第三讲势箱模型
第三讲 势箱模型
1. 一维势阱80DO个>定态薛定谔方程(0<x<a)e共轭烯烃·势函数 V(αx)otherwise自由电子气·S方程? 0?V(x)y(x)=E(x2m ax20+01粒子不可能到达分区求解WallWall1i.x<0或x>a,y(x)=0k=~2mE/hii.0<x<a通解 y(x)=A'eilc+B'e-i =Asin(ha)+Bcos(kxr)两种动量方向的平面波叠加
1.一维势阱 ➢ 定态薛定谔方程 • 势函数 • S方程 ➢ 分区求解 粒子不可能到达 两种动量方向的平面波叠加 共轭烯烃 自由电子气
ii.x=0处连续，得B=08648/43x=a连续，得ka=n元（n=0,1,2..4iv.归一化[(x)Pdx=1366525得A=V2/α，n±016结果9-41202n元(0<x<a)sinx543aUa0otherwiseh?k?n?h?E(n =1,2,.)18ma?2m
➢ 结果
性质648(83n元零点能E>0；节点数：n-1492366动量不确定(x2i525不确定关系16394hh元2Ax ~ a, Ap ~ P, =△x△p112a波函数正交性[0(n±m)J°y,(x)ym(x)dx=8,m[1(n=m)波函数完备性2任意[0,a]上品优函数f(x)n元sinxaa可展开成f(αx)=Zc(x）1?k?n'h?E(n=1,2,8ma?2m其中c,=J。y(x)f(x)dx
➢ 性质 • 不确定关系 • 波函数正交性 • 波函数完备性 ( ) 2 = sin n n x x a a • 动量不确定 ( ) ( ) 1 2 2 ikx ikx x e e i a − = − n k a = ~ , ~ 1 x a p p a = ~ 2 h x p ( ) ( ) 0 1 n m n m = = ( ) ( ) * 0 a n m nm x x dx =
>能级间隔(2n+1)h2n?h?En+I -E, = (n+1)"h?8ma?8ma?8ma?宏观体系，a很大，能级间隔>0自由粒子，能量是连续的（非量子化）概率分布WallWalln=2(a).2n元xhP=J"vi(x)dxsin?dxn=0aan=求粒子位于(0,b)之间的概率例(b)b12n元b2n元x=dx =sinCOS2n元aaan=1(c)并非均匀分布
➢ 概率分布 例 求粒子位于(0,b)之间的概率 ( ) 2 0 b P x dx = n 2 0 2 sin b n x dx a a = 0 1 2 1 2 1 cos sin 2 b n x b n b dx a a a n a = − = − ➢ 能级间隔 ( ) 2 2 2 2 2 2 1 8 8 n h n h ma ma + = − ( ) 2 2 2 1 8 n h ma + E E n n +1 − = • 宏观体系，a很大，能级间隔→0 • 自由粒子，能量是连续的(非量子化) • 并非均匀分布