西安电子科技大学：《无线通信理论》课程教学资源（教案讲义）Lecture 7 MIMO容量与多天线复用技术

无线通信原理2021春郑贱平 Lecture7MIMO容量与多天线复用技术 2021-4-24 1、快衰落信道 考虑快衰落MMO输入输出信号模型 yn =Hx+w.m=12... (1) 其中x=[xw于aeX、wn-CW(0,N)、y.=[ya了eC心和 耳=h水X∈C心心分别表示发送、噪声、接收信号和信道矩阵。进一步假 定hA~CW(O,),E[k]sP.后续部分忽略时间下标m 上式对应的输入输出互信息表示为 I(x:y)=H(y)-H(y)=H(y)-H (w) =log(πe)'K-log(πe)lK =log K-log K. (2) =log HK,H +NI-log N I 其中K。,a=片，x,1w表示协方差矩阵。因此MM0信道最大可达信息速率即容量为 (3) 11、CSR情况 假设仅接收端已知CSL,当信道矩阵H具有独立同分布元素~CV(0,)时，易证当 K,=PN,I时，互信息达到最大值，即 C-be (4) 其中SNR=P/N。 进一步假定H的奇异值分解为H=UAVH,其中U∈C,,V∈C,x为酉矩阵

无线通信原理 2021 春 郑贱平 Lecture 7 MIMO 容量与多天线复用技术 2021-4-24 1、快衰落信道 考虑快衰落 MIMO 输入输出信号模型 , 1,2,... y H x w m m m m    m （1） 其中 ,1 , ,..., t t T N m m m N     x x   x 、 w I m 0,N0  、 ,1 , ,..., r r T N m m m N     y y   y 和  ; ,  , 1,..., , 1,..., r t r t N N m m i j i N j N h    H   分别表示发送、噪声、接收信号和信道矩阵。进一步假 定 hm i j ; , 0,1 ， 2 E P m      x 。后续部分忽略时间下标 m。 上式对应的输入输出互信息表示为                 0 0 0 ; log log log log log log 1 log N N r r y w y w H x H x I H H H H e e N N N                x y y y x y w K K K K HK H I I I HK H （2） 其中 , , , a K a y x w  表示协方差矩阵。因此 MIMO 信道最大可达信息速率即容量为   0 1 max log x H x tr P C E  N         K I HK H （3） 1.1、CSIR 情况 假设仅接收端已知 CSI，当信道矩阵 H 具有独立同分布元素 0,1 时，易证当 K I x t  P N 时，互信息达到最大值，即 log H t SNR C E N         I HH （4） 其中 0 SNR P N  。 进一步假定 H 的奇异值分解为 H H U ΛV ，其中 , N N N N r t t t   U V   为酉矩阵

无线通信原理2021春郑规平 A=diag{2,,,0,,0}∈Cxw为对角矩阵并且其r=rank(H田个奇异值满足 之入之之2>0。当H具有独立同分布元素~CW(0,)时，一般有 r=Nm,=miW,N}。此时，信道容量可进一步表示为 C=E 0g1+SNR HH" N. (5) N 接下来，基于(5)分析CSIR时信道容量特性。首先，应用Jese不等式，有 c-空受】 (6) s log1+WRL艺 N,Nn台 当=，1=2，，N即所有奇异值均相等(H的条件数为1)时，上式取到等号即容量 达到最大值。一般的，在秩相同的条件下，信道H的条件数越好（越小），信道容量越大。 其次，考虑高SNR情况。在高SNR条件下公式(5)可近似为 CsNY之[g】 (7) 上式中2表示自由度为21的中心卡方分布。 作业1：证明式(7)。 接下来，考虑低SNR情况。此时公式(5)可近似为 c爱ge空[s6ru】 N (8) :oa,ex2∑A]-MsRe,r 从上式可以看出，此时容量与发送天线数无关。因此在低SNR时，天线应该更多配置在接 收端以获得功率增益（如CDMA系统）

无线通信原理 2021 春 郑贱平 diag ,..., ,0,...,0  1  N N t t  r  Λ   为 对 角 矩 阵 并 且 其 r  rankH 个 奇 异 值 满 足 1 2 ... 0        r 。 当 H 具 有 独 立 同 分 布 元 素 0,1 时，一般有 r N N N   min min ,  t r 。此时，信道容量可进一步表示为 min 2 2 2 1 log log log log log 1 H t H H H t t N i i t t SNR C E N SNR SNR E E N N SNR SNR E E N N                                                  I HH I UΛV VΛU I UΛ U I Λ （5） 接下来，基于（5）分析 CSIR 时信道容量特性。首先，应用 Jense 不等式，有 min min 2 1 2 min min 1 log 1 1 log 1 N i i t N i i t SNR C E N SNR N N N                             （6） 当 2 2 1 min , 2,..., i    i N 即所有奇异值均相等（H 的条件数为 1）时，上式取到等号即容量 达到最大值。一般的，在秩相同的条件下，信道 H 的条件数越好（越小），信道容量越大。 其次，考虑高 SNR 情况。在高 SNR 条件下公式（5）可近似为   min 2 min 1 max , 2 min 2 1 log log log log t r t r N i i t N N i t i N N SNR C N E N SNR N E N                     （7） 上式中 2  2i 表示自由度为 2i 的中心卡方分布。 作业 1：证明式（7）。 接下来，考虑低 SNR 情况。此时公式（5）可近似为   min 2 2 2 1 2 2 , 2 log log log log N H i i t t i j r i j t SNR SNR C e E e E tr N N SNR e E h N SNR e N                           HH （8） 从上式可以看出，此时容量与发送天线数无关。因此在低 SNR 时，天线应该更多配置在接 收端以获得功率增益（如 CDMA 系统）

