在k空间内,波矢绝对值处于k~k+dk区间的体积为(1/8)4nk2dk, 故在此体积内的模式数为(1/8)4nk2dkMn3。又因|k=2n/A=2Nc;dk=2ndvc 代入上式则得频率在vdv区间内的模式数 再考虑到对应同一k有两种不同的偏振 上述模式效应乘2,于是,在体积为∨的空腔内,处在频率v附近频带dv内的模式数为 P=(8nv/c3 )Vdv 现在再从粒子的观点阐明光子状态的概念,并且证明,光子态和光波横是等效的概 在经典力学中,质点运动状态完全由其坐标(x,y,2)和动量(xPP)确定。我们可 以用广义笛卡儿( Cartesian)坐标x、y、z、 PX Py Pz所支撑的六维空间来描述质点的 运动状态。这种六维空间称为相空间,相空间内的一点表示质的一个运动状态。当 宏观质点沿某一方向(例如:x轴)运动时,它的状态变化对应于维相空间(x,P)的 条连续曲线,如图1.1.2所示。但是,光子的运动状态和经典宏见质点有着本 质的区别,它受量子力学测不准关系的制约。测不准关系 表明:微观粒子的坐标和动量不能同时准确测定,位置测 得越准确,动量就越测不准。对于一维运动情况.则不准 关系表示为 △X△P、h (1.1.9) 上式意味着处于二维相空间面积元△X△Pxh之内的粒 子运动状态在物理上是不可区分的,因而它们应属于同 种状态 图1-1-2经典质点运动
在k空间内，波矢绝对值处于|k|～|k|+d|k|区间的体积为(1／8)4л|k|2 d|k|， 故在此体积内的模式数为(1／8)4л|k|2 d|k|V/л3。又因|k|＝2л/λ=2λv/c;d|k|=2лdv/c, 代入上式则得频率在v～v+dv区间内的模式数。 再考虑到对应同一k有两种不同的偏振 ，上述模式效应乘2，于是，在体积为V的空腔内，处在频率v附近频带dv内的模式数为 P=(8лv2 /c3 )Vdv (1.1.8) 现在再从粒子的观点 阐明光子状态的概念，并且证明，光子态和光波横是等效的概 念。 在经典力学中，质点运动状态完全由其坐标(x，y，z)和动量(Px Py Pz )确定。我们可 以用广义笛卡儿(Cartesian)坐标x、y、 z、Px Py Pz所 支撑的六维空间来描述质点的 运动状态。这种六维空间称为相空间，相空间内的一点表示质点的一个运动状态。当 宏观质点沿某一方向(例如：x轴)运动时，它的状态变化对应于二维相空间(x，Px )的一 条连续曲线，如图1.1.2所示。但是，光子的运动状态和经典宏观质点有着本 质的区别，它受量子力学测不准关系的制约。测不准关系 表明：微观粒子的坐标和动量不能同时准确测定，位置测 得越准确，动量就越测不准。对于一维运动情况．则不准 关系表示为 ΔxΔPx ︾h (1.1.9) 上式意味着处于二维相空间面积元ΔxΔPx ︾h之内的粒 子运动状态在物理上是不可区分的，因而它们应属于同 一种状态
在三维运动情况下,测不准关系为 △x△y△z△P△PAPh3 故在六维相空间中,一个光子态对应(或占有)的相空间体积元为 △x△v△z△p△P、△P,h (1.1.10) 上述相空间体积元称为相格。相格是相空间中用任何实验所能分辨的最小尺度。 光子的某一运动状态只能定域在一个相格中,但不能确定它在相格内部的对应位置。 于是我们看到,微观粒子和宏观质点不同,它的运动状态在相空间中不是对应一点而 对应一个相格。这表明微观粒子运动的不连续性。仅当所考虑的运动物体的能量和动 远远大于由普朗克常数h所标志的量hv9和hk,以致量子化效应可以忽略不计时 量子力学运动才过渡到经典力学运动 从式(1.1.10)还可得出,一个相格所占有的坐标空间体积(或称相格空间体积)为 △x△y△zh3/(△P△PAP 1.1.11 现在证明,光波模等效于光子态。