中值定理与导数应用 d(c)=0 d(sinx)cosxdx 1 darcsinx)= dx d( ax )axdx V1-x2 d(cosx )sinxdx 1 1 d(inxl )=dx d(tanx )sec2xdx d(ex )=exdx 1 d(cotx csc2xdx d(arctanx)=1xdx d(2v)=后dx d(secx )secxtanxdx 1 11 d(- d(-arccotx)=dx 是)三2dx d(-cscx)=cscxcotxdx X d( +1 )=xdxu+-1) u+1
𝒅(𝒄) = 𝟎 𝒅 = 𝒙 𝝁 𝒅𝒙 (𝝁 ≠ −𝟏) 𝒅( ) = 𝒂𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒆 𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝒆 𝒙 𝒍𝒏|𝒙| 𝒙 𝝁+𝟏 𝝁 + 𝟏 𝒂 𝒙 𝒍𝒏𝒂 𝒅( ) = 𝟏 𝒙 2 𝒙 𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒔𝒆𝒄𝒙𝒕𝒂𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒄𝒔𝒄𝒙𝒄𝒐𝒕𝒙𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 −𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 −𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒙 −𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒅( ) = 𝟏 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝟏 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝟏 𝟏 + 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝟏 𝟏 + 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 −𝒂𝒓𝒄𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙 −𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅( ) = 𝟏 𝒙 𝟐 − 𝒅𝒙 1 𝑥
第六讲 洛必达法则
第六讲 洛必达法则
中值定理与导数应用 1.洛必达法则（L'Hospital) 18型 定理1：设函数f(x)与g(x)满足条件 (1) lim f(x)=lim g(x)=0 x→X0 x→X0 (2）) f(x),g(x)在x的某去心邻域可导，g'(x)≠0 f'(x) (3)若1im k0g() =rr为有限数（或∞》； lim f(x) f'(x) 则有 lim =r. x→xog(x) x-xog'(x)
1. 0 0 型 1.洛必达法则（𝑳′𝑯𝒐𝒔𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍) 定理1： 设函数𝒇(𝒙)与𝒈(𝒙)满足条件 (1) (2) 𝒇(𝒙),𝒈(𝒙)在𝒙0的某去心邻域可导,𝒈′(𝒙) ≠ 𝟎 (3) 若 则有 {𝒓为有限数(或∞)} ; 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎 𝒈 𝒙 = 𝟎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎 𝒇′(𝒙) 𝒈′(𝒙) = 𝒓 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎 𝒇′(𝒙) 𝒈′(𝒙) = 𝒓
中值定理与导数应用 例1：求极限： x2-3x+2 (1)lx2-5x+4 解：①验型 (才可用洛必达法则) (x2-3x+2)1 ②原式=lim X(x2-5x+4) 2X-3 lim 直接代入 x12x-5 2-3 2-5 1 三 3
例1：求极限： (1) 解：①验型 ②原式= 𝟎 𝟎 (才可用洛必达法则) 直接代入 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 (𝒙 𝟐−𝟑𝒙 + 𝟐)′ (𝒙 𝟐−𝟓𝒙 + 𝟒)′ = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝟐𝒙 − 𝟑 𝟐𝒙 − 𝟓 = 𝟐 − 𝟑 𝟐 − 𝟓 = 𝟏 𝟑
中值定理与导数应用 1-coSx (2) lim X→0 x2 解： ①验型 才可用洛必达法则) (1-c0Sx)1 ②原式= lim x-0 (x2)Y sinx lim X-→0 2x 0 ③继续验型 -0 直接代入 COSx 1 三 lim X→0 2 2
(2) 解： ①验型 ②原式= 𝟎 𝟎 (才可用洛必达法则) ③继续验型 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒙 𝟐 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒙)′ (𝒙 𝟐)′ = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟐𝒙 𝟎 𝟎 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟐 = 𝟏 𝟐