无线通信原理2021春郑贱平 最后分别考虑N,=1、N,=1和N,=N,=N→o的情况。在N,=1的SMO0场景下， 公式(5)可重写为 C-E tog1+SV (9) 显然，相比SISO情况，接收端配置多根天线能获得功率增益。 在N,=1的MS0场景下，公式(5)可重写为 c-受2r爱z (10) =log(1+SNR)=Csso 显然，仅发送端配置多根天线并不合适。 在N,=N,=N→0的场景下，根据矩阵理论，4=2/N服从分布 f(u)=πVu4' (11) 0, else 因此，信道容量为 c-:】 =N[log(SNRxu)f(u)du (12) 4SNR F(SNR) -2Nlog1+SNR-1F(SNR)-Nloge 其中F(SNR)=(N4SNR+I-1)。显然，MMO信道容量随N线性增长。虽然该结论是 N→时的渐近分析结果，当N较小时公式(12)仍然是一个很好的近似， 1.2、CST&CSR情况 在收发瑞均己知CS1的情况，发送端可采用预编码矩阵V对发送信号x进行预处理， 接收端可采用矩阵U对接收信号进行后处理，此时有 z=U"y=U"HVx+U"w =U"UAVMVx+U"W (13) =Ax+w' 其中w=Uw~CN(O,N。I)。根据上式，MMO信道等效为Nmm个并行信道，因此在总

无线通信原理 2021 春 郑贱平 最后分别考虑 1 Nt  、 1 Nr  和 N N N r t     的情况。在 1 Nt  的 SIMO 场景下， 公式（5）可重写为 2 1 log 1 Nr i i C E SNR h           （9） 显然，相比 SISO 情况，接收端配置多根天线能获得功率增益。 在 1 Nr  的 MISO 场景下，公式（5）可重写为   2 2 1 1 log 1 log 1 log 1 N N t t i i i i t t SISO SNR SNR C E h E h N N SNR C                                  （10） 显然，仅发送端配置多根天线并不合适。 在 N N N r t     的场景下，根据矩阵理论， 2 i u N   服从分布   1 1 1 , 0 4 4 0, else u f u  u          （11） 因此，信道容量为         2 1 4 0 log 1 log 1 log 2 log 1 4 4 N i i SNR C E N N SNR u f u du N e N SNR F SNR F SNR SNR                               （12） 其中     2 F SNR SNR    4 1 1 。显然，MIMO 信道容量随 N 线性增长。虽然该结论是 N  时的渐近分析结果，当 N 较小时公式（12）仍然是一个很好的近似。 1.2、CSIT&CSIR 情况 在收发端均已知 CSI 的情况，发送端可采用预编码矩阵 V 对发送信号 x 进行预处理， 接收端可采用矩阵 U H对接收信号进行后处理，此时有 H H H H H H         z U y U HVx U w U UΛV Vx U w Λx w （13） 其中 0, 0  H w U w I   N 。根据上式，MIMO 信道等效为 Nmin 个并行信道，因此在总

无线通信原理2021春郑规平 功率约束下，采用功率注水能够获得最大可达速率 c-2e景刃 (14 其中 g--)2r-r (15) 根据之前的讨论，在高SNR时，功率注水近似等价于等功率分配，即P=P/N。· 此时，信道容量为 (16) 相比CSR情况下的公式(5)，CST知识提供的额外功率增益为N,/N。 1.3、VBLAST结构 在如图7-1所示的VBLAST结构中，每根天线发送一个独立的数据流。在未知CIST情 况下，每根天线分配相同的发送功率。输入输出信号模型为 y=Hx+w (17) 其中x中各分量独立。由之前的讨论知在仅有CSR的iid瑞利衰落信道中，容量可达的发 送信号协方差矩阵为K=PN,I。显然，VBLAST的发送信号x具有该特性，因此在该 场景下是容量可达的。 一w了 一w了x 图7-1 VBLAST发送端结构示意图。 上述VBLAST结构的最佳性是假定发送端采用最佳的ML检测得到的。注意到ML检 测的复杂度为O(M心)，其中M为所采用的调制信号星座大小。当N,和/减M较大时，该 检测算法由于太高的复杂度变得不实用。下面考虑几种低复杂度的检测算法 1)线性解相关器