为此将光波模的波矢空间体积元表示式(1.1.7)改 写为在相空间中的形式。考虑到一个光波模是由两列沿相反方向传播的行波组成的驻氵 因此一个光波模在相空间的Px,Py和Pz轴方向所占的线度为 APx=2h△ Kx, AP=2hAk,APz=2h△k2 (1.1.12) 于是,式(117)在相空间中可改写为 APXAPAP2△xAy△z=h3 (1..13) 可见,一个光波模在相空间也占有一个相格因此,一个光波模等效于一个光子态 个光波模或一个光子态在坐标空间都占有由式(1.1.11)表示的空间体积
在三维运动情况下，测不准关系为 ΔxΔyΔzΔPxΔPyΔPz ︾h 3 故在六维相空间中，一个光子态对应(或占有)的相空间体积元为 ΔxΔyΔzΔPxΔPyΔPz ︾h 3 (1.1.10) 上述相空间体积元称为相格。相格是相空间中用任何实验所能分辨的最小尺度。 光子的某一运动状态只能定域在一个相格中，但不能确定它在相格内部的对应位置。 于是我们看到，微观粒子和宏观质点不同，它的运动状态在相空间中不是对应一点而是 对应一个相格。这表明微观粒子运动的不连续性。仅当所考虑的运动物体的能量和动量 远远大于由普朗克常数h所标志的l量hv9和hk，以致量子化效应可以忽略不计时， 量子力学运动才过渡到经典力学运动。 从式(1.1.10)还可得出，一个相格所占有的坐标空间体积（或称相格空间体积)为 ΔxΔyΔz︾h 3 /（ΔPxΔPyΔPz） （1.1.11） 现在证明，光波模等效于光子态。为此将光波模的波矢空间体积元表示式(1.1.7)改 写为在相空间中的形式。考虑到一个光波模是由两列沿相反方向传播的行波组成的驻波． 因此一个光波模在相空间的Px，Py和Pz轴方向所占的线度为 ΔPx=2hΔkx , ΔPy=2hΔky , ΔPz=2hΔkz (1.1.12) 于是，式(1.1.7)在相空间中可改写为 ΔPxΔPyΔPzΔxΔyΔz= h3 (1.I.13) 可见，一个光波模在相空间也占有一个相格.因此，一个光波模等效于一个光子态。 一个光波模或一个光子态在坐标空间都占有由式(1.1.11)表示的空间体积
光子的相干性 为了把光子态和光子的相干性两个概念联系起来,下面对光源的相干性进行讨论。 在一般情况下,光的相干性理解为:在不同的空间点上、在不同的时刻的光波场的某 些特性(例如光波场的相位)的相关性。在相干性的经典理论中引入光场的相干函数作为 相干性的度量。但是,作为相干性的一种粗略描述,常常使用相干体积的概念。如果在空 间体积V内各点的光波场都具有明显的相干性,则∨c称为相干体积。∨c又可表示为垂直 于光传播方向的截面上的相干面积Ac和沿传播方向的相干长度Lc的乘积 V。=A (1.1.14) 式(1.1.14)也可表示为另一形式 V=AT。C (1.1.15) 式中c为光速,T=L。/c是光沿传播方向通过相干长度L。所需的时间,称为相干时间 普通光源发光,是大量独立振子(例如发光原子)的自发辐射。每个振子发出的光波是 由持续一段时间Δ或在空间占有长度c△t的波列所组成.如图.1.3图所示。 A|大 △y≈s1/△ 图1-1-3单个原子发出的光波列及其频谱
