第三章化模型匹配问题为广义距离问题 由(3.9)和(3.10)可得 I-- D)D=(D-D"DR-D")=0, I-DR-1 于是X满足(311).如果能证明这个方程有使A+BF=A-BR-(DC+BX)稳定的解X,则(3.12) 就给出了G∈RHBm的一个 inner-outer分解。 注意,我们现在讨论的问题是,是否可以选择状态反馈阵F使G1(A+BF,B,C+DF,D)成 为inr矩阵,其中G当(A,B,C,D)稳定。要证明(311)确实有满足上述条件的解x,从而可以按 照(313)构造F,需要 Riccati方程理论。由于状态反馈可能改变系统的可观测性,(C+DF,A+BF)可 能不完全可观测。但只要A+BF稳定,按X的意义,它应为半正定的实对称矩阵。 注3.2由于G稳定,对G做右质分解时D必然是逆也稳定的传递函数矩阵。若分子N为ier矩 阵,则G=ND-1同时也是 inner- outer分解。所以, inner-outer分解只是分子是 inner矩阵的右互质 分解:Dx=G。,N=G1.由引理2.4,可取G。和G1如(3,12) Riccati方程论 E=A-BR DC, W=-BRB, Q=C DIDIC 则(3.11)又可写为 +nwX+Q=0. 这里E,W,Q∈RX,W=W”,Q=Q.(3.17)是Rati方程的一般形式。我们感兴趣的是(317是 否存在实的、半正定且使得E+WX稳定的解X.如果这样的解存在,则称之为ARE(317)的镇定解 ( stabilizing solution).镇定解X的物理意义可以这样解释。为简便起见,设D=0.考虑系统 Aae+ b (0) 的最优控制问题:寻找控制量u,使得指标函数 J会/(y+u2Ru)d 取最小值。 Kalman[]给出了这个优化问题的解 R-B Xa 其中X满足ARE A'X+XA-XBR-B"X+C"C=0 注意u是状态反馈,而在状态反馈下闭环系统的A矩阵为A+BK=A-BR-1BX=A+WX.显然 J只有在闭环系统稳定的情况下才存在,所以,A+BK=A+WX必须稳定。 注意, Riccati方程可以看作是矩阵形式的一元二次代数方程az2+bx+c=0.若用该方程的系数定 矩阵 H 则-4det(H)即一元二次方程的判别式△=b2-4a.一元二次代数方程的解的性质完全由△决定。受这 个启发,我们用ARE(3.17)的系数定义丑 amilton矩阵 我们将会看到, Riccati方程的解及其性质完全由H的特征值和特征空间的性质所决定
➣ ↔ ↕✗➙✣➛➝➜✙➞✥➟✓➠➢➡✥➤❜➥✥➦✗➧✙➨✗➩✥➫✥➤❜➥ ➭✿➯ ➲ ➳ ➵ ➸t➺✮➯ ➲ ➳ ➻ ↔ ➸➽➼❊➾ ➯ ➚❭➪✣➶✞➹✲➘❈➴ ➶✞➷ ➸ ➷ ➶✪➬✥➯➶✞➷④➪✣➶✞➷ ➶✞➹✲➘❈➴ ➶✞➷ ➸ ➷③➬ ↔④➮ ➚❭➪✣➶✞➹✲➘❈➴ ➶✞➷③➬✗➶✞➱t➶✞➷➱✞✃ ❐✙❒❁❮✑❰✥Ï ➯ ➲ ➳ ➻ ➻ ➸ ➳➽Ð✗Ñ✥Ò✙Ó➓Ô➢Õ✗Ö✗×✥Ø✙Ù✗Ú❁Û❜Ü❊Ý✲Þ✓➬✗Û✙➪✣Ý✲➹✲➘❈➴ ➯➶✞➷ ß❊Ü❊Ý✲➷ ❮➸③à✗á✥â❊ã ❮❜ä å ➯ ➲ ➳ ➻ æ ➸ ç✗è✥é✙ê❵ëíì✆î✞ï✞ð ñ ò ó â❊ô❊ÖPõöö÷ øù úûü ÷ ø③ý✙ã✥þ ÿ✁✄✂✆☎✞✝✠✟☛✡☛☞☛✌â✞✍✠✎❒✂ ❒✞✏➼✄✑✓✒✄✔✁✕✄✖✁✗☛✘✚✙✿Þ✪Ú✁ë✜✛✣✢➬❭➬✪➯ ✢ ✤ Û➢Ü➢Ý✲Þ ➮ Ý ➮ ß✣Ü❜➶✞Þ ➮ ➶❊➸✦✥ ✧⑤õöö÷ ø✩★✪✙✂✬✫✚✭ ë ✢➬❭➬➓➯ ✢ ✤ Û ➮ Ý ➮ ß ➮ ➶✞➸④à✙á✗þ✬✮✙Ó✪Ô✿➯ ➲ ➳ ➻ ➻ ➸✰✯☛✱❊Ù❰✗Ï✁✲☛✳☛✴✞✵â❊ã ❮ ✂✬✶☛✷➼✄✑✓✸ ✹ ➯ ➲ ➳ ➻ ➲ ➸✻✺☛✼PÞ ä ✽✮✿✾❃õ ❀ ❀❁ü õ❱×✗Ø✁❂✌þ❜➭ ❐✕✞✖☛✗☛✘✥➼✙Ò☛❃☛❄✄❅✠❆✓â❊➼☛❇☛❈☛❉✂ ➯ ß❊Ü➢➶✞Þ ➮ Û➢Ü❜Ý✲Þ✲➸➽➼ Ò☛❊☛❋✁●✗➼✁❇☛❈✓þ■❍✪❏✠✮PÛ✗Ü❊Ý✲Þ✓à✙á✂ ✸ ❮ â✞❑✞✂✓▲✁▼✧☛◆☛❖✥á✥â✁✱☛P✞◗☛★✪✙✙þ ❘❚❙❱❯ ❲❨❳✠❩❵ë❨❬✁❭✂✬❪ ë❴❫✞❵☛❛✁❜☛❝☛❞✄❡❣❢✁❤✩✐✄❥✠❦☛❧☛♠☛❬✁❭✪♥✠♦✞♣✄q✠r✞s✪t❊þ✬✉✁❝✞✈①✇✪❤③②⑤④⑥⑥✣⑦ ⑧✰s t ✂✠⑨ ë➓➬✞✇☛❤❢ ➘❈➴ ❤❶⑩ ❡✠♠☛❦①④⑥⑥✣⑦ ⑧❷ ❸❹❺ ⑦ ⑧❻❝☛❞✗þ✓❼✄❽ ✂ ④⑥⑥✣⑦ ⑧❷ ❸❹❺ ⑦ ⑧❾❝☛❞✚❿■❦☛❝✞✈✁❦①④⑥⑥✣⑦ ⑧➀s✪t✁♥✁❵☛❛✁❜ ❝☛❞✞➁➂❢✠❤t➬✥ë➘❈➴ ➃✪➄ ✇☛❤➽➬✥ë➀✛ ➅❻❳✞➆■➇➉➈ ➅ ➊ ➄✦➋✁➌ ë➘❈➴ ➃➎➍ ë➀✛✦➏➂➐➑ ➅ ➒ ➈➓ ➅ ➔✣→✰➣ →↕↔✁➙ ➛❱➛❱➜✻➝ ➙❻➞➠➟❨➡ ➢ ➤ ➬❊Û✙➪➢Ý✲➹➘❈➴ ➶➷ ß ➮①➥ ➬✥➪③Ý✲➹➘❈➴ Ý ➷ ➮❚➦ ➬✗ß➷ ➶✞➱➽➶➷➱ ß ➮ ➯ ➲ ➳ ➻ ➧ ➸ å ➯ ➲ ➳ ➻ ➻ ➸➩➨✙➼☛➫☛✧✞➁ ➤➷ ❮ Ü ❮➤ Ü ❮➥❮ Ü ➦ ➬ ↔④➮ ➯ ➲ ➳ ➻ ➭ ➸ Õ✞➯ ➤◗➮ ➥❜➮ ➦ ì➢î✆➲ ñ ➲ ä ➥ ➬ ➥➷ ä ➦ ➬ ➦ ➷ ➳✶➯ ➲ ➳ ➻ ➭ ➸ ❒ ✾❃õ ❀ ❀❁ü õ❈×✥Ø✥â✙ô☛➳✞➵✞➸✓þ ☎✄✝✁➺✞➻✞➼â❒ ➯ ➲ ➳ ➻ ➭ ➸ ❒ ✏☛➽✡✱✥â✞➾■◆✞❖✥á☛➚✗Ú✗➾ ➤ Ü ➥❮ à✗á✥â❊ã ❮ ➳➢Ð✗Ñ✗Õ✞➪✓â❊ã➽✡✪✂ å◗✞➶✞✧①➹❻✾③➘④➯ ➲ ➳ ➻ ➭ ➸✞â✁➴✥á✙ã ➯ ➷ ü ❁➬õ ➮ õ ➱ õö✃➀➷ú➮ûü õ úö❱➸ ➳✻➴✗á❊ã ❮ â✠❐☛❂✞❑➼✄✑✣Õ☛➪✗ã☛❒✓þ✓✧☛❮☛❰✞Ï✞Ð✂■Ñ ➶í➬ ↔ ➳✻Ò☛Ó✄❅✠❆ Ô Õ ➬ Û Õ Ü❊Ý❻Ö ➮ Õ ➯ ↔ ➸➽➬ Õ✦× Ø ➬ ß Õ â✠Ù☛Ú☛Û☛Ü✪✍✓✎✪➁■Ý✄Þ✁Û✞Ü☛ß✿Ö ä Ú✙➾✞à☛á✞â✠ã ä✓å➬☛æ ó × ➯ Ø ➷ Ø Ü✓Ö ➷ ➹③Ö④➸ çè éÙ✞ê✁ë✥þ⑤ì③❁➮í✆❁ö✻î ➻ ïtè✥é✙ê➢Õ✙Ö☛Ú☛ð✚✍✓✎✓â✣ã Ö✣➬✥➪③➹➘❈➴ Ý ➷ ❮Õ ✫✚✭ ❮✑❰✗Ï ➹❻✾③➘ Û➷ ❮ Ü ❮Û✙➪ ❮Ý✲➹➘❈➴ Ý ➷ ❮ Ü✣ß➷ ß✗➬ ↔④✃ ÿ☛ Ö ❒✕✄✖☛✗✞✘✂■✷✞✡✕✄✖☛✗☛✘✄ñ✪ò✁ó✞❅✁❆✓â⑤Û❃ù❱★✚✙✁✧❵Û❊Ü❊Ý❾ô✑➬✗Û✙➪➢Ý✲➹✲➘❈➴ Ý✲➷ ❮ ➬✗Û❊Ü ➥❮ ➳③õ☛ö ä ❏✣Ù✡ò✠ó✞❅✠❆✥à✙á✥â✠÷✞ø✄ñ☛ù➽✡✪✂■ú✑ ✂ Û✗Ü❊Ý❾ôí➬✙Û✣Ü ➥❮üû☛ýà✙á✗þ ÿ✁✄✂ ✾❃õ ❀ ❀❁ü õ✎×✗Ø✙➼✄✑✓þ☛ÿ❒★✪✙✠➵☛➸✓â❊ô✁✄✂✁☎✄✆☛ã✗×✗Ø✞✝ ✟✡✠❃Ü☞☛✟❭Ü✍✌③➬ ↔ ➳✏✎✄✑☞✒✙×✗Ø✗â☛❅✁ã✗á ❑★✪✙ ✓ ➬✕✔✕✖✠ ✝ ➪✗✌ ➪ ✖✠✍✘ ➮ å ➪ ➣✙÷ ü ➯✓➸✗✚❊ô☞✁✂✁☎✙×✗Ø✥â☞✛✁✜☛➸✞✢✄➬✄☛ ✠➽➪ ➣✝✌ ➳tô☞✁✂✁☎✁✆☛ã✗×✗Ø✥â✣ã✓â✠❉✤✣☛❋☛●➓➭✥✢✧✦✗á✗þ✩★❊Õ Ö✤✪✬✫✂✓☎✞✝✑⑤➹❻✾③➘④➯ ➲ ➳ ➻ ➭ ➸❭â☛❅✠ã✗á❑✮✭❁í✆õ ➮ ü úö✜★✪✙ ✓✰✯ ➬✥✔ ➤ ➥ ➪ ➦ ➪ ➤➷ ✘ ✃ ➯ ➲ ➳ ➻ ✱ ➸ ☎✞✝✬✲✁✳þ✁✴✂ ✾❃õ ❀ ❀❁ü õ➽×✗Ø✗â✣ã✁✵✫❉✄✣✞❋☛●➓➭ ✓ â✬✶✄✷✁ë✙➺✁✶✄✷✤✸✄✹✙â✠❉✤✣ú✦✥á✗þ
§3.3 Riccati方程论 引理3.3 Hamilton矩阵H的特征值关于虛轴是对称分布的 证明:只要证明H与一H相似就行了。定义 则 (3.19) 容易验证 JHJ-I E -Q W -E 331ARE的解 为叙述间40第三章化引模型匹酩问.问题为广问义距离(义3.9)。和1问可作题得I 义为广化则阳问题问义*=。,⊥.于述定是: X理3满足如果能朋是H的这个方程有使A+B化间1,间证明是稳矩阵化定的 如属小 解问1,则化2问=同12是就徐出了G的化一叫(E,W间=叫如u叫)分 矩阵的特征值化ne(H如分。矩阵H注元二A+B如上的特征值 证明,代为如题r义不R9)化和闻题如义若组用化则该团为广p明 问1 问 即问 判△ 化质式决受价启 E 问 问 (3d1) 将(3d1)H端乘祠-1 问EE问问W问Q=0 质式8明问题*黼图间义解。(3.d1)式义第若I行块w写为 Ew问=间1间 (3.d3) 启题m(E,W问)=mn()=m(如 将到剁义解与如义用底义选取无关.这题代为如果1题如义另若组用底化则必定该非 奇异广T化 向1 启题问12=问 证T-问22=问 定是3d给出了将銷特间义若种解法先确定为广H义得若方维不Rx9)义若组用他构.d方方 为广四网,和问1非奇异化则问1题将到间义若Ⅰ解显然将到间义解不唯若义 容易证明化它至多 (d方(d方1) I解,当当对角化化即Ⅱ·d方特征离(时化这最 大以达到,如果H量轴质没:特征化即引是3.H:半平面和右半平面内各方特征化 此时必能该若Ⅰ解问,EW问义特征都:半平面化即Ew间Huw稳定 定是3d给出了将间义若Ⅰ解,现丑义间4题将到间义解题否都以表示定是3d给 出义形式。定是33回答了这I问4
✺ ✻ ✼ ✻✾✽✗✿❀❀❁ ❂ ✿❄❃☞❅✁❆ ❇✡❈ ❉✬❊●❋■❍ ❋❑❏▼▲◆P❖ ◗❘ ❙❚❱❯❑❲❨❳❨❩✬❬✁❭✄❪✤❫☞❴☞❵✁❛✄❜✄❝✁❞✁❡✤❢✄❩✁❣ ❤✤✐❦❥✬❧✬♠✁♥✾♦ ❳✕♣✞qr❳tsr✉✁✈✁✇✁①❑②☞❣✍③✁④ ⑤✍⑥ ⑦✥⑧❱⑨ q✗⑩ ⑩ ⑨✍❶✬❷❹❸ ⑤❻❺❄❼❽⑦✕⑧❱⑨ ⑩ q✗⑩ ⑨✍❶✬❾ ❿ ➀ ➁ ❈ ➂ ➃ ➄✤➅✬➆♥ ⑤❳⑤❻❺❄❼❽⑦ q ⑧❱➇s qr➈ ➉ q ➇✥❶ ⑦ qr❳s ❾ ➊ ❋■❍ ❋■❍ ➋➍➌❱➎❱➏✾➐✬➑ ➒✁➓✄➔✾→✬➣✄↔✄↕✄➙✤➛✤➜✬➝☞➞✄➟✄➠✞➡➢r➤ ➁ ➡➢P➤✥➥✄➦✾➧❨➤✥➨☞➩➭➫✍➯❑➨✁➲✁➳❑➵✤➸✁❣✩➺✄➻✞➤✧➼✄➽✄➥✄➾✄➚✤➪ ➶✁➹✁➘✤➨✬➦❑➧☞➜ ❸ ➡➢➴➤✰➥✮➤✕➨✬➷✁➬✤❣✍➮✄➱✬✃✄❐✁➔✄③✁❒❥ ❮☞❊●❋■❍ ❰✄Ï✞Ð✁Ñ✬Ò■Ó Ôt❜✞❳✕❩☞Õ✬Ö✞×☞Ø✄Ù✁Ú☞Û✤Ü✄Ý✬➜❦➤❼ ❷ ➤ ÓrÞ Ò✡Ô■ß Ô➴❜✤à✬❯❑❲✬➜✬á✬â Ð ⑦ ➡➢ ⑧ ➤ ❼ ➤ Ó ❶ ã ➤ ❼▼ä☞å➜✬æ❨➤ ⑦ ➤ Ó ➤ ❺❄❼ ❼ ❜●ç✗❖ èè▲ ❘ ❖✏é☞êìëí î ï ðñò❩✬ó✄➜✩ô✄õ✮ö ÷ ❿ ➇☞ø ➉➤➃ ⑦ ö ÷ ❿❳✬ù Ð➃ ➜✩ú✄û✮ö ÷ ❿ ü ➃✗ý✄þ ❯❑❲☞❩✬❬✁❭✄❪✁➜✮ö✡÷ ❿❳✬ù Ð➃rý✄þ❯❑❲❨❳❨ÿ✁✁✂✁Û✤Ü✄Ý✥Ð☎✄✤❩✬❬✁❭✄❪✁❣ ❤✤✐❦❥✝✆➒❦Ð✁➥✞❳ ➨✝✞☞➹✁✟✤➵✄➸✁➜✡✠➤☞☛ ❼ ➤☞☛ Ó✍✌ ☛✍➥✮Ð✄➨✝✎✝✏✁✑✤➜ ❸✒✁✓✄➦❑➧✕✔ Þ Ò✡Ô■ß Ô✗✖✁✘ ⑧ ➇ ➉ qr➈ q ➇ s ❶ ⑧ ➤ ❼ ➤ Ó ❶ ⑦✥⑧ ➤ ❼ ➤ Ó ❶ ✔ ❿ ➀ ➁ ✙ ⑨ ➃ ✚ ➤ ❼✜✛✝✢➜✤✣✁✥✧✦✝★✁✩✫✪ ⑧ ➇ ➉ qr➈ q ➇ s ❶ ⑧ ⑩ ➤ ❶ ⑦ ⑧ ⑩ ➤ ❶ ➤ ❼ ✔❽➤ ❺❄❼ ❼ ❿ ➀ ➁ ✙ ❈ ➃ ✬ ❿ ➀ ➁ ✙ ❈ ➃✍✭✁✮✁✯✁✰ ✠➤ q✍⑩✌ ✘ ➤ ➇✁ø✬➇ s ➤ ø ➤➉➤ ø ➈ ⑦ ⑨ ❾ ❿ ➀ ➁ ✙ ✙ ➃ ✣✁✥✁✱♦ ➤✥➥✳✲✵✴ ✶ ✶✷✸ ✴■↔✧✹✄➨✻✺✤❣ ❿ ➀ ➁ ✙ ❈ ➃ ✥✤➨✻✼✧✎☞➚✁①✁✽✛✁✾➒ ➇✁ø ➉➤ ⑦ ➤ ❼ ✔❽➤ ❺❄❼ ❼ ❿ ➀ ➁ ✙ ➀ ➃ ✪☞➥✞ö ÷ ❿ ➇☞ø ➉➤➃ ⑦ ö ÷ ❿✔➃ ⑦ ö ÷ ❿❳✬ù Ð➃ ➁ ✲✵✴ ✶ ✶✷✸ ✴✡↔✧✹✄➨✻✺✄♣❨Ð✤➨✻✑✁✿✤➨✻❀✁❁✁❂✧❃✤❣❅❄✁➥✆➒✁❆✁❇ ⑧✕❈➤ ❼ ❈➤ Ó ❶ ➥ Ð✁➨✁❉✝✎✝✏✁✑✁✿✤➜ ❸ ❊③✝✒✧✓✧❋ ●✧❍✤➧✕■❑➜✤✖✁✘ ⑧❏❈➤ ❼ ❈➤ Ó ❶ ⑦✕⑧ ➤ ❼ ➤ Ó ❶ ■ ✪☞➥ ❈➤ Ó ❈➤ ❺❄❼ ❼ ⑦ ➤ Ó ■✵■❺❄❼ ➤ ❺❄❼ ❼ ⑦ ➤ Ó ➤ ❺❄❼ ❼ ⑦ ➤ ③☞❒ ➁ ➀ ➁ ✙✜❑✫▲ ②▼✲✵✴ ✶ ✶✷✸ ✴ ↔✧✹✄➨✝✎✝◆✁✺✁❖❥✍P✧◗③☞➦❑➧ ❳ ➨✬➾✧✎✥×☞❘✧✞☞➹✁✟✤➵✄➸☞➨✝✎✝✏✁✑✤➜✍❙✁➳ ✙ ×❯❚r× ➦❑➧❲❱➤☞☛ ❼ ➤☞☛ Ó❨❳ ☛❨❩ ➺❨➤❼ ❋✝●✧❍✄➜ ❸ ➤ Ó ➤ ❺❄❼ ❼ ➥❬✲✵✴ ✶ ✶✷✸ ✴ ↔✧✹✄➨✝✎☞➚✁✺✤❣❪❭✝❫❬✲✵✴ ✶ ✶✷✸ ✴■↔✧✹✄➨✻✺✧✞☞➥✫❴✝✎✄➨✁❣ ➄✤➅♥✾♦ ➜✤❵✁❛✧❜☞✃ ❿ ✙ × ➃ ü ❿ ✙ ×❱q ❈ ➃ ü ü ü ❿ × ø ❈ ➃ ×✍❝ ➚✁✺✤❣❡❞❦❳ ✛✝❢✧❣✝❤➜❡✐❦❳✥✃ ✙ ×➴➚✁❥✧❦❑➫✩➯✫❧✁➜♠❄✄➚✁♥ ♦✁➷✛✫♣❡q✁r❣✗❆✁❇✞❳▼✓✧s✝t✁✣✧✉☞✃✁❥✧❦✁➷✤➜✻✚✍➝☞❒ ➀ ➁ ➀ ❩ ❳✈✓✯✁✇✁①✧②✝③✁④✁✇✧①✧②✈⑤♠⑥✃❦×✍➚✁❥✧❦☞➷✤➜ ⑦✫❧✛✁⑧✒✁✓✧✎✁➚✁✺✞➤ ❩ ✖✁✘ ➇✁ø ➉➤✥➨✻❥✧❦☞➷✁⑨✁✓✯✁✇✧①✧②➜✻✐ ➇✤ø ➉➤♠⑩✵❶❷❸✵✴ ✸ ❹❻❺✁③✄❣ ③☞❒ ➀ ➁ ✙❻❑✫▲ ②✕✲✵✴ ✶ ✶✷✸ ✴■↔✧✹✄➨✝✎☞➚✁✺✤❣❅❼✁✓❑➨✄→✬➣✁➥✡✲✵✴ ✶ ✶✷✸ ✴❄↔✧✹✄➨✻✺✁➥✧❽✝⑨✛✫♣✻❾✁❿➳✄③✁❒ ➀ ➁ ✙✗❑ ▲ ➨✻➀✁✥✤❣✍③☞❒ ➀ ➁ ➀ ➁♠➂②❡❄✁➚❑→✍➣❑❣
