第四章随机变量的数字特征 数字特征的优越性: 1.较集中地反映了随机变量变化的一些平均特征。 2.很多重要的随机变量(如二项分布、泊松分布、均匀分布、 指数分布、正态分布等)的分布函数都能用一、两个数字特征 完全确定。 3.重要的数字特征-数学期望、方差具有明确的统计意义, 同时还具有良好的数学性质。 4.随机变量的数字特征较易求出
第四章 随机变量的数字特征 数字特征的优越性： 1. 较集中地反映了随机变量变化的一些平均特征。 2. 很多重要的随机变量(如二项分布、泊松分布、均匀分布、 指数分布、正态分布等)的分布函数都能用一、两个数字特征 完全确定。 3. 重要的数字特征---数学期望、方差具有明确的统计意义， 同时还具有良好的数学性质。 4.随机变量的数字特征较易求出
第一节、数学期望 例1.有甲、乙两个射击选手,他们的射击技术由下表给出 甲射手:环数 9 10 0.3 0.1 0.6 乙射手:环数 8 9 10 0.2 0.5 0.3 试问哪一个选手射击本领较好? 甲:8×0.3N+9×0.1N+10×06N=93N 乙:8×0.2N+9×0.5N+10×0.3N=91N
第一节、数学期望 例1. 有甲、乙两个射击选手，他们的射击技术由下表给出： 甲射手： p 0.3 0.1 0.6 环数 8 9 10 乙射手： p 0.2 0.5 0.3 环数 8 9 10 试问哪一个选手射击本领较好？ 甲：8×0.3N+9×0.1N+10×0.6N=9.3N 乙：8×0.2N+9×0.5N+10×0.3N=9.1N
定义4.1 设ξ为离散型随机变量,其分布律为 pk=P(5=xk),k=1,2, 若级数∑xPk绝对收敛,则称EG)=∑xAPk为的数 k=1 k=1 学期望(或称期望或均值)。 设~B(n,p),求E(2):E(2)=np 2.设~π(A),求E(): E(2)=. 3.设服从参数为p的几何分布,求F():E(2)=1p. 例2.设随机变量ξ分布律为 pk=P(5=(-1)2/k)=1/2,k=1,2, 求E(2)
定义4.1 设为离散型随机变量，其分布律为 若级数 绝对收敛，则称 E()= 为的数 学期望(或称期望或均值)。 pk = P( = xk )， k =1，2， k =1 k pk x k =1 k pk x 1. 设～B(n，p)，求E()： E()=np. 2. 设～()，求E()： E()=. 3. 设服从参数为p的几何分布，求E()： E()=1/p. 例2. 设随机变量分布律为 求E() 。 pk = P( = (−1) k 2 k / k) =1/ 2 k ， k =1，2，
定义42 设ξ为连续型随机变量,其分布密度为x),若积分 ∫/(x)x收敛,则称E(5)=∫xf(x)h为的数学期 望(或称期望或均值)。 4.设服从参数为的指数分布,求F():E(2)=1/ 5设服从(a,b区间上的均匀分布,求E():E()=(a+b)/2 6设5N,02),则E()=u 7.设ξ~I(x,β),则E(2)=β。 设x(m)=/4、则有E(x(m)=n 22 例3.设的分布密度为 f(x)=1/(T(1+x)), ( Cauchy()
定义4.2 设为连续型随机变量，其分布密度为f(x)，若积分 收敛， 则称 为的数学期 望(或称期望或均值)。 x f (x)dx + − + − E() = x f (x)dx 4. 设服从参数为的指数分布，求E()： E()=1/ 5. 设服从(a，b)区间上的均匀分布，求E()：E()=(a+b)/2 6. 设 ( ) ，则 E()=. 2 ～N ， 7. 设～(，)，则E()= /。 ) ( ( )) . 2 1 2 ( ) ( 2 2 E n n n 设 n = ， ，则有 = 例3. 设的分布密度为 ( ) 1/( (1 )) ( ) ( ). 2 f x = + x ，Cauchy 求E
例4设5,92,…,5n相互独立,且均服从参数为的指数分 布,M-max{5,2,,n},N-min{5,点2,,n}, 求E(M)和E(N)。 定义4.3 对ξ=(552…,与,若E(5),i=1,2,…,n都存在, 则称E()=(E(51),E(2)…,E(n)为n维随机变量ξ的数学期望 (或均值向量)
例4. 设 相互独立，且均服从参数为的指数分 布，M=max{ }，N=min{ }， 求E(M)和E(N)。 1 ， 2 ，， n 1 ， 2 ，， n 1 ， 2 ，， n 定义4.3 对=( )，若 都存在， 则称 为n维随机变量的数学期望 (或均值向量)。 1 ， 2 ，， n E(i )，i =1，2，，n ( ) ( ( ) ( ) ( )) E E 1 E 2 E n = ， ，，