第一章 复数和复变函数及其极限 复变函数就是自变量为复数的函数。 §1.1复数及其运算 z=x+y(i2=-1) Rez lm 实部虚部 实数 0 复数 虚数y≠0x=0时纯虚数 复平面 x→>实轴y→虚轴 复数和复平面上的点(复向量)建立了 对应 x轴上的点 对应实数 Z-Xty y轴上的点 对应纯虚数 共轭复数
§1.1 1 第一章 复数和复变函数及其极限 复变函数就是自变量为复数的函数。 §1.1 复数及其运算 实部 虚部 z z z x yi i Re Im ( 1) 2 = + = − 复数 虚数 时纯虚数 实数 0 0 0 = = y x y 复平面 x →实轴 y → 虚轴 复数和复平面上的点（复向量）建立了 一一对应 x 轴上的点 y 对应实数 z=x+yi y 轴上的点 x 对应纯虚数 共轭复数
z=x-y称为z=x+y的共轭复数,z 和z关于Ⅹ轴对称。 复数的模与幅角 模r=2=|=x2+ 2 <z z≤x+ 加法:z1+z2 平行四边形法则 z1+z2 2 2 (三角不等式) 复数自身不能比较大小: 若i)0,则t2)0,-1)0 幅角 z≠0,复向量z与X轴正方向的夹角 为
§1.1 2 z = x − yi 称为 z = x + yi 的共轭复数， z 和 z 关于 X 轴对称。 复数的模与幅角 模 r z z x y 2 2 = = = + + = = z x y y z x z z 0 z 0 z 加法： z1 + z2 平行四边形法则 1 z z1 + z2 2 z z1 + z2 z1 + z2 （三角不等式） 复数自身不能比较大小: 0, 0, 1 0 2 − i 若 i 则 幅角 为 。 复向量 与 轴正方向的夹角 z 0 , z X
从正实轴旋转到 复向量z的旋转角 Z (逆时针为正,顺时 针为负)称为幅角, 记为Arg(z)( Argument),多值函数,任两值 相差2x的整数倍。 主值:满足 丌<Arg(z)≤丌 的幅角值唯一,记作:arg(z).从而 丌〈arg(z)≤丌 Ag()=arg()+2kx(k=0±±2,…) =0,幅角无意义。 幅角的计算 二=x+jy≠0 1°用 arccos arccos (X √x2+y)y≥0 argt arccos (X √x2+y)y<0 (0≤ ar cos u≤x)
§1.1 3 从正实轴旋转到 复向量 z 的旋转角 z （逆时针为正，顺时 针为负）称为幅角， 记为 Arg(z)(Argument),多值函数，任两值 相差 2 的整数倍。 主值： 满足 − Arg(z) 的幅角值 唯一, 记作: arg(z).从而 = + = − Arg( ) arg( ) 2 ( 0, 1, 2, ) arg( ) z z k k z z = 0 ,幅角无意义。 幅角的计算 z = x + iy 0 ( 0 ar cos ) arccos ( ) 0 arccos ( ) 0 arg( ) 1 arccos 2 2 2 2 − + + = u x x y y x x y y z 用
2用arcg arcto (x>0) (x=0,y>0) argz=arct+I (x<0, y20) arg区gy-x(x〈0,y(0) (x=0,y<0) 丌 (o< arct y兀 2 例求复数z1=2-2i和z2=-3+4i的 模和辐角。 解: :z1=N 2+(-2)=2√2 2=√(3)+42=5 由Im1=-2<0,得 arg=1=-arccos Argz,=arg =,+2k 兀⊥2k兀 (k=0,±1,±2,…)
§1.1 4 ) 2 2 ( ( 0, 0) 2 arg ( 0, 0) ( 0, 0) ( 0, 0) 2 ( 0) arg 2 − − = − + = = x y arctg x y x y x y tg x y x y arctg x y x x y arctg z 用arctg 例 求复数 z 2 2i z 3 4i 1 = − 和 2 = − + 的 模和辐角。 解： 2 ( 2) 2 2 2 2 z1 = + − = ( 3) 4 5 2 2 z2 = − + = Im 2 0, 由 z1 = − 得 2 2 4 2 arg arccos 1 z = − = − ( 0, 1, 2, ) 2 4 Arg 1 arg 1 2 = = + = − + k z z k k
由Imz2=4>0,得 ag 2222=arccos T - arccos 从而 A rcos+2k丌 (2K+D)-arccos (k=0,+1,+2…) 复数的表示方法 1°代数形式 Z=x+iy 2°三角形式 x=rcos p y=rsin p 则z=r(cosq+ I Sin p) 3指数形式 由欧拉公式e=cosq+ I Sin p 则z=r(cosg+ I Sin p)=re 例如
§1.1 5 Im 4 0, 由 z2 = 得 5 3 arccos 5 3 arg arccos 2 2 = − − z z = 从而 ( 0, 1, 2 ) 5 3 (2 1) arccos 2 5 3 Arg arccos 2 = = + − + − = k k z k 复数的表示方法 z = x + iy 1 代数形式 (cos sin ) cos sin 2 z r i x r y r = + = = 则 三角形式 e e 3 i i (cos sin ) 欧拉公式 cos sin z r i r i = + = = + 则 由 指数形式 例如