第三章化模型匹配问题为广义距离问题 定理3.3如果X∈CⅫ是 Riccati方程(③3.17)的解,则存在X1,x2∈Cmn,x1可逆,使得X=X2X11 ,点」呜列向量是的某一n维不变子空间ν的基底 且矩阵 证 定义 A: =E+wX 左乘X得 XA= XE+XWX (3.25) 这两个方程可等价地写为 E -O -EN X X 上式说明矩阵 的列向量张成了H的一个n维不变子空间y.令X1为任一非奇异矩阵,则上式等 价于 XIXI AXI Q 于是 X1 2/的列向量也是少的一组基底 由定理3.3可知,ARE有解的充要条件是H至少有一个n维不变子空间,其基底为/ x2/的列 向量,其中X1为n×n非奇异矩阵 8332ARE解的结构 回顾方程(3.11.由于X是(AF,CF)的可观测性Gamn,x必须是实的对称矩阵。而定理32虽 然给出了 Riccati方程的解,但对解的结构并未做任何说明。如果H|有共轭复特征值,X1,x2,从而x 可能是复矩阵。这种解显然不符合要求。所以有必要研究,在什么情况下X为对称实矩阵 定理3,4令ν是Ⅱ的一个n维不变子空间, 2/∈C2mxm的列向量是的一组基底,即 X 如果对所有的r,s=1,2,…,7,都有M(H|》)+A,(B|少)≠0,则X1x2为 Hermitian矩阵,即X1x x2X1如果x1非奇异,则X=X2X1为 Hermitian矩阵 证明:由于V是H的不变子空间,存在A∈Cnx满足 上式两端左乘[X1X2]J得 JH X 由于JHQE是 Hermitian矩阵,上式左端为 Hermitian矩阵,从而右端也是 Hermitian阵,即 e w 1x2)A=[X2X1-X1X2)A]=A(X1X2-x2X1)
➃ ➄ ➅✧➆✻➇➉➈✁➊✫➋➍➌❡➎✫➏✤➐✫➑✧➒✁➓✧➔✫→✫➏✤➐ ➣✝↔✳↕➛➙ ↕✫➜✧➝➟➞➟➠❅➡➤➢➛➥ ➢✗➦➨➧✵➩ ➫➫➭ ➯ ➩➤➲✝➳✡➵➸ ➺ ➻ ➼➽❪➾✻➚✧➪➹➶✻➘✧➴➟➞☞➷ ➬ ➞✗➮✜➠❅➡➤➢➛➥ ➢☞➪✤➞☞➷✵➱✝✃✧➪❒❐✧❮➟➞▼❰✝➞✗➮ ➞✤Ï ➷ ➷ÑÐ Ò✁Ó➍ÔÖÕ ➞☞➷ ➞✗➮♠× ➾✝Ø➍Ù❡Ú✝➦✡Û➨➾✧Ü✻Ý❬Þ✝ß✧à✁á✝â✫ã✧ä➟å✈➾✝æ✝ç✧è é✫ê❬ë❡ì✁í î✝ï ❰✧ð✝ñ✻ò✧➞☎ó ô õ ö ➄ ➃ ÷ ø✁ù➨➞▼ú ➞ î ❰✁➞♠ð✝ñ✻➞♠ò✧➞▼❰✫û✜ð❻ü ➞Ñû❡ý✻ó ô õ ö ➄ þ ÷ ÿ✁✁✂✁✄✆☎✁✝✟✞✆✠✁✡☞☛✆✌ Õ ð ò û✜ý û✜ðü × Õ✁✍➞✡× ❰ Õ✁✍ ➞ × î ó ✎✁✏✁✑✓✒✕✔✗✖ Õ☞✍ ➞ ×✕✘✚✙✓✛✕✜✆✢✟✣✗✤ Û ✘✟✥✂➨Þ✧✦✆★✟✩✁✪☞✫✆✬✕å✵ö✮✭➨➞☞➷✮✌✁✯✥✁✰✟✱✆✲✔✗✖✁➪✧✳✁✎✆✏✁✞ ✠✆✴ Õ ð ò û✜ý û✜ðü × Õ✆✍ ➞ × ➞☞➷✵❰ Õ✁✍ ➞ × ➞☞➷ ➞✤Ï ➷ ➷ î➞☞➷❒➬ ✴✟✵ Õ ✍ ➞ × ➞☞➷ ï ❰ Õ ➞☞➷ ➞✗➮♠×✶✘✚✙✓✛✕✜✁✷✵➨å ✘✟✥✟✸✁✹✁✺è ✻ ì✟✼ õ ö õ✽✝✁✾✧➪❀✿❂❁❄❃✚❅✁❆✘✁❇✚❈✁❉✆❊✵✡Û●❋✟❍✁❅✥✂➨Þ✕✦✆★✟✩✁✪☞✫✆✬❬å❄■❑❏✹✁✺✌ Õ ➞☞➷ ➞✗➮♠×✶✘✚✙ ✛✕✜➪✕❏✓▲➟➞☞➷✽✌❬Þ✕▼☞Þ ✰✟✱✆✲✔✗✖✝è ◆ ↕➛➙ ↕➛➙ ❖◗P❙❘❙❚☞❯☞❱✚❲✁❳ ❨✕❩✄☞☎ ô õ ö ❬ ❬ ÷ ö❭✻✶✴➨➞❀✵✳ô❪❄❫❅➬ ❴❵❫ ÷ ✘✝✁❛✆❜✆❝❡❞❂❢❣❤❙✐❣❥❑■ ➞●❦✆❧✁✵☞♠✘✟♥☞♦✔✓✖✁è✕♣ì✁✼ õ ö ➄❂q r✆s☞t ✤ ❁✮✐ ✉ ✉❣✈ ✐❑✄✆☎✘❆✫➪❭✇♥ ❆ ✘✟①✁②✁③✆④✁⑤✯✟⑥✆✑✓✒✻è❙⑦✁⑧➨Û✚⑨ å✆❅✁⑩✁❶✁❷✁❸✆❹✟❺✫➪Ñ➞☞➷❨➬ ➞✗➮ ■ ❻✁♣❬➞ ✝✁❼✟✵✁❷✁✔✗✖✝è✤ÿ✆❽✆❆✆❾✁r✆★✁❿✁➀❈✆➁è✕➂✓➃✶❅☞❦❈✆➄✗➅➪✕➆☞➇✆➈✟➉✁➊☞➋❬➞➌✌♥✆♦♠✟✔✗✖✁è ➣✝↔✳↕➛➙ ➍✗➎ å✧➦✳Û❬➾✝Ý✚➏✡Þ✻ß✧à✁á✝â✫ã✧ä✻➪ Õ ➞☞➷ ➞✗➮❅× ➠❅➡ ➮ ➢➛➥ ➢✤➾✝Ø➍Ù❡Ú✝➦➨å✈➾✝Ý✁➐✁æ✝ç✧➪✁➑ å✝❰✁➒❤ Õ ➞☞➷ ➞✗➮ × ➜✫➝✆➓✆➔✆→✫➾↔➣ ➬ ↕❯❰➙❬ ➬ ➄ ➬ ➛ ➛ ➛ ➬ Þ Ð❵➜ →❡➝ ➞ ôÛ✚⑨ å÷ ñ✗➟➝➡➠ ôÛ✚⑨ å÷➤➢❰➦➥ Ð ➶➨➞➷ü ➞✗➮➤➧➩➨✽➫ ➭➯❯➩ ➯ ➩ ➭➲ Ó☎Ô ➪✁➑❬➞➷ü ➞✗➮✗❰ ➞➮ü ➞☞➷ ➺➹➜✧➝❬➞☞➷❭➳✚➵✁➸✁➪✝➶ ➞➟❰✁➞✗➮ ➞ Ï ➷ ➷ ➧➩➨✽➫ ➭➯❯➩ ➯ ➩ ➭➲ Ó➍Ô è é✫ê❬ë ✻✕✴❬å✁✵✡Û ✘★✟✩✁✪☞✫✆✬✁➪✕➺✁➆ î ➠❅➡➢➛➥ ➢❭➻✆➼ Û Õ ➞☞➷ ➞✗➮♠× ❰ Õ ➞☞➷ ➞✗➮♠× î ✎✁✏✁✁➽✁ø✁ù➚➾➞➷ü ➞➮ü ➪ ➶ ú Õ ➞☞➷ ➞✗➮♠× ü ➶Û Õ ➞☞➷ ➞✗➮❅× ❰ Õ ➞☞➷ ➞✗➮♠× ü ➶✁Õ ➞☞➷ ➞✗➮♠× î ô õ ö ➄ ➹ ÷ ✻✕✴ ➶Û❏❰ Õ ý ðü ð ò × ✵➚➘✮➴ ❢❤❙✐ ✈ ✐❣❥➷✔✗✖✝➪➤✎✁✏✁ø✁➽✆✌➬➘✮➴ ❢❤❙✐ ✈ ✐❣❥❭✔✗✖✝➪➤❻✁♣✁➮✁➽✷ ✵↔➘✮➴ ❢❤❙✐ ✈ ✐❣❥✕✖✝➪✕➱ ô➞♠ü➮ ➞☞➷➹û❡➞♠ü➷ ➞✗➮ ÷ î ❰✗➾ ô➞♠ü➮ ➞☞➷➹û❡➞♠ü➷ ➞✗➮ ÷ î ➪ ü ❰ î ü ô➞♠ü➷ ➞✗➮✵û✤➞♠ü➮ ➞☞➷ ÷ ó ô õ ö ➄ ✃ ÷
§3.3 Riccati方程论 Y=X2X1-Xix2 则Y=Y.(3.27)等价于 YA+AY=0 这是一个 Lyapunov方函数若能,如何概念(A)+和)兰0的条进下何行方函分唯一的形Y=0式使了数 由于A是控制步于简3的表.何念(A)=控简翁A)+)兰0.由2 I BnLyapunov方函 (3.29)r、分唯一的形Y=x1X2-X2X1=0 由xix2=X2x1m得X=x2xn2=(xi)ux=tx2xmn递=x”n函数要,如的矩阵数 的定定义先了考球单方函的形X是输、出的充要条进数 Q∈m令简∞控1-Q, 显然G~一何x 且∞简‖1j X=X2Xn∞ X? (何+.