《电磁学》第五章 稳恒磁场（5.4）磁场对载流导线的作用

§4磁场对载流导线的作用 引入新课: 稳恒磁场的基本问题包含两方面的主要内容 (1)已知I分布,求B分布。 已学习两方法 ①Biot- Savar t' s Lav B=出0pxF (原则上) 2 Ampere's Circulation Theorem 5Bd=A∑1 (对称时) (2)已知B分布,求对I的作用。 综合概括为 正问题 逆问题 正问题在以上学习中已研究,现在进入逆问题,即:磁场对载流导线的作用。本节 内容的重点:安培力公式的应用。下面先进入第一点:考察安培力公式。 、安培力 承前内容,我们可将安培定律分成两个部分,写出公式为: dF=lodl×B 此力称为 Ampere' s Force,lodl0.为试探电流元 1、力的方向和大小 方向—一由叉积l×B确定,参见图5-23; 大小一dF=l0 dl. bsin e,其中的B不仅是已知I激发的,也可为外来场B 2、安培力的双重功甩 ①定义B;

5－4－1 §4 磁场对载流导线的作用 引入新课： 稳恒磁场的基本问题包含两方面的主要内容： (1) 已知 I 分布，求 B  分布。 已学习两方法： ① Biot − Sa vart s Law   = L r Idl r B 2 0 ˆ 4     （原则上） ② Ampere  s Circulation Theorem   =  ( ) 0 l内 i L B dl  I   （对称时） (2) 已知 B  分布，求对 I 的作用。 综合概括为： 正问题 I B  逆问题 正问题在以上学习中已研究，现在进入逆问题，即：磁场对载流导线的作用。本节 内容的重点：安培力公式的应用。下面先进入第一点：考察安培力公式。 一、安培力 承前内容，我们可将安培定律分成两个部分，写出公式为： dF I dl B    = 0 0  此力称为 Ampere  s Force， 0 0 I dl  为试探电流元。 1、力的方向和大小 方向——由叉积 I dl B   0 0  确定，参见图 5-23； 大小—— dF = I 0dl0Bsin  ，其中的 B  不仅是已知 I 激发的，也可为外来场 B外  。 2、安培力的双重功用 ① 定义 B  ；

②可用于计算磁力,以下基于此而展开 为运用方便,式中的足标“o”可不写,常用形式为:F=「d×B,B不含的 贡献。 d F 图 安培力公式的应用 1、平行载流直导线间的相互作用及安培的定义 首先,计算导线1→2作用F12。如图5-24所示 B 011 F12=1L.B2=42L 其次,同理计算导线21作用F21 1=地hl2 L=Fr 表明 -F2,相互吸引。 (注一以上计算是一根对另一根上L一段长的作用)。 [讨论] (1)当L与L2反向时,仍有 F12=F1=42L 但为斥力。 (2)因为F2=F21∝L,单位长上受力为

5－4－2 ② 可用于计算磁力，以下基于此而展开。 为运用方便，式中的足标“o” 可不写，常用形式为：  F = Idl  B    ，B  不含 Idl  的 贡献。 图 5-23 图 5-24 二、安培力公式的应用 1、平行载流直导线间的相互作用及安培的定义 首先，计算导线 1 → 2 作用 F12  。如图 5-24 所示, ∵ a I B   2 0 1 12 = ∴ L a I I F I L B   2 0 1 2 12 = 2  12 = 其次，同理计算导线 2 → 1 作用 F21  ： ∴ L F L a I I F = = 12  0 1 2 21 2  表明： F12 F21   = − ，相互吸引。 （注---以上计算是一根对另一根上 L 一段长的作用）。 [讨论] (1) 当 1 I 与 2 I 反向时，仍有 L a I I F F   2 0 1 2 12 = 21 = 但为斥力。 (2) 因为 F12 = F21  L ，单位长上受力为 θ B  d F  0 0 I dl  1 a 2 I1 I2 L F21  F12 

F2l uol I2 LL ·若取l1=l2=1,则∫= V2×10 若取a=lm,测得2×10-N,则此时=1A 综合以上,可给出电流强度Ⅰ的单位一—“安培”定义如下 载有相同强度电流、相距为1米的两平行长直导线,若每米长度上受力为: 2×10-7牛,则每根导线上所载电流的强度为1安培。 2、匀强磁场对平面载流回路的作用 已知B分布在空间上均匀,研究平面载流回路所受力F、力矩L及运动。 (1)刚性矩形回路 如图5-25(a),平面载流回路处在匀强磁场中。图5-25(b)为其俯视图。 b 1 F 图5-25 ①已知:载流Ⅰ,回路宽a、高b,轴线与B垂直,外场B均匀。不失一般性, 设框平面与B非正交,其法矢与B夹b角 ②研究:线圈受力、运动情况

