第七章截面的几何性质 【学时】2 内容:静距、惯性矩、惯性积、惯性半径,简单图形和组合图形静矩的计算及形 心位置的确定。简单图形惯性矩和惯性积的计算;平行移轴公式、转轴公式;组 合图形惯性矩和惯性积的计算。形心主惯性轴和形心主惯性知 【基本要求】 1.理解静距、惯性矩、惯性积、惯性半径的概念。 2.掌握简单图形和组合图形静矩的计算及形心位置的确定叫。 3.掌握简单图形惯性矩和惯性积的计算叫。 4.掌握平行移轴公式叫。 5.了解转轴公式3 6.掌握组合图形惯性矩和惯性积的计算叫。 7.了解形心主惯性轴和形心主惯性矩。 【重点】简单图形和组合图形静矩的计算及形心位置的确定,简单图形惯性矩的 计算;平行移轴公式;组合图形惯性矩的计算。 【难点】组合图形惯性矩的计算,转轴公式,形心主惯性矩
第七章 截面的几何性质 【学 时】2 内容：静距、惯性矩、惯性积、惯性半径，简单图形和组合图形静矩的计算及形 心位置的确定。简单图形惯性矩和惯性积的计算；平行移轴公式、转轴公式；组 合图形惯性矩和惯性积的计算。形心主惯性轴和形心主惯性矩。 【基本要求】 1．理解静距、惯性矩、惯性积、惯性半径的概念[2]。 2．掌握简单图形和组合图形静矩的计算及形心位置的确定[1]。 3．掌握简单图形惯性矩和惯性积的计算[1]。 4．掌握平行移轴公式[1]。 5．了解转轴公式[3]。 6．掌握组合图形惯性矩和惯性积的计算 [1]。 7．了解形心主惯性轴和形心主惯性矩 [3]。 【重点】简单图形和组合图形静矩的计算及形心位置的确定，简单图形惯性矩的 计算；平行移轴公式；组合图形惯性矩的计算。 【难点】组合图形惯性矩的计算,转轴公式，形心主惯性矩
§7-1面积矩与形心位置 、面积(对轴)矩: ds, =dAy =dA.x S-as = yda 、形心: 例1试确定下图的形心。 解:用正负面积法解之。 C1(0,0) 1用正面积法求解, C2(-35,60) 图形分割及坐标如图x二不4+电 A A1+A2 35×10×110 10×10+80020.3 C1(0,0) 60x10×110 2(5,5) 10×110+80×10 2用负面积法求解 图形分割及坐标如图 ∑xA4+x425(-7010) 20.3 A A+A,120x80-70x110
§7-1 面积矩与形心位置 一、面积（对轴）矩： S A y x d =d S Ax y d =d = = = = A A y y A A x x S S x A S S y A d d d d 二、形心： 例 1 试确定下图的形心。 解 ：用正负面积法解之。 1.用正面积法求解， 图形分割及坐标如图 1 2 1 1 2 2 A A x A x A A x A x i i + + = = 20.3 10 110 80 10 35 10 110 =− + − = 34.7 10 110 80 10 60 10 110 = + y= 2.用负面积法求解， 图形分割及坐标如图 1 2 1 1 2 2 A A x A x A A x A x i i + + = = 20.3 120 80 70 110 5 ( 70 110) =− − − = dA x y y x 80 120 10 10 x y C2 C1 C1(0,0) C2(-35,60) C1（0,0） C2（5,5） C 2 负面积 C 1 x y
§7-2惯性矩、惯性积、极惯性矩 惯性矩 1 =yda I A 极惯性矩 ld=+, 三、惯性积 如果x或y是对称轴,则kxy=0 (1)惯性矩是对一定的轴而言的,同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同 (2)惯性矩恒为正值,其量纲和单位与极惯性矩相同。 (3)图形对任一点的极惯性矩,等于图形对通过此点且在其平面内的任一对正 交轴惯性矩之和。 (4)图形对一对正交轴的惯性矩和对坐标原点的极惯矩的几何关系 p2=y+z 将上述关系式代入上式得 ∫p3d4=J(2+=2)l1即1n=1+1