·简≈34可‖何v9其简逆属明简这明n934数 如仅由简的所优对称性何[明明]也是简的一组基数于是存概非奇异出Pn使得 引 P,=属君=x2Xn1=x 注1元二次方程ax2+bx+c=01 hamilton矩(‖特征多项式为舍-△/4.△>0时何控 两待征值均为」数数相应两然G特征)~、均34可显」、)数于∞方程两根 均为」数数可于ARE,如果念∞控简1特征值何也。控简1特征值数那么 控v=念9,逆属控明=巒 9属于‖特征°且为于。9和明均为简|°且数这样构成然G、简必定~34可 数 以3的矩阵见[4n3n2 8∈ARE的镇:解 再回顾方函(3.11.x除了是输对称、出之外何还不应使得、出A-BRu2(DC+ B" XHurw牌稳定数 将3的出38第A-BDC+(BBB三化考球单方面(317相型何匹x应是考 方函的配定形数问一题为的矩阵匹如阵控概虚轴3分离注3何则对任.“维若G子只满简控简都 若o能Hurw稳定数这足味着方函件配定形数于是1须,控概虚轴3则分离注3数、控概左称右两 个金通的(l分个离注3麴相应Ps)两个维离注子只满x(控和画控何问幅是对应于控概左 全通的(的个离注3的离注频特的是一只满何直幅是对应于控概右全通的(的Q个离注3的离注3频 特的是一只满数 (控 ~x1,控)=这x着 X意 这对X其游=1,2,3,4则胼有=x(控)面控如阵x1非奇异何o作X=x2Xx2第用镒益的配 定形第.样足何所有=(控函控足味着、出 X1X意 非奇异数若x1非奇异何的出矩形第 X1X意 uX意 X着X2XX意
❐ ❒ ❮ ❒✓❰✮ÏÐÐÑ Ò ÏÔÓ✟Õ✁Ö × Ø Ù Ú☞Û✁Ü✧ÝÞ Ü❙ßáà✶Ü✧Ýß ÜÞãâ ä Ø å æ ç è é Ú Ý Û✁Ú å ä Ø å æ ê èãë✁ì✆í Ú✽î✕ï✚î✮Ý Ú✗Û✁ð❵ñ ä Ø å æ ò è ó✁ô✆õ✟ö↔÷❑øùúûüýþ❭ÿ✁✁✂☎✄✁✆✞✝✠✟☛✡☎☞✍✌ ✎ äîè ï✑✏✌✓✒ äîè✕✔Û✁ð✗✖☛✘✑✙✁✚✡☎✛✁ÿ✁✞✜✣✢✁õ✖✞✤➬Ú Û✆ð✦✥✑✧✩★ ✂ ✪ í î ô✬✫✮✭✞✯ í✱✰✑✲✖✞✳✁✴✡✱✌ ✎ äîè Û ✌ ✎ ä✫☛✵ ✰❵è å ✌ ✎ äîè ï ✌✓✒ ✏ äîè✗✔Û✓ð å ✪✞✶☛✷✬✸✺✹Ô÷❑øùúûüýþ❭ÿ✣ ä Ø å æ ò è✼✻✣✽✜✣✢✟õ✖☛✤↔Ú Û✁ÜßÝ ÜÞ à✕ÜÝÞ Ü❙ß✮Û✁ð å ✪ ÜßÝ ÜÞ Û✁ÜÝÞ Ü❙ß ✹ ✾✞✿ Ü Û✁ÜÞ Ü❁❀ ß ß Û äÜßÝ è ❀ ß ÜÝÞ Û❃❂ÜÞ Ü❁❀ ß ß✩❄ Ý Û✁ÜÝ ✹❆❅☛❇✑❈✑✝✠✟✖☛❉✁❊✂ ✚✞❋✁●✞❍✁■✣❏✑★▲❑✺▼ ◆ ◆ù❖ ▼ ÿ✁✖☛✤↔Ü ô✁P✞◗✩❘✖✑❙❈✘✑✙✂ ❚✞❯✬❱❆❲ ❳✣❨ ✰✣❩ ✫❭❬✑❪✞❫✱❴☛❵✣❛✁❜✑❝✩❞✣❡☛✡❣❢ Ü❙ß ÜÞ✐❤ ❬✑❥✠❦☛❧❩♠✰ ❬✑❪✁♥✁♦✑♣✣✡✞q Ü Û✁ÜÞ Ü❁❀ ß ß ❩✠r s✩t ✡✣✉✇✈✞①②✉ ✰✠❩✑③✑④✁⑤✞⑥ ❬✞✡✑⑦✮⑧⑩⑨✼❶ ✰☛❷❹❸ ✏⑧❆⑨✼❶ ✰✺❺✼❻✁❼ ✏⑧❆⑨ ❩ ⑧❆⑨✦❬ ③✑④✂ ✝✠✟☛❽✁✪ ✰ ✖☛❾✑❿✑➀✁➁✞➂✡✱➃Ü☎➄✏ ß Ü☎➄✏ Þ⑩➅ ➄❁➆ô ✰ ✖õ✞➇✑➈✣✂ íô✑➉✁☞✁➊✑➋✁➌✩❘❭➍✗✹❆➎✑✿ ❢ Ü❙ß ✏Ü✏ Þ✇❤ Û ❢ Ü❙ß ÜÞ✇❤ ➍ â Û❸ Ü➙Û ✏ ✱✏ÜÞ Ü✏ ❀ ß ß Û✁ÜÞ Ü ❀ ß ß Û✁Ü✗ñ ➏✬❱❆❲ ❱✩❪✁➐✁➑✑➒✣➓✑➔✱→ ➣➡Þ ï✞↔➣ ï☛↕❂Û☞ð ❬♠➙➜➛➝✗➞ ➟➠ ➡➢ s✠t ❬✞➤✁➥✠➦✞➧✣➨✁➩✍✌➡Þ à☛➫❹➭ ×❆➯ ✉ ➫②➲✆ð✐➳ ✡✱✫❭❬ ➵❫✁➤✑➥✁➸✑➺✁➩ r☛➻✂✇➼✑➽✩❬ ➵❫✩❛✑❜✍➾➤✑➥➪➚✐❝✣❞✁❡➪➺ ❩✑③✑④✁⑤✞⑥ ❬✱➾❪✁❵ r ❞✁❡☎➚✐✂❁➶❩➓✞➔✣❬ ➵❫✑➹ ➺✁➩ r➪➻✂ ⑤ ➶▲➘✦➴✺➷❺➮➬✁➱ ✌ ⑨ ❩ ✫☛✵ ✰ ❬✞❪☛❫✁➤✑➥✁➸✁✡✞q ✏✌ ⑨⑩✃❩ ✫☛✵ ✰ ❬✞❪☛❫✁➤✑➥✁➸✑✂☛❐✩❒ ✫✐⑧❆⑨ Û ✌ ⑨ ⑧❆⑨ â ❷❹❸ ✫ ✏⑧❆⑨ Û ✌✏ ⑨ ✏⑧❮⑨ â ⑦☛❰✩➶ ✌✏ ⑨✕❬✞➤✁➥❃❦☛❧✣➩ ✏⑧❆⑨ ➯ ➶ ❩ ⑧❆⑨✦Ï ✏⑧❆⑨✺➺✣➩ ✰ ❬✑♦✑♣❃❦☛❧✁✂ ❻✁Ð✣Ñ✁Ò ❬✁❛✁❜✞❝✩❞✣❡ ✰✞Ó✑Ô✣❩✁③✁④✣⑤ ⑥ ❬✞✂ Õ✲✖☛❉✑❊✁Ö ➃× ✹ Ø ✹ æ ➅ å × ❱❆❲ ❱❆❲ ❱ÙØ☎Ú☎Û✠Ü☛Ý✁❚✞Þ ß❃à✇á✁ÿ✁ ä Ø å â â è å Üäã✁★ô✁P➀✁➁◗✩❘☛å✑æ✣✡✗ç✑è✑➎✁✿✑◗✩❘❭é à❁ê➜ë❀ ß äìÝ í ï❁ê Ý Üè îûïð▼ ❖ ñ✕ò●✂ ó✲❋◗✩❘☛ô✑õ✑ö♠é à❁ê➜ë❀ ß ìÝ í ï ä à✦ê Ý ë❀ ß ê Ý èÜø÷✁ù▲❑✺▼ ◆ ◆ù❖ ▼ ÿ✁ ä Ø å â ê è❮ú❃û✇ü✡❹✾✑ý Ü è✁ô ❑✺▼ ◆ ◆ù❖ ▼ ÿ✁✖☛þ✁●✞✤✂✇✪✇ÿ✆õ✁✁✂✖☛❉✁❊✾✑ý✣✡☎✄❊ ✫ä☞✝✆✟✞✲✜✁✠✝✡✟☛✣✡✽é➀✝☞✟✌ ❴✎✍✝✏✟✑✁✒✔✓✝✕ ✰ ✹❆✫☛✵ ✰✎✖ ✏✑✾✑✆ îûïð▼ ❖ ñ✗ò●✂➤ó✁✗✙✘✎✚✁ÿ✁✁✛þ✣●✞✤✂ íô✔✜✁✢✁✣♠✫✮☞✝✆✟✞✲✝✤✜✁✠✝✡✁☛✣✂ ✻✩✽ ✫✮☞✁✥✔✦★✧✁✩ ö✁✪✁✫✝✬✮✭✰✯✑✜▲❴✶ö✁✠✝✡✟☛✣✂ úè✝✱✔✲✴✳✝✩✁ö♠❴✎✍✁✠✝✡✟✒✔✓✝✕✶✵❀ ä✫è✸✷ ✵✺✹ ä✫è ✡☎ÿ✁✻✁ô➀èí ✫ ☞✁✥ ✪✁✫✝✬✮✭ ✖ ❴✕ö✴✠✝✡✟☛✖✠✝✡✙✼✾✽✖✁✿✟❀✓✝✕✞✡❂❁✁✻✆ô➀èí ✫ ☞✁✧✁✪✁✫✝✬✮✭ ✖ ❴✶ö✁✠✝✡✟☛✖✠✝✡✟☛✮✼ ✽✖✟✿✟❀✓✝✕✞✂✾✣ ✵ ❀ ä✫è Û✁❃❄ ❢ Ü❙ß ÜÞ✇❤ â ✵✺✹ ä✫è Û✁❃❄ ❢ Ü❆❅ Ü❆❇ ❤ ä Ø å Ø ð è ó✝❈ Ü⑨⑩❶★❉❋❊❍● ❊❆✹ ■ Û â â æ â Ø â × ✹ é❏❉❑Þ ❊ Û ✵ ❀ ä✫è✸❑ ï ✵✺✹ ä✫è å ✄❊↔Ü❙ß ➊✑➋✣➌✣✡➪✾✁▲ Ü➦Û✁ÜÞ Ü❁❀ ß ß ö◆▼❑P❖✞✖✞þ ●✞✤ö✝◗✎❘✟✗✣✡❙❉❑Þ ❊ Û ✵ ❀ ä✫è✸❑ ï ✵✺✹ ä✫è ✗✙✘✎✚✑◗✩❘ ❢ Ü❙ß➚Ü❆❅ ÜÞ Ü❆❇ ❤ ➊✞➋✁➌✁✂❁✄ Ü❙ß ➊✞➋✁➌✁✡ ✲❋◗✩❘✞✾✟❚✤ö ❢ Ü❙ß➚Ü❆❅ ÜÞ Ü❆❇ ❤ Û ❢ Ü❙ß ð ÜÞ❱❯☛❤ ❢ ❯ Ü❁❀ ß ß Ü❆❅ ð Ü❆❇✮à✶ÜÞ Ü❁❀ ß ß Ü❆❅ ❤ ñ