = X k n=r n − 1 r − 1 ! q n−r p r − X k n=r+1 n − 1 r ! q n−r−1 p r+1