5－4－3 a I I L F L F f   2 12 21 0 1 2 = = = • I = I = I 若取 1 2 ， a I f   2 2 0 则 = ，即 A af af I 7 0 2 10 2 −  = =   • 若取 a =1m， N 7 2 10− 测得  ，则此时I = 1A。 综合以上，可给出电流强度 I 的单位——“安培”定义如下： 载有相同强度电流、相距为 1 米的两平行长直导线，若每米长度上受力为： 210−7牛 ，则每根导线上所载电流的强度为 1 安培。 2、匀强磁场对平面载流回路的作用 已知 B  分布在空间上均匀，研究平面载流回路所受力 F  、力矩 L  及运动。 (1) 刚性矩形回路 如图 5-25(a)，平面载流回路处在匀强磁场中。图 5-25 (b)为其俯视图。 (a) (b) 图 5-25 ①已知：载流 I ，回路宽 a 、高 b，轴线与 B  垂直，外场 B  均匀。不失一般性， 设框平面与 B  非正交，其法矢与 B  夹  角。 ②研究：线圈受力、运动情况。 θ B  n  F3  a/2 F4  a 2 b 1 4 I θ B  n  3

首先,规定载流回路所围面积法矢n一右手定则,则有向面积:S=ab。 [分析受力 上、下边:如图5-26。F2= labin(90+0)、F4= labin(900-0) F2与F4二力等大反向,且共线,即:F2+F4=0,对刚性框不产生运 动学效应。 0°0 B 90°+0 l2 图5- 左、右边:见俯视图。F3=F4=bB,二力等大反向,但不共线—力偶,产生力 偶矩一磁力矩: L=2.F3 labbsin 0= /SBsin e mosin e=×B 式中m=Ⅰ§=Ⅰs为载流线圈的磁偶极矩(磁矩)。考虑到方向性(与 F×F一致),写成矢量式为: L=m×B [分析运动] 均匀场B中,矩形线圈所受合力∑F=0—不平动、合力矩∑L=xB一发 生转动。转动趋势为:使或m)转向B方向,即Φn取最大的方位;O=0,丌分别为稳定 非稳定平衡。 (2)任意形状平面载流回路 在均匀B中,任意形状平面载流回路,如图5-27。受力和运动情况又如何呢?这是

5－4－4 首先，规定载流回路所围面积法矢 n  --右手定则，则有向面积： S abn   = 。 [分析受力] 上、下边：如图 5-26。 sin( 90 ) 0 F2 = IaB + 、 sin( 90 ) 0 F4 = IaB − ； F2与F4 二力等大反向，且共线，即： F2 + F4 = 0   ，对刚性框不产生运 动学效应。 图 5-26 左、右边：见俯视图。 F3 = F4 = IbB ，二力等大反向，但不共线---力偶，产生力 偶矩—磁力矩： cos(90 ) 2 2 0 =  3 − a L F = IabBsin = ISBsin mB m B   = sin  =  式中 m I s Isn    = = 为载流线圈的磁偶极矩（磁矩）。考虑到方向性（与 r F    一致），写成矢量式为： L m B    =  [分析运动] 均匀场 B  中，矩形线圈所受合力 Fi = 0  ——不平动、合力矩 Li m B     =  ——发 生转动。转动趋势为：使 n( m)   或 转向 B  方向，即 m 取最大的方位；  = 0, 分别为稳定、 非稳定平衡。 (2) 任意形状平面载流回路 在均匀 B  中，任意形状平面载流回路，如图 5-27。受力和运动情况又如何呢？这是 90º+θ B  Id 2 l  90º-θ B  Id 4 l  F2  F4 

上述内容的推广。 图5-27 处理问题的思想和方法:将整体划分成许多小矩形,每一载流与原回路同,则相邻 小矩形邻边上Ⅰ反向,划分愈细致,每一小矩形竖边愈贴近原回路曲边,这许多小矩形 在外部的集体磁效应同原问题。注意划分时,使窄形小矩形长边垂直轴线 每一元矩形在外场B中的行为均为已知:∑F=0、亚=cmxB=AxB =ldsn×B。故整体所受 合力:F=0——不平动 合力矩:L==小项xB=历×d=6xB=历xB,其中m=厉为 总磁矩,规律同前。一一发生转动。 [结论] 任意形状平面载流回路在均匀场B中受合力、合力矩为 =0.L=m×B 整体不发生平动,但转动,L使转向B的方向 [讨论] (1)关于B的定义方法 B的定义比E的定义复杂,纵观国、内外现行教材有三种定义方法,其公式为 CF=l×B L=m× F=q×B(见以后: Lorentz's Force)

5－4－5 上述内容的推广。 图 5-27 处理问题的思想和方法：将整体划分成许多小矩形，每一载流与原回路同，则相邻 小矩形邻边上 I 反向，划分愈细致，每一小矩形竖边愈贴近原回路曲边，这许多小矩形 在外部的集体磁效应同原问题。注意划分时，使窄形小矩形长边垂直轴线。 每 一 元 矩 形在 外 场 B  中 的 行 为均 为 已知 ：  = 0 i Fi  、 dL dm B    =  Ids B   =  Idsn B   =  。故整体所受 合力： F = 0  ——不平动 ； 合力矩：    L = dL = I n  B ds = In  B ds       ( ) Is B m B     =  =  ，其中  m = In ds   为 总磁矩，规律同前。——发生转动。 [结论] 任意形状平面载流回路在均匀场 B  中受合力、合力矩为 F L m B     = 0, =  整体不发生平动，但转动， L  使 m  转向 B  的方向。 [讨论] (1) 关于 B  的定义方法 B  的定义比 E  的定义复杂，纵观国、内外现行教材有三种定义方法，其公式为 dF Idl B    =  L m B    =  F qv B    =  （见以后: Lorentz  s Force ） I I