那么〃称为R上 Borel函数类,其中的函数称为R上的 Bore l函数.(以前在本书中的 所谓“常见的”函数,均指Bore函数) 再则,随机变量的概念是依赖于事件体(σ一代数)的,严格地应称为只-随机变量 定义9.15样本空间Ω上的实值函数5称为7可测的,如果对于任意实数a,恒 有{@:ξ(o)≤a}∈只.于是,与为-随机变量与ξ为尹可测的是一样的.而随机变量的 分布则依赖于概率P的給法 分布函数为F(x)的随机变量5的函数g()的数学期望是如下的 Stieltjes积分 Eg(s)=g(x)dF(x)(=g(x)F(dx)) (括号中的F(dx)就是dF(x),前一种记号便于推广到多变量,或条件分布函数的情形) F(x1n)=P(sx)=E(-(5)n)=[E((-x4()n=y)]y=n 称为对于n的条件分布函数.类似地,我们有 EIg(5)In]=g()F(dyIn) (注意,右方的积分是直观地理解的,如果想要一个清晰的证明,在数学上还必须要作一系 列“后台操作”) 2.2时间离散状态连续的 Markov链 定义9.16实值随机序列{n:n≥0}称为(时间离散状态连续的) Markov链,如 果对于任意n≥0,任意实数y,x,x0,…,xn-1,有 P(n1≤y|n=x,n1=xn1…50=x0)=P(5n1≤yn=x).(9.15) (这正说明条件分布函数有 Markov性).在(1,5n,…,50)有联合密度时,(915)等价于5n 的条件分布密度的如下的等式 Pan(|5,=x,5n+=xn-1…,50=x0)=P(y|n=x) 与第5章中类似地,这里的 Markov性可以有如下的多种等价性描述 Markov性的等价性质1 对于任意实 Borel集A,A,…,A1,以及随机事件A={∈A;…,n1∈An},恒 有 P(5nm∈AA.5n=x)=P5m∈An=x) (9.16)
239 那么 M 称为 d R 上 Borel 函数类, 其中的函数称为 d R 上的 Borel 函数. (以前在本书中的 所谓“常见的”函数, 均指 Borel 函数). 再则, 随机变量的概念是依赖于事件体(s - 代数)F 的, 严格地应称为 F-随机变量. 定义９.１５ 样本空间W 上的实值函数x 称为 F-可测的, 如果对于任意实数a , 恒 有{w : x (w) £ a}ÎF. 于是, x 为 F-随机变量与x 为 F-可测的是一样的. 而随机变量的 分布则依赖于概率 P 的給法. 分布函数为 F( x) 的随机变量x 的函数 g (x ) 的数学期望是如下的 Stieltjes 积分 ò Eg(x ) = g(x)dF(x) ( def = ò g(x)F(dx) ) (括号中的 F(dx) 就是dF(x) , 前一种记号便于推广到多变量, 或条件分布函数的情形). 而 ( | ) ( | ) ( ( )| ) F x h P x x h E I(-¥,x] x h D D = £ = = h h x -¥ x = y= [E(I ( ) | y)] ( , ] 称为x 对于h 的条件分布函数. 类似地, 我们有 ò E[g(x ) |h] = g( y)F(dy |h) . (注意, 右方的积分是直观地理解的, 如果想要一个清晰的证明, 在数学上还必须要作一系 列 “后台操作”). 2. 2 时间离散状态连续的 Markov 链 定义９．１６ 实值随机序列{ : n ³ 0} n x 称为（时间离散状态连续的）Markov 链, 如 果对于任意 n ³ 0，任意实数 0 1 , , , , n- y x x L x ，有 P(xn+1 £ y | xn = x,xn-1 = xn-1 ,L,x0 = x0 ) = ( | ) 1 P y x xn+ £ xn = . (9. 15) (这正说明条件分布函数有 Markov 性）．在( , , , ) 1 0 x x L x n+ n 有联合密度时, (9.15)等价于 n+1 x 的条件分布密度的如下的等式 = - = - = = + ( | , , , ) 1 1 1 0 0 p y x x x n n n n x x x x L ( | ) 1 p y x n n = + x x . (9.15)’ 与第５章中类似地，这里的 Markov 性可以有如下的多种等价性描述： Markov 性的等价性质 1 对于任意实 Borel 集 0 1 , , , L L L Ln- ，以及随机事件 { , , } A = 0 Î 0 n-1 Î Ln-1 x L L x , 恒 有 ( , ) ( ) 1 1 P A x P x xn+ Î L xn = = x n+ Î Lxn = . (9. 16)
