如果当各小弧段的长度的最大值λ→0时, 这和的极限存在则称此极限为函数f(x,y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分,记作(x,),即 被积函数 J/(c)=如时②(n)4△外 i=1 积分弧段 气积分和式 曲线形构件的质量M=Jm(x
( , ) lim ( , ) . , ( , ) , , ( , ) 0 , 1 0 = → = → n i i i i L L f x y ds f s f x y ds L f x y 线积分 记 作 即 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲 这和的极限存在 则称此极限为函数 如果当各小弧段的长度的最大值 时 积分弧段 被积函数 积分和式 曲线形构件的质量 ( , ) . = L M x y ds
2存在条件: 当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时 对弧长的曲线积分(x)存在 3推广 函数f(x,y,z)在空间曲线弧r上对弧长的 曲线积分为 f(x,y,z)d=lim∑f(9,m,51)△s ->0 i=1
2.存在条件： ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存 在 当 在光滑曲线弧 上连续时 L f x y ds f x y L 3.推广 曲线积分为 函 数 f (x, y,z)在空间曲线弧上对弧长的 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds = f s = →
注意: 1.若L(或r)是分段光滑的,(L=L1+L2) 「.(xy)b=f(xy)+f(x) 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 曲线积分记为,f(x,y)s 4性质 (1)If(x,y)±g(x,y)d=,f(x,y)d±,9(x,y)d
注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , ) L f x y ds f x y L 曲线积分记为 函 数 在闭曲线 上对弧长的 4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . = L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds
(2),(x,y)d=k,f(x,y)ds(k为常数) (3)f(x, y)ds= f(x, y)ds+l. f(x,y)ds. (L=L1+L2) 对弧长曲线积分的计算 定理设∫(x,y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为x=%0,(a≤t≤)其中 y=y() q(t),v(t)在a,止上具有一阶连续导数,且 J,f(x, y)ds= flp(), y(0N92(0+y'(dt (a<B)
(2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2 三、对弧长曲线积分的计算 ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ), ( ) [ , ] , ( ) ( ), ( ), ( , ) , 2 2 = + = = f x y ds f t t t t dt t t t y t x t L f x y L L 在 上具有一阶连续导数 且 的参数方程为 其中 定理 设 在曲线弧 上有定义且连续