第十一章应力状态和强度理论 【学时】6(其中习题课2) 内容:应力状态的概念,单元体,主应力和主平面;应力状态的分类。二向应力 状态下的应力分析一一解析法,斜截面上的应力,主应力和主平面的确定。三向 应力状态的举例与(简单)分析,最大正应力。广义虎克定律;比能,体积改变 比能和形状改变比能。强度理论的概念;最大拉应力理论:最大伸长线应变理论 最大剪应力理论;形状改变比能理论;相当应力;各种强度理论的使用范围。 【基本要求】 1.理解应力状态、单元体、主应力和主平面的概念凹2]。 2.了解应力状态的分类。 3.掌握二向应力状态下应力分析的解析法山。 4.掌握斜截面上的应力,主应力和主平面的确定 5.掌握广义虎克定律。 6.了解体积改变比能和形状改变比能B。 理解强度理论的概念2 8.掌握四个常用强度理论 9.了解各种强度理论的使用范围[3。 【重点】平面应力状态的解析法,广义虎克定律,四个常用强度理论 【难点】应力状态的概念,强度理论的概念
第十一章 应力状态和强度理论 【学 时】6（其中习题课 2） 内容：应力状态的概念，单元体，主应力和主平面；应力状态的分类。二向应力 状态下的应力分析——解析法，斜截面上的应力，主应力和主平面的确定。三向 应力状态的举例与（简单）分析，最大正应力。广义虎克定律；比能，体积改变 比能和形状改变比能。强度理论的概念；最大拉应力理论；最大伸长线应变理论； 最大剪应力理论；形状改变比能理论；相当应力；各种强度理论的使用范围。 【基本要求】 1．理解应力状态、单元体、主应力和主平面的概念[2]。 2．了解应力状态的分类[3]。 3．掌握二向应力状态下应力分析的解析法[1]。 4．掌握斜截面上的应力，主应力和主平面的确定[1]。 5．掌握广义虎克定律[1]。 6．了解体积改变比能和形状改变比能[3]。 7．理解强度理论的概念[2]。 8．掌握四个常用强度理论[1]。 9．了解各种强度理论的使用范围[3]。 【重点】平面应力状态的解析法，广义虎克定律，四个常用强度理论 【难点】应力状态的概念，强度理论的概念
§11-1概述 【问题的提出】 拉压、扭转及弯曲等基本变形的强度条件 < 对于更复杂的受力状态, 如图中A截面上的a点? ①全面研究一点处各截面的应力 一一应力状恋理论的任务。 材料在复杂应力状态下的破坏规律一 一强度理论的任务 §11-2平面应力状态的应力分析 【问题的提出】 铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的? 铸铁拉伸 铸铁压缩 低碳钢 铸铁
§11–1 概述 【问题的提出】 拉压、 扭转及弯曲等基本变形的强度条件 max max 对于更复杂的受力状态， 如图中 A 截面上的 a 点? ①全面研究一点处各截面的应力 ——应力状态理论的任务。 ②材料在复杂应力状态下的破坏规律— —强度理论的任务。 §11–2 平面应力状态的应力分析 【问题的提出】 铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ M 低碳钢 P P 铸铁拉伸 P 铸铁压缩 铸铁 a P P a A B Q x x a
、应力状态的概念 1.一点的应力状态:过一点有无数的截面,这一点的各个截面上应力情况集合 2.研究方法:取单元体为研究对象 ①单元体—构件内的点的代表物,是包围被研究点 的无限小的几何体,常用的是正六面体。y ②单元体的性质—a、同一面上,应力均布 b、平行面上,应力相等。 例1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 3.平面应力状态:只在四个侧面上作用由应力。 G 等价 Or
一、应力状态的概念 1．一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况集合。 2．研究方法：取单元体为研究对象 ①单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 ②单元体的性质——a、同一面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。 例 1 画出下列图中的 A、B、C 点的已知单元体。 P P A A x x M P x y z B C zx x x B xz C x y y x 3．平面应力状态：只在四个侧面上作用由应力。 x xy y x y z 等价 x y x xy y O x y z x z y xy
斜截面上的应力 【分析方法】:利用α斜截面截取的微元局部的平衡。 符号规定:σa截面外法线同向为正 a绕研究对象顺时针转为正; Q逆时针为正 G 设:斜截面面积为dA,由分离体平衡得: ∑F F, dA-(o, dA cos acos a+(, dA cos a)sina (o, dA sin a)sina+(, dA sin a cos a=0 ,+,O,-6 利用n=zm和三角变换,得:|oa= cos 2a 2 2 同理 2Sn 2a+T cos 2a
二、斜截面上的应力 【分析方法】：利用 斜截面截取的微元局部的平衡。 符号规定： 截面外法线同向为正； 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。 x y x xy y O y xy x x y O n 设：斜截面面积为 dA，由分离体平衡得： Fn =0 ( ) ( ) − ( ) + ( ) = 0 − + dAsin sin dAsin cos dA dAcos cos dAcos sin y yx x xy 利用 xy yx = 和三角变换，得： cos 2 sin 2 2 2 xy x y x y − − + + = 同理： sin 2 cos2 2 xy x y + − =
三、极值应力和主应力 1.极值正应力 若以ao表示极值正应力所在截面的外法线n与x轴的夹角, 人 (o-o, bin 2ao-2T- cos2ao-0 得tg2 由此得两个驻点和两个极值: 即:gwx与qm所在平面互相垂真。 mar 0 2 2 G 多游6 单元 可以证明:cmax必在 切应力相对的象限
三、极值应力和主应力 1．极值正应力 若以 表示极值正应力所在截面的外法线 n 与 x 轴的夹角， : ( )sin2 0 2 cos2 0 0 0 =− − − = = x y xy d d 令 得 x y xy − = − 2 tg2 0 由此得两个驻点和两个极值： 、（ ） 2 01 01 + 即：max 与min所在平面互相垂直。 2 2 ) 2 ( 2 xy x y x y min max + − + = x y x xy y O x y x xy y O 2 1 主 单元体 可以证明：max 必在 切应力相对的象限 内