第三章空间力系 学时】8(其中习题课2) 【基本要求】 1.能计算力在空间坐标轴上的投影 2.了解空间力系的平衡方程。 3.力对轴之矩 4.能求解简单的空间问题[3。 5.能计算简单形体的重心。 【重点】简单形体的重心。 【难点】力对轴之矩,力对点之矩
第三章 空间力系 【学 时】 8（其中习题课 2） 【基本要求】 1．能计算力在空间坐标轴上的投影 2．了解空间力系的平衡方程[3]。 3．力对轴之矩 4．能求解简单的空间问题[3]。 5．能计算简单形体的重心[1]。 【重点】简单形体的重心。 【难点】力对轴之矩，力对点之矩
§3-1力在坐标轴上的投影与力的分解 力在坐标轴上的投影 1.直接投影法 若已知力F与空间直角坐标系三个轴的夹角分别为a、B和y,则力F在三个 坐标轴上的投影分别为可采用直接投影法。 F=Fcos a F F= CoSY 如果已知力F在三个坐标轴上的投影X、Y和Z也可以反过来求出力F的大 小和方向,即 F=√x2+y2+z2 X cos a B 2.二次投影法
§3–1 力在坐标轴上的投影与力的分解 一、力在坐标轴上的投影 1．直接投影法 若已知力 F 与空间直角坐标系三个轴的夹角分别为、和，则力 F 在三个 坐标轴上的投影分别为可采用直接投影法。 F F cos F F cos F F cos z y x = = = 如果已知力 F 在三个坐标轴上的投影 X、Y 和 Z 也可以反过来求出力 F 的大 小和方向，即 F Z F Y F X F X Y Z = = = = + + cos cos cos 2 2 2 2．二次投影法
先将力F投影到某一坐标面上,而后再将坐标面上的投影投影到坐标轴上。 如图22所示,先求力F在Oy面上的投影Fy,显然F=Fsmy,而后再将F 投影到x和y轴上,于是可得 Y= Fsn y sn gp Z=F cOS 在其些实际问题中,当力F与坐标轴之间的夹角不易直接确定时,应用二次 投影法往往是较为方便的 力沿坐标轴上的分解 在空间矢量运算中,力矢有时须用矢量分解式表示。为此,将力F按坐标轴 X、y、z的方向分解为空间正交分量F、F和F(图2-3),这些分量称为力F 的坐标轴向分量。写成关系式有 F=F+e+ 容易看出,力F的坐标轴向分量的模,分别与该力在相应坐标轴上投影的绝 对值相等,即
先将力 F 投影到某一坐标面上，而后再将坐标面上的投影投影到坐标轴上。 如图 2-2 所示，先求力 F 在 Oxy 面上的投影 Fxy ，显然 F F sin xy = ，而后再将 Fxy 投影到 x 和 y 轴上，于是可得 cos sin sin sin cos Z F Y F X F = = = 在其些实际问题中，当力 F 与坐标轴之间的夹角不易直接确定时，应用二次 投影法往往是较为方便的。 二、力沿坐标轴上的分解 在空间矢量运算中，力矢有时须用矢量分解式表示。为此，将力 F 按坐标轴 x、y、z 的方向分解为空间正交分量 Fx 、 Fy 和 F z （图 2-3），这些分量称为力 F 的坐标轴向分量。写成关系式有 F Fx Fy Fz = + + 容易看出，力 F 的坐标轴向分量的模，分别与该力在相应坐标轴上投影的绝 对值相等，即
l=x1、|F=p1、|F!= 令ij、k分别表示直角坐标轴x、y、z的单位矢量,则上式可写为 F2=、F,=Y、F= 因而(24)式又可写为力沿坐标轴向的分解式 F=Xi+yj+zk §3-2空间力偶 、力偶的等效条件 作用在物体上同一平面或平行平面内的两个力偶,若它们的转向相同和力偶 矩的大小相等,则两力偶等效。 二、力偶矩 在平面力系问题里,力偶矩被视为代数量。但在空间力系问题里,力偶矩则 应作为矢量,因为力偶作用面的方位不同,它对物体作用的效应也不相同。所以 和力类似,力偶对物体的作用效应也取决于三个要素,即力偶矩的大小、力偶的 转向和力偶作用面在空间的方位。力偶的这三个要素可以用一个矢量来表示。该 矢量的长度按比例代表力偶矩的大小;矢量的指向按右手螺旋法则表示力偶的转 向;而矢量的方位则沿力偶作用面的法线,这个矢量称为力偶矩矢,表示为 由于力偶在其作用面内可以任意移转,又可以由一个平面移到另一个平行的平面 内,所以之力偶矩矢是自由矢量。因此,力偶的等效条件又可表述为:力偶矩矢 相等的两个力偶是等效力偶
