As≈v(r)4△t,(i=12…n) 故,物体在时间区间[TT2走完的路程近似为 s≈∑v()△ 记=max{△,2△2…△}则 s=lim ∑v(5)△ 1→>0
( ) , 1 ( ,2, , ), i i i ∆ ≈ s v t τ ∆ i = " n 故，物体在时间区间[T1, T2]走完的路程近似为 ( ) 1 , n i i i s v t t = ≈ ∑ ∆ 记 则 max{ 1 2 , , }, n λ = ∆t t ∆ "∆t ( ) 0 1 lim . n i i i s v t λ ξ → = = ∑ ∆
2定积分的定义 在上面的两个问题中,我们发现我们所讨论的问题, 最终都归结为一个极限形式 im∑f(5)Ax 抽去问题的实际背景,则得到定积分的定义:
2.定积分的定义 在上面的两个问题中，我们发现我们所讨论的问题， 最终都归结为一个极限形式 ( ) 0 1 lim . n i i i f x λ ξ → = ∑ ∆ 抽去问题的实际背景，则得到定积分的定义：
定义设函数f(x)在b上有界,在ab中任意插入 分点 a=x0<x1<…<xn1<x,=b 从而把区间[a,b分成n个小区间 x,x][x,x]…[xn,x 各小区间的长度依次为 x-x1(i=1,2,…,n) 在每个小区间x,x上任取一点(x1<5<x),作 函数值f(5)与小区间长度△x,的乘积,并作和
定义 设函数 在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入 分点 f ( x) 0 1 1 , n n a x x x x b = < < " < − < = 从而把区间[a, b]分成n个小区间 [ 0 1 , ,] [ 1, 2 ] [ , 1, ], n n x x x x x x " − 各小区间的长度依次为 1 ( 1,2, , ), i i i x x x i n ∆ = − − = " 在每个小区间[xi-1, xi]上任取一点 ，作 函数值 与小区间长度 的乘积，并作和 ξ ξ i i ( x x −1 < <i i) f (ξi) i ∆x
S=∑f(5)△x 记=max{△x,x2…4Axn},如果无论对ab怎样 分法,也不论在小区间区x1,x上点ξ怎样取法,只要当 λ→>0时,和S总趋向于确定的极限Ⅰ,此时即称此 c极限为函数f(xb上的定积分,记作J(xh 即: /(x)x=lmn∑/(5)△x 其中f(x)称为被积函数,f(x)称为被积表达式,x
( ) 1 , n i i i S f ξ x = = ∑ ∆ 记 如果无论对[a, b]怎样 分法，也不论在小区间[xi-1, xi]上点 怎样取法，只要当 时，和 总趋向于确定的极限 ，此时即称此 极限为函数 在[a, b]上的定积分，记作 即： max{ 1 2 , , }, n λ = ∆x x ∆ "∆x i ξ λ → 0 S I f x( ) ( ) , b a f x dx ∫ ( ) 0 1 ( ) lim . n b i i a i f x dx f x λ ξ → = = ∑ ∆ ∫ 其中 f ( ) x 称为被积函数，f ( x d) x称为被积表达式，x