§7-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 一、 惯性矩 = = A y A I x y dA I x dA 2 2 二、极惯性矩 x y A I = A=I +I d 2 三、 惯性积 = A I xy xydA 如果 x 或 y 是对称轴，则 Ixy =0 （1）惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。 （2）惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。 （3）图形对任一点的极惯性矩，等于图形对通过此点且在其平面内的任一对正 交轴惯性矩之和。 （4）图形对一对正交轴的惯性矩和对坐标原点的极惯矩的几何关系 ρ2 =y 2 +z 2 将上述关系式代入上式得 = + = = + A A A A y dA z dA I dA y z dA 2 2 2 2 2 ( ) 即 Iρ=Iz+Iy dA x y y x
例1、求矩形截面对正交对称轴y、z的惯性矩。 解:先求I。取微面积dA=b.dy,得 l2=「,ybd=2y3by= 12 同理 hd= 例2、求圆截面形心轴y、z的惯性矩 解:圆截面对其圆心的极惯性矩为 TD 32 64 同理可得空心圆截面,过形心的y、z轴的惯性矩为 I=I (D4-d4) 6 式中:a=d
例 1、求矩形截面对正交对称轴 y、z 的惯性矩。 解：先求 Iz。取微面积 dA=b.dy，得 12 3 2 2 2 2 bh I y bdy y bdy h h A z = = = − 同理 12 3 2 2 2 2 hb I z hdz z hdz b b A y = = = − 例 2、求圆截面形心轴 y、z 的惯性矩。 解：圆截面对其圆心的极惯性矩为 32 4 D I = 2 64 4 I D I I p z y = = = 同理可得空心圆截面，过形心的 y、z 轴的惯性矩为 Iy=IZ= (1 ) 64 ( ) 64 4 4 4 4 − = − D D d 式中： D d =
§7-3惯性矩和惯性积的平行移轴定理 、惯性矩和惯性积的平行移轴公式 任意平面图形的形心为C、面积为A,z、y为一对正交的形心轴,z、y1为与形心轴平 行的另一对正交轴,平行轴间的距离分别为a和b。已知图形对形心轴的惯性矩I2、I,和惯 性积Ix,现求图形对z1、y轴的惯性矩Ia、Iy和惯性积Ⅰ.。根据惯性矩的定义得: 14=「,y2d4=J(y+a3 da+ 1,+2asz +a'A 因z轴为形心轴,故S2=0,因此可得 同理 Ⅰ=+b2A 以上两式称为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。公式表明:平面图形对任一轴的惯性矩 等于图形对平行于该轴的形心轴的惯性矩,加上图形面积与两轴间距离平方的乘积。图形对 任一对正交轴的惯性积,等于图形对平行于该正交轴的正交形心轴的惯性积,加上图形面积 与其形心坐标的乘积。由于乘积a2A、b2A恒为正,因此,图形对于形心轴的惯性矩是对所有 平行轴的惯性矩为最小。 注意平行移轴公式应用条件:(1)即y、z轴心须是通过形心的轴。(2)z1、y轴必须分 别与y、z轴平行 、组合截面惯性矩计算
§7-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 一、惯性矩和惯性积的平行移轴公式 任意平面图形的形心为 C、面积为 A，z、y 为一对正交的形心轴，z1、y1 为与形心轴平 行的另一对正交轴，平行轴间的距离分别为 a 和 b。已知图形对形心轴的惯性矩 Iz、Iy 和惯 性积 Izy，现求图形对 z1、y1 轴的惯性矩 IZ1、Iy1 和惯性积 1 1 z y I 。根据惯性矩的定义得： I aS a A y dA a ydA a dA I y dA y a dA z Z A A A A A z 2 2 2 2 2 1 2 2 ( ) 1 = + + + + = = = + 因 z 轴为形心轴，故 SZ=0，因此可得 = + = + I I b A I I a A y y z Z 2 2 1 1 I z y = I zy + abA 1 1 以上两式称为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。公式表明：平面图形对任一轴的惯性矩， 等于图形对平行于该轴的形心轴的惯性矩，加上图形面积与两轴间距离平方的乘积。图形对 任一对正交轴的惯性积，等于图形对平行于该正交轴的正交形心轴的惯性积，加上图形面积 与其形心坐标的乘积。由于乘积 a 2 A、b 2 A 恒为正，因此，图形对于形心轴的惯性矩是对所有 平行轴的惯性矩为最小。 注意平行移轴公式应用条件：（1）即 y、z 轴心须是通过形心的轴。（2）z1、y1 轴必须分 别与 y、z 轴平行。 二、组合截面惯性矩计算 同理