Fx = X 、 Fy = Y 、 Fz = X 令 i、j、k 分别表示直角坐标轴 x、y、z 的单位矢量，则上式可写为 F Xi x = 、 F Yj y = 、 F Zk z = 因而（2.4）式又可写为力沿坐标轴向的分解式 F = Xi + Yj + Zk §3–2 空间力偶 一、力偶的等效条件 作用在物体上同一平面或平行平面内的两个力偶，若它们的转向相同和力偶 矩的大小相等，则两力偶等效。 二、力偶矩 在平面力系问题里，力偶矩被视为代数量。但在空间力系问题里，力偶矩则 应作为矢量，因为力偶作用面的方位不同，它对物体作用的效应也不相同。所以 和力类似，力偶对物体的作用效应也取决于三个要素，即力偶矩的大小、力偶的 转向和力偶作用面在空间的方位。力偶的这三个要素可以用一个矢量来表示。该 矢量的长度按比例代表力偶矩的大小；矢量的指向按右手螺旋法则表示力偶的转 向；而矢量的方位则沿力偶作用面的法线，这个矢量称为力偶矩矢，表示为 m。 由于力偶在其作用面内可以任意移转，又可以由一个平面移到另一个平行的平面 内，所以之力偶矩矢是自由矢量。因此，力偶的等效条件又可表述为：力偶矩矢 相等的两个力偶是等效力偶
、空间力偶系的简化和平衡条件 1.空间力偶系的简化 设物体上作用有n个力偶,这些力偶组成空间力偶系,各力偶矩矢分别为 m,m,…,m。根据力偶矩矢是自由矢量的性质,总可以将它们滑移,使各 力偶矩矢汇交于某一点,而后加以合成,则可得合力偶矩矢 ∑ 即空间力偶系可合成为一个合力偶,合力偶矩矢等于各分偶矩矢的矢量和。 合力偶矩的大小和方向,可用解析法求得,取直用坐标系O2,则m沿坐标 轴向的分解式为 m=m, i+m,j+m k=(mi)i+>mm)j+(m_)k 其中m2,m,m和m,mn,m2分别是。和m和m;在x,y,=轴上的投影。于是得 ∑mn,m,=∑m,m2=∑m 则合力偶矩矢的大小和方向余弦为 +m+ m ∑m1)2+∑m)2+∑m)2 cos a sB 其中a,B,y,分别为合力偶矩矢m与x,y,z轴正向间的夹角 2.空间力偶系的平衡条件
三、空间力偶系的简化和平衡条件 1．空间力偶系的简化 设物体上作用有 n 个力偶，这些力偶组成空间力偶系，各力偶矩矢分别为 m1，m2，……，mn。根据力偶矩矢是自由矢量的性质，总可以将它们滑移，使各 力偶矩矢汇交于某一点，而后加以合成，则可得合力偶矩矢 m = m + m + + mn =mi ...... 1 2 即空间力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分偶矩矢的矢量和。 合力偶矩的大小和方向，可用解析法求得，取直用坐标系 Oxyz, 则 m 沿坐标 轴向的分解式为 m m i m j m k m i m j m k x y z ix iy iz = + + = ( ) + ( ) + ( ) 其中 mx my mz , , 和 mix miy miz , , 分别是。和 m 和 mi ；在 x, y,z 轴上的投影。于是得 mx =mix ，my =miy ，mz = miz 则合力偶矩矢的大小和方向余弦为 2 2 2 2 2 2 = + + = ( ) + ( ) + ( ) m mx my mz mi x mi y mi z = = = m m m m m m z y x cos cos cos 其中 , , , 分别为合力偶矩矢 m 与 x, y,z 轴正向间的夹角。 2．空间力偶系的平衡条件