当存在联合密度时,(9.16)式也有其相应的条件分布密度形式 Markov性的等价性质2 对于随机序列{n}在大于时刻n所确定的随机事件B={m∈An1…nk∈Ank} 及随机事件A={50∈A2…,m1∈A1},有 P(BA,5n=x)=P(BE,=x) P(BA)=P(B I5m=x)P(AS=x (9.17) (直观证明我们只在一切条件分布密度都存在情形证明(917)式先看k=2情形.由条件概率的性 质,推广了的全概率公式与 Markov性的定义,我们有 PBA,5n=x)=P(5m∈An1,5n2∈An+2|5n=x,A) (直观地)=P(n2∈An+2|5n1∈An1,5n=x,A)P(n+1∈An|1n=x,A =「P(5m∈Am2|5m=y,5n=x,A)n(y)P(5n∈Am|5n=x) AP(5n2∈An2|n+1=y)fn(y)dP(n∈An|n=x) 其中∫n是随机变量5n的分布密度,由于上式右方与随机事件A无关,可见等式左方应该等于 P(Bkn=x)对于一般的k,只需做归纳法) arkov性的等价性质3 在已知“现在”的条件下,“将来”与“过去”是条件独立的(此即(9.17)) Markov性的等价性质4 机序列{n}及Vm≥1,n≥0及,任意 borel集A及实数x,xa2…,xn-1,都有 P(5nm∈A|n=x,n1=xn1…,5o=xo)=P(nm∈A|5n=x).(9.18) (直观证明设一切条件分布密度都存在.m=1时即为 Markov性的定义.对m作归纳法,假定m 时(9.18)正确,今证m+1时它也正确 P(5nm∈A|5n=x, ∫P(5m∈A.5m=yl5n=x 50=x0)fn4(y)y ∫P(5m∈A|5m=y,5,=x5n=x1…50=x) fm(|,=x,5n-=xn-,", 5o=xo)dy 利用归纳法假设及 Markov性的定义,上式简化为 =∫P(m+1∈A15n=y)m1(yl1n=x0 0
240 当存在联合密度时, (9.16)式也有其相应的条件分布密度形式. Markov 性的等价性质 2 对于随机序列{ }n x 在大于时刻 n 所确定的随机事件 { , , } B = n+1 Î n+1 n+k Î Ln+k x L L x 及随机事件 { , , } A = 0 Î 0 n-1 Î Ln-1 x L L x ，有 P(B A, x) P(B x) x n = = xn = (9. 17) 或 P(BA) P(B | x)P(A x) = xn = xn = . (9. 17)’ （直观证明 我们只在一切条件分布密度都存在情形证明(9.17)式. 先看 k = 2 情形. 由条件概率的性 质, 推广了的全概率公式与 Markov 性的定义, 我们有 P(B A, x) P( xn = = , | , ) x n+1 Î Ln+1 xn +2 Î Ln+2 x n = x A （直观地） ( | , , ) = P xn+2 Î Ln +2 xn+1 Î Ln+1 xn = x A ( | , ) P xn+1 Î Ln +1 xn = x A P y x A f y dy n n n n n n ( | , , ) ( ) 2 2 1 1 1 = ò L + Î L + + = = + + x x x ( | ) 1 1 P x xn + Î Ln+ xn = P y f y dy n n n n n ( | ) ( ) 2 2 1 1 1 = ò L + Î L + + = + + x x ( | ) 1 1 P x xn + Î Ln+ xn = ， 其中 n +1 f 是随机变量 n+1 x 的分布密度. 由于上式右方与随机事件 A 无关, 可见等式左方应该等于 P(B x) xn = . 对于一般的k , 只需做归纳法.）. Markov 性的等价性质 3 在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去” 是条件独立的 (此即(9. 17)’) Markov 性的等价性质 4 对随机序列{ }n x 及"m ³ 1, n ³ 0 及, 任意 Borel 集 L 及实数 0 1 , , , n- x x L x , 都有 P(xn+m Î L | xn = x,xn-1 = xn-1 ,L,x 0 = x0 ) = P( | x) xn+m Î L x n = . (9. 18) （直观证明 设一切条件分布密度都存在. m=1 时即为 Markov 性的定义. 对m 作归纳法，假定 m 时(9.18)正确, 今证 m+1 时它也正确: ( | , , , ) 1 1 1 0 0 P x x x xn+m+ Î L xn = xn - = n- L x = P y x x x f y dy n m n n n n n ( , | , , , ) ( ) = ò + +1 Î L +1 = = -1 = -1 0 = 0 +1 x x x x L x ( | , , , , ) 1 1 1 1 0 0 P y x x x = n+m+ Î L n+ = n = n- = n - = ò x x x x L x f y x x x dy n n n n ( | , , , ) +1 = -1 = -1 0 = 0 x x L x 利用归纳法假设及 Markov 性的定义, 上式简化为 ( | ) 1 1 P y = n +m + Î n + = ò x L x f y x dy n n ( | ) +1 x =