三、光子的相干性 为了把光子态和光子的相干性两个概念联系起来，下面对光源的相干性进行讨论。 在一般情况下，光的相干性理解为：在不同的空间点上、在不同的时刻的光波场的某 些特性(例如光波场的相位)的相关性。在相干性的经典理论中引入光场的相干函数作为 相干性的度量。但是，作为相干性的一种粗略描述，常常使用相干体积的概念。如果在空 间体积Vc内各点的光波场都具有明显的相干性，则V c称为相干体积。V c又可表示为垂直 于光传播方向的截面上的相干面积Ac和沿传播方向的相干长度L c的乘积 V c=Ac L c (1.1.14) 式(1.1.14)也可表示为另一形式； Vc=Ac τc c (1.1.15) 式中c为光速，τc ＝L c／c是光沿传播方向通过相干长度L c所需的时间，称为相干时间。 普通光源发光，是大量独立振子(例如发光原子)的自发辐射。每个振子发出的光波是 由持续一段时间Δt或在空间占有长度cΔt的波列所组成．如图l.1.3图所示
不同振子发出的光波的相位是随机变化的。对于原子谱线来说,Δ即为原子的激发态 寿命(△t103s秒)。 对波列进行颇谱分析,就得到它的频带宽度 △V1/At △V是光源单色性的量度 物理光学中已经阐明,光波的相干长度就是光波的波列长度 L=CAt=C/Ay 1.16) 于是,相干时间Tc与光源频带宽度Δv的关系为 Te=Δt=1v (1.1.17) 上式说明,光源单色性越好,则相干时间越长。 物理光学中曾经证明:在图图1.14中,由线度为△x的光源A照明的S1和S2两点的光 波场具有明显空间相干性的条件为 (△XL×R)≤A (1.1.18) 式中入为光源波长。距离光源R处的相干面积 Ac可表示为 入=L、2=(RM△x 如果用△0表示两缝间距对光源的张角,则(11.18)式可写为 △x)2≤(M△⊙)2 (1.1.20) 上式的物理意义是:如果要求传播方向(或波矢k)限于张角△0之内的光波是相干的,则 光源的面积必须小于(M△θ)2。因此,MAθ)2就是光源的相干面积,或者说,只有从面 积小于(M△)2的光源面上发出的光波才能保证张角在△之内的双缝具有相干性(见图 1.1.4)
不同振子发出的光波的相位是随机变化的。对于原子谱线来说，Δt即为原子的激发态 寿命(Δt︾10-8s秒)。 对波列进行颇谱分析，就得到它的频带宽度 Δv︾1/Δt Δv是光源单色性的量度。 物理光学中已经阐明，光波的相干长度就是光波的波列长度 L c ＝cΔt＝c/Δv (1.1.16) 于是，相干时间τc与光源频带宽度Δv的关系为 τc ＝Δt= 1/Δv (1.1.17) 上式说明，光源单色性越好，则相干时间越长。 物理光学中曾经证明：在图图1.1.4中，由线度为Δx的光源A照明的S1和S2两点的光 波场具有明显空间相干性的条件为 (Δx L x / R) ≤λ (1.1.18) 式中λ为光源波长。距离光源R处的相干面积 Ac可表示为 λ＝L x 2＝(Rλ/Δx)2 (1.1.19) 如果用Δθ表示两缝间距对光源的张角，则(1.1.18)式可写为 (Δx)2≤(λ/Δθ)2 (1.1.20) 上式的物理意义是：如果要求传播方向(或波矢k)限于张角Δθ之内的光波是相干的，则 光源的面积必须小于(λ/Δθ)2。因此，(λ/Δθ)2就是光源的相干面积，或者说，只有从面 积小于(λ/Δθ)2的光源面上发出的光波才能保证张角在Δθ之内的双缝具有相干性(见图 1.1.4)
△P S R 图1-1-4扬氏双缝干涉 根据相干体积定义,可得光源的相干体积为 A)6=≠△ 121) A△ 此式可同样理解为:如要求传播方向限于△θ之内并具有频带宽度Δv的光波相干, 则光源应局限在空间体积Vcs之内
根据相干体积定义，可得光源的相干体积为 (1.1.21) 此式可同样理解为：如要求传播方向限于Δθ之内并具有频带宽度Δv的光波相干， 则光源应局限在空间体积Vc s之内