无线通信原理 2021 春 郑贱平 功率约束下，采用功率注水能够获得最大可达速率 min * 2 1 0 log 1 N i i i P C E N                  （14） 其中 min * * 0 2 1 , N i i i i N P u P P              （15） 根据之前的讨论，在高 SNR 时，功率注水近似等价于等功率分配，即 * P P N i  min 。 此时，信道容量为 min 2 1 min log 1 N i i SNR C E N                  （16） 相比 CSIR 情况下的公式（5），CSIT 知识提供的额外功率增益为 N Nt min 。 1.3、VBLAST 结构 在如图 7-1 所示的 VBLAST 结构中，每根天线发送一个独立的数据流。在未知 CIST 情 况下，每根天线分配相同的发送功率。输入输出信号模型为 y Hx w   （17） 其中 x 中各分量独立。由之前的讨论知在仅有 CSIR 的 i.i.d.瑞利衰落信道中，容量可达的发 送信号协方差矩阵为 K I x t  P N 。显然，VBLAST 的发送信号 x 具有该特性，因此在该 场景下是容量可达的。 编码器1 编码器Nt 调制器1 调制器Nt TX1 TX Nt . . . 图 7-1 VBLAST 发送端结构示意图。 上述 VBLAST 结构的最佳性是假定发送端采用最佳的 ML 检测得到的。注意到 ML 检 测的复杂度为   M Nt ，其中 M 为所采用的调制信号星座大小。当 Nt 和/或 M 较大时，该 检测算法由于太高的复杂度变得不实用。下面考虑几种低复杂度的检测算法。 1）线性解相关器

无线通信隙理2021春郑贱平 线性解相关器的基本思想是在估计第k个数据流时，将其他数据流对其干扰完全消除 具体的，考虑第k个数据流的检测，接收信号(17)重表示为 y=+w=hx+∑h,x+w (18) 其中，是矩阵H的第k列，表示第k个数据流（第k根发送天线）到接收端的信道。对(17) 左乘向量矩阵Q,得到 Qy=Qhx+∑Qh,x+Q4w (19) 为了完全消除其他数据流的干扰∑，x，即Qh,=0,i≠k，要求Q。在 V=(h4,山h)∈CW-张成空间的零空间，这可以通过对V进行奇异值 分解得到。具体的，假设V的奇异值分解为 V=AAB=AA(B,B)“, (20) A4∈C--,A∈C-,B∈Cwe,B∈Cw-aW》 则可令Q4=B“。 进一步采用MF,有 8ov-oak+8on (Q,h.)" (21) 显然，第k个数据流的接收SNR为 swR-Plo.F_svzIO.hP (22) N,N。 一般的，rak(V)=min{N,-l,N,}。当N,-1之N,时，N,-ank(V)≤0，即 零空间不存在。因此，线性解相关器的基本前提是N,≥N,。此时Nm=N,整个VBLAST 的可达速率为 R-log1+.h. N (23) 进一步Q,山：∈C-叫，Q,h:-公-对照公式(7，采用线性解相关器不能 获得最佳性能。 Remark 1:当N,=N,时，Q,实际上对应H的逆矩阵的第k列

无线通信原理 2021 春 郑贱平 线性解相关器的基本思想是在估计第 k 个数据流时，将其他数据流对其干扰完全消除。 具体的，考虑第 k 个数据流的检测，接收信号（17）重表示为 k k i i i k x x  y Hx w h h w       （18） 其中 hk 是矩阵 H 的第 k 列，表示第 k 个数据流（第 k 根发送天线）到接收端的信道。对（17） 左乘向量矩阵 Qk ，得到 k k k k k i i k i k x x  Q y Q h Q h Q w     （19） 为了完全消除 其他数据流的 干 扰 i i i k x  h ， 即 0, k i Q h   i k ，要求 Qk 在    1 1 1 1 ,..., , ,..., r t t N N k k k N   V h h h h     张成空间的零空间。这可以通过对 T Vk 进行奇异值 分解得到。具体的，假设 T Vk 的奇异值分解为              1 0 1 1 1 1 0 , , , , , t t t r r k r r k H T H k k k k k k k k N N N N N rank N N rank k k k k               V V V A Λ B A Λ B B A Λ B B （20） 则可令 0,H Q B k k  。 进一步采用 MF，有     H H k k k k k k k k k k k k k   x Q h Q h Q y Q h Q w Q h Q h （21） 显然，第 k 个数据流的接收 SNR 为 2 2 0 k k k k k t t P SNR SNR N N N   Q h Q h （22） 一般的， rank N N Vk t r    min 1,   。当 1 N N t r   时，   0 N rank r k   V ，即 零空间不存在。因此，线性解相关器的基本前提是 N N r t  。此时 N N min  t ，整个 VBLAST 的可达速率为 min 2 1 log 1 N k k k t SNR R E  N                    Q h （23） 进一步     1 1 2 2 2 1 , r t r t N N k k k k N N     Q h Q h    。对照公式（7），采用线性解相关器不能 获得最佳性能。 Remark 1：当 N N r t  时， Qk 实际上对应 H 的逆矩